2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习:第二章 空间向量与立体几何 2.4 Word版含解析.pdf
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1、4 用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直与平行 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.已知 a,b,c 分别为直线 a,b,c 的方向向量,且 a=b(0),bc=0,则 a 与 c的位置关系是( ) A.垂直B.平行C.相交D.异面 解析:由 a=b(0),知 ab. 由 bc=0,知 bc,所以 ac.故选 A. 答案:A 2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是( ) A.B. ( 3 3 , 3 3 , - 3 3) ( 3 3 , - 3 3 , 3 3) C.D. (- 3 3 , 3 3 , 3 3) (- 3 3 , -
2、 3 3 , - 3 3) 解析: =(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,-1,1). 设平面 ABC的一个单位法向量为 u=(x,y,z), 则 u=0,u=0,可得 x,y,z间的关系,且 x2+y2+z2=1,再求出 x,y,z的值. 答案:D 3.若平面 的法向量为 u=(1,-3,-1),平面 的法向量为 v=(8,2,2),则( ) A.B.与 相交 C.D.不确定 解析:平面 的法向量为 u=(1,-3,-1),平面 的法向量为 v=(8,2,2), uv=(1,-3,-1)(8,2,2)=8-6-2=0. uv,. 答案:C 4.给出下列命题: 若 n1,n2分别是平
3、面 , 的法向量,则 n1n2; 若 n1,n2分别是平面 , 的法向量,则 n1n2=0; 若 n 是平面 的法向量,且向量 a 与平面 共面,则 an=0; 若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. 其中正确命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 解析:不正确. 答案:B 5.导学号 90074037如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱 AB,CD,BC的中点,若 平行六面体的各棱长均相等,则 A1MD1P; A1MB1Q; A1M平面 DCC1D1; A1M平面 D1PQB1. 以上结论正确的是 .(填序号) 解析:, 1 = 1= 1=
4、1 A1MD1P. 又D1P平面 D1PQB1,A1M平面 D1PQB1. 又 D1P平面 DCC1D1,A1M平面 DCC1D1. D1B1与 PQ 平行不相等, B1Q与 D1P 不平行. A1M与 B1Q 不平行. 答案: 6.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),=(x-1,y,-3).若,且 BP平面 ABC,则实数 x,y,z的值分别为 . 解析:=(1,5,-2),=(3,1,z), (1,5,-2)(3,1,z)=0,即 3+5-2z=0,z=4. 又=(x-1,y,-3),平面 ABC, =0,即(x-1,y,-3)(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0. =0,即(
5、x-1,y,-3)(3,1,4)=0, 3x-3+y-12=0. 由得 x=,y=-,z=4. 40 7 15 7 答案:,-,4 40 7 15 7 7.如图,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,F是 AD上一点,当 BFPE时,AFFD的值 为 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为 1,PA=a.则 B(1,0,0),E,P(0,0,a). ( 1 2 ,1,0 ) 设点 F的坐标为(0,y,0), 则=(-1,y,0),. =(1 2,1, - ) BFPE,=0,解得 y= ,则点 F 的坐标为,F 为 AD 的中点,AFFD=1.
6、1 2 ( 0, 1 2 ,0 ) 答案:1 8.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点 E 在线段 BB1上,且 EB1=1,D,F,G分别为 CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:平面 EGF平面 ABD. 证明如图所示,由条件知 BA,BC,BB1两两互相垂直,以 B 为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系. 由条件知 B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),设 BA=a,则 A(a,0,0),G. ( 2 ,1,4 ) 所以=(a,0,0),=(0
7、,2,2),=(0,2,-2),=(0,1,1). 1 =( 2 ,1,1 ), (方法一)因为=0,=0+4-4=0, 11 所以 B1DBA,B1DBD.因为 BABD=B,所以 B1D平面 ABD. 又=0+2-2=0,=0+2-2=0. 11 所以 B1DEG,B1DEF.又 EGEF=E, 所以 B1D平面 EFG,可知平面 EGF平面 ABD. (方法二)设平面 EGF 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则1 = 0, 1 = 0, 1+ 1 = 0, 21 + 1+ 1 = 0, 即 1 = 0, 1= - 1, 令 y1=1,则 n1=(0,1,-1). 设平面 ABD
8、 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 则 即 2 = 0, 2 = 0, 2 = 0, 22+ 22 = 0, 2 = 0, 2= - 2, 令 y2=1,则 n2=(0,1,-1). 所以 n1=n2, 所以平面 EGF平面 ABD. 9.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都为 2,D 为 CC1的中点.求证:AB1平面 A1BD. 证明如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO. 因为ABC为正三角形,所以 AOBC. 因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,平面 ABC平面 BCC1B1,所以 AO平面 BCC1B1. 取 B1C1的中点 O1,以 O 为原点,以为 x
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