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1、2.1.2 数列的递推公式(选学),1.了解递推公式是数列的一种表示方法. 2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项. 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.,1.数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 名师点拨1.与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式. 2.递推公式也是给出数列的一种重要方法.事实上,递推公式与通项公式一样,都是关于n的恒等式,我们可用符合要求的正整数依次去替换n,从而可
2、以求出数列的各项.,【做一做1】 数列2,4,6,8,10,的递推公式是( ) A.an=an-1+2(n2) B.an=2an-1(n2) C.an=an-1+2,a1=2(n2) D.an=2an-1,a1=2(n2) 答案:C,2.通项公式与递推公式的区别与联系,名师点拨1.数列的通项公式是给出数列的主要形式,如果已知数列an的通项公式an=f(n),则可求出数列中的各项与指定项,还可进一步探讨数列的增减性及数列中项的最大值或最小值. 2.数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式,只要给出数列的递推公式,就可依次求出数列的各项,有时递推公式与通项公式之间可以互化.,【做一做2】已知在数列
3、an中,a1=1,a2=2,且an+1-an=1+(-1)n(n2),则a10= . 解析:由题意,知a10-a9=1+(-1)9,a9-a8=1+(-1)8,a8-a7=1+(-1)7,a3-a2=1+(-1)2,累加上述各式,可得a10-a2=8.又a2=2,所以a10=10. 答案:10,一,二,三,一、通项公式与递推公式 剖析:递推公式是:已知数列an的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.通项公式是:一个数列an的第n项an与项数n之间的关系,如果可以用一个公式an
4、=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系. 对于通项公式,只要将公式中的n依次取值1,2,3,即可得到相应的项;而递推公式则要已知首项(或前几项),才可求得其他的项.往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式,从而能够更直接地研究数列.,一,二,三,二、教材中的“?” (1)你能猜想出例1中这个数列的通项公式吗?,(2)你能比较例2中an与an+1的大小吗?你能比较an与an+2的大小吗? 剖析当n为奇数时,an+1an;当n为偶数时,an+1an;当n为偶数时,an+2an.,一,二,三
5、,三、教材中的“思考与讨论” 章前图中的左图说明,一对小兔子(一雄一雌)一个月后长成一对成年兔,又一个月后生出一对小兔子(一雄一雌);再过一个月小兔子长成成年兔,同时,成年兔又生出一对小兔子(一雄一雌).以此规律,每过一个月小兔子长成成年兔,成年兔生出一对小兔子.假定每次生出的小兔子都是一雄一雌,并且排除兔子发生死亡的情况,这样每个月兔子的对数,依次可以排成一个数列,请写出此数列的前6项,你能通过递推公式表示这个数列吗? 剖析:a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,递推公式为an=an-1+an-2(n=3,4,5,),a1=1,a2=1.,题型一,题型二,题型三,由递推
6、公式写出数列的项 【例1】 在数列an中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n1),写出此数列的前六项. 分析:通过观察,此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式,知道前两项就可以求出后一项. 解:a1=2,a2=3, a3=3a2-2a1=33-22=5, a4=3a3-2a2=35-23=9, a5=3a4-2a3=39-25=17, a6=3a5-2a4=317-29=33.,题型一,题型二,题型三,反思由递推公式写出数列的项的方法: (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可; (2)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面
7、的项表示后面的项的形式; (3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 在数列an中,已知a1=1,且当n2时,a1a2a3an=n2,则a3+a5等于( ),答案:B,题型一,题型二,题型三,由递推公式求通项公式 【例2】 已知数列an,a1=1,an=an-1+ (n2). (1)写出数列an的前5项; (2)求数列an的通项公式. 分析:(1)中只需利用代入法依次求出a2,a3,a4,a5即可. (2)利用下列关系式: an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1;,题型一,题型
8、二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.累加法 当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1累加来求通项公式an. 2.累乘法 如果递推关系可以变形为an+1=g(n)an的形式,且g(n)能够求积,则可用累乘法求数列的通项公式.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 设an是首项为1的正项数列,且 (nN+),则它的通项公式an= . 解析:已知等式可化为(an+1+an)(n+1)an+1-nan=0, an0(nN+),题型一,题型二,题型三,易错辨析 易错点:不完全归纳结论未加验证而致误 【例3】 数列an满
9、足a1=1,以后各项由an+1=an+2(2n3-12n2+22n-11)给出,写出这个数列的前4项,并写出其通项公式. 错解:a1=1,a2=3,a3=5,a4=7. 由此猜想,这个数列是正奇数从小到大排成的, an=2n-1. 错因分析:猜想的结论并不都是正确的,必须证明其正确性,如当n=5时,a5=33,故通项公式不正确.,题型一,题型二,题型三,正解:a2=a1+2(213-1212+221-11), a3=a2+2(223-1222+222-11), a4=a3+2(233-1232+223-11), ,an=an-1+22(n-1)3-12(n-1)2+22(n-1)-11,以上所
10、有式子相加得an=n4-10n3+35n2-48n+23(n2). 当n=1时,a1=1-1013+3512-481+23=1符合上式,an=n4-10n3+35n2-48n+23.,1 2 3 4 5,1下列说法错误的是( ) A.递推公式也是数列的一种表示方法 B.an=an-1,a1=1(n2)是递推公式 C.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式 D.an=2an-1,a1=2(n2)是递推公式 解析:通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式,我们也可以确定数列,它也是给出数列的一种方法.an=an-1(n2)与an=2an-1(n2),这两个关系式虽然比较特
11、殊,但都表示的是数列中的任一项与它的前一项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式. 答案:C,1 2 3 4 5,2已知数列an的首项a1=1,且an=3an-1+1(n2),则a4为( ) A.13 B.15 C.30 D.40 解析:利用递推式可逐个求出a2,a3,a4. 答案:D,1 2 3 4 5,3已知数列an的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n2)给出,则该数列的第5项等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2), a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 答案:C,1 2 3 4 5,4在数列an中,已知a1=a2=2,an+2=3an+1-an,则a4= . 解析:由题意,得a3=3a2-a1=6-2=4,a4=3a3-a2=12-2=10. 答案:10,1 2 3 4 5,5已知a1=0,an+1=an+(2n-1),依次写出数列an的前5项,并归纳出数列的一个通项公式. 解:a1=0,an+1=an+(2n-1), a2=a1+(21-1)=0+1=1, a3=a2+(22-1)=1+3=4, a4=a3+(23-1)=4+5=9, a5=a4+(24-1)=9+7=16. 故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.,
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