2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习:第三章 圆锥曲线与方程 3习题课3 Word版含解析.pdf
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1、习题课习题课直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.直线 y=x+b 交抛物线 y= x2于 A,B 两点,O 为抛物线顶点,OAOB,则 b 的值为( ) 1 2 A.-1B.0C.1D.2 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=x+b 代入 y= x2,化简可得 x2-2x-2b=0,故 x1+x2=2,x1x2=-2b,所以 1 2 y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2.又 OAOB,所以 x1x2+y1y2=0,即-2b+b2=0,则 b=2 或 b=0,经检验 b=0 时,不 满足 OAOB,故 b=2.
2、答案:D 2.(2016全国丙高考)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、 2 2 + 2 2 右顶点,P 为 C 上一点,且 PFx轴.过点 A的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE的中点,则 C 的离心率为( ) A.B.C.D. 1 3 1 2 2 3 3 4 解析:由题意,不妨设直线 l的方程为 y=k(x+a),k0,分别令 x=-c 与 x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设 OE 的中点为 G, 由OBGFBM,得, 1 2| | = | | 即,整理,得, 2( - )
3、 = + = 1 3 故椭圆的离心率 e= ,故选 A. 1 3 答案:A 3.已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+8=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的 2 2 2 2 圆心,则该双曲线的方程为( ) A.=1B.=1 2 7 2 2 2 25 2 16 C.-y2=1D.x2-=1 2 8 2 8 解析:圆 C:x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1, 圆心为(3,0),半径为 1. 双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x. 2 2 2 2 双曲线的渐近线与圆 C 相切,=1. |3| 2+ 2 又双曲线的右焦点为圆 C 的圆心, c
4、=3.结合 c2=a2+b2解得 b=1,a=2. 2 双曲线的方程为-y2=1.故选 C. 2 8 答案:C 4.已知双曲线=1(a0,b0)与直线 y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( ) 2 2 2 2 A.(1,)B.(1,)(,+) 555 C.(,+)D.,+) 55 解析:直线 y=2x 必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率|k|2,即 2,则有 2 - 2 2 4,所以 e2=5,所以 e.故选 C. 2 2 5 答案:C 5.若过椭圆=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是 . 2 16 + 2 4 解析:设弦两端点分别为 A(x
5、1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式相减并把 x1+x2=4,y1+y2=2 代入 2 1 16 + 2 1 4 2 2 16 + 2 2 4 得,=- .所求直线的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 1 - 2 1 - 2 1 2 1 2 答案:x+2y-4=0 6.过原点的直线 l与双曲线 C:=1(a0,b0)的左、右两支分别相交于 A,B 两点,F(-,0)是双曲 2 2 2 2 3 线 C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,=0,则双曲线 C 的方程为 . 解析:,FAFB, AFB 为直角三角形. 过原点的直线 l与双曲线 C:=1(a0,b0)的左
6、、右两支分别相交于 A,B 两点,F(-,0)是 2 2 2 2 3 双曲线 C的左焦点,|AB|=2. 3 设|FB|=x,则|FA|=4-x, x2+(4-x)2=12,x2-4x+2=0, x=2,|FB|=2+,|FA|=2-, 222 2a=|FB|-|FA|=2,a=,b=1, 22 双曲线 C 的方程为-y2=1. 2 2 答案:-y2=1 2 2 7.设 O为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A为抛物线上一点,且=-4,则点 A 的坐标 为 . 解析:设 A,则, ( 2 0 4 , 0) =( 2 0 4 , 0) F(1,0),. =( 1 - 2 0 4 , -
7、 0) =-=-4. = 2 0 4( 1 - 2 0 4) 2 0 1 16 4 0 3 4 2 0 整理得,+12-64=0,=4,即 y0=2.4 0 2 0 2 0 点 A 坐标为(1,2). 答案:(1,2) 8.焦点分别为(0,5)和(0,-5)的椭圆截直线 y=3x-2 所得弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆的方程. 22 1 2 解设椭圆的方程为=1(ab0),且 a2-b2=(5)2=50, 2 2 + 2 2 2 由消去 y,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0. 2 2 + 2 2 = 1, = 3 - 2, 设弦两端点的横坐标分别为 x1,x2,则 x1
8、+x2=. 122 2+ 92 ,即 a2=3b2, 1+ 2 2 = 1 2 62 2+ 92 = 1 2 此时 0.由得 a2=75,b2=25, 椭圆的方程为=1. 2 75 + 2 25 9.抛物线 y2=x上存在 P,Q 两点关于直线 y-1=k(x-1)对称,求 k 的取值范围. 解设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 2 1= 1, 2 2= 2. -,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, y1+y2=-k. 1 - 2 = - 1 ( 1 - 2), 1+ 2 2 - 1 = ( 1+ 2 2 - 1 ), -1=k - 2 ( 2 1+ 22 2 - 1 ) =
9、(y1+y2)2-2y1y2-2. 2 -k-2=kk2-2y1(-k-y1)-2, 2k+2k2y1+k3-k+2=0,2 1 =4k4-8k(k3-k+2)0, k(-k3+2k-4)0,k(k3-2k+4)0),则 =1,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1.由消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, = + 1, 2= 4, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4.2+ 1 由解得点 M的横坐标 xM=.同理,点 N 的横坐标 xN=. = 1 1 , = - 2, 21
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