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1、2.2 等差数列,2.2.1 等差数列,1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念. 3.理解等差数列的性质.,1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示. 名师点拨1.定义中从“第2项起”,这一条件是指第1项是首项,前面没有其他项. 2.“每一项与它的前一项的差”说明了运算的顺序,必须是后项减前项,而且必须是相邻的两项. 3.“同一常数”是指每一项与它前一项的差必须相同,否则不是等差数列.,【做一做1】 如果一个数列的前3项分别为1,2,3
2、,那么下列结论中正确的是( ) A.它一定是等差数列 B.它一定是递增数列 C.它一定是有穷数列 D.以上结论都不一定正确 答案:D,2.等差数列的通项公式 如果一个等差数列an的首项为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d . 名师点拨等差数列通项公式的其他形式. (1)an=am+(n-m)d;(2)an=an+b(a,b是常数). 【做一做2-1】 已知数列an的通项公式为an=2(n+1)+3,则此数列( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为5的等差数列 D.不是等差数列 解析:已知a1=7,an-an-1=2(n2),故这是一个以2为公差
3、的等差数列. 答案:A,【做一做2-2】 等差数列1,-1,-3,-89的项数是 ( ) A.92 B.47 C.46 D.45 解析:由已知,得a1=1,d=(-1)-1=-2, an=1+(n-1)(-2)=-2n+3. 令-2n+3=-89,得n=46. 答案:C,3.等差中项 如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.x,A,y是等差数列的充要条件是2A=x+y . 归纳总结1.当三个数成等差数列时,一般设为a-d,a,a+d;当四个数成等差数列时,一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d. 2.在等差数列an中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它
4、的前一项与后一项的等差中项,表示为an+1= ,等价于an+an+2=2an+1,an+1-an=an+2-an+1. 【做一做3】已知在ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于( ) A.30 B.60 C.90 D.120 答案:B,一,二,三,一、解读等差数列的概念 剖析:(1)在等差数列的定义中,要注意两点,“从第2项起”及“同一个常数”.因为数列的第1项没有前一项,因此强调从第2项起,如果一个数列,不从第2项起,而是从第3项或从第4项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列.一个数列,从第2项起,每一项与它的前
5、一项的差,尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这个常数可以不同. (2)求公差d时,可以利用d=an-an-1(n2)或d=an+1-an来求. (3)公差dR,当d=0时,数列为常数列;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列.,一,二,三,(4)d=an-an-1(n2)或d=an+1-an是证明一个数列是等差数列的依据,切忌只通过计算数列中特殊几项的差,发现它们是同一常数,就断定此数列为等差数列.,一,二,三,二、等差数列的性质 剖析:若数列an是公差为d的等差数列,(2)an=am+(n-m)d(n,mN+). (3)若m+n=p+q(m,n,p,qN+),则am+
6、an=ap+aq.,(5)若数列an是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=ai+1+an-i=. (6)数列an+b(,b是常数)是公差为d的等差数列. (7)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)组成公差为md的等差数列.,一,二,三,(8)若数列bn也为等差数列,则anbn,kan+bn(k为非零常数)也成等差数列. (9)若an是等差数列,则a1,a3,a5,仍成等差数列. (10)若an是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,仍成等差数列.,一,二,三,三、教材中
7、的“?” (1)通项公式为an=an-b(a,b是常数)的数列都是等差数列吗? 剖析:通项公式为an=an-b(a,b为常数)的数列都是等差数列,其公差为a.,剖析:因为x,A,y成等差数列, 所以A-x=y-A,即2A=x+y.,(3)要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件? 剖析:因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d,所以要确定一个等差数列的通项公式,需要知道两个独立的条件.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,等差数列的判断 【例1】 判断下列数列是否为等差数列. (1)an=3n+2;(2)an=n2+n. 分析:利用等差数列的定义,即判断an+1-an(nN
8、+)是否为常数. 解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN+). 由n的任意性知,这个数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数, 所以这个数列不是等差数列.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思1.利用定义法判断等差数列时,关键是看an+1-an得到的结果是否是一个与n无关的常数,若是,即为等差数列,若不是,则不是等差数列. 2.等差数列的判断方法. (1)定义法:an-an-1=d(n2)或an+1-an=d数列an是等差数列; (2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n2)数列an为等差数列;
9、 (3)通项公式法:an=an+b数列an是以a1=a+b为首项,以a为公差的等差数列.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练1】 已知 成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.,分析:要证明三个数成等差数列,一般只要证明中间项是另两项的等差中项即可.,(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b), a2+c2=2b2, a2,b2,c2也成等差数列.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,等差数列的通项公式及其应用 【例2】 已知递减等差数列an的前三项和为18,前三项的乘积为66,求数列an的通项公式,并判断-34是数列an的项吗? 分析:由数列前三项和为18
10、,前三项积为66,列出关于a1和d的方程组,通过解方程组求得a1和d,由递减等差数列的条件确定方程组的解即可求出an;由an=-34求n,然后由nN+可判断.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,又该数列为递减数列,所以d=5不合题意, 所以该数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=11-5(n-1)=-5n+16. 令-5n+16=-34,解得n=10. 即-34是数列an中的项,为第10项.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,【互动探究】 若将本例中的“递减等差数列”改为“递增等差数列”,其余条件不变,结果如何? 答案:an=5n-4,-34不是数列an中的项. 反思1.已知等
11、差数列的首项和公差,可以求得这个数列中的任一项. 2.在等差数列中,已知a1,n,d,an这四个量中的三个,可以求得第四个量,即“知三求一”. 3.待定系数法求等差数列的通项公式是基本方法.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,【变式训练2】 已知递增的等差数列an满足a1=1,a3= 2 2 -4,则an= . 解析:利用等差数列的通项公式求解. 设等差数列公差为d, 则由a3= -4,得1+2d=(1+d)2-4, 即d2=4,解得d=2. 该数列为递增数列,d=2. an=1+(n-1)2=2n-1. 答案:2n-1,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,等差数列性质的应用 【例3
12、】 已知在等差数列an中,a2+a6+a10=1,求a3+a9. 分析:既可以用等差数列的性质得到a2+a10=a3+a9=2a6,也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解. 解:方法一:根据等差数列的性质,得 a2+a10=a3+a9=2a6. 又a2+a6+a10=1,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,方法二:根据等差数列的通项公式,得 a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d.,反思方法一运用了等差数列的性质:若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数);方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结
13、构完成运算,属于通法.两种方法都运用了整体代换及方程的思想.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练3】 已知在等差数列an中,a1+3a8+a15=120,求2a9-a10的值. 解:a1+3a8+a15=5a8=120, a8=24. 故2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例4】 在等差数列an中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求an的通项公式. 分析:由于题中数列an是等差数列,则联想到利用等差数列的性质求解. 解:a3+a13=a8+a8=2a8,a3+a8+a13=12, 3a8=12,即a8=
14、4. 又a3a8a13=28, a3+a13=8,a3a13=7.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思用通项公式解答等差数列问题的基本方法主要是:(1)采用基本量法,即解得数列的首项a1,公差d,运用通项公式解决问题;(2)灵活运用性质,这是简化等差数列运算的有效手段.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练4】 已知在等差数列an中,a49=80,a59=100,求a79的值. 分析:(1)采用基本量法求解;(2)灵活运用性质求解.,方法二:因为a59=a49+(59-49)d,所以a79=a59+(79-59)d=100+202=140. 方法三:因为a49,a59,
15、a69,a79,成等差数列, 所以a79=a49+(4-1)(a59-a49)=80+320=140.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,构造等差数列求通项公式 【例5】 数列an的各项均为正数,且满足 a1=1,求an. 分析:利用题中所给关系的结构特征,构造等差数列,利用所构造的等差数列求an.,反思应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式.构造等差数列的方法一般有:平方法、开平方法、倒数法等.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练5】 在数列an中,a1=1,an+1= ,求an.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,易错辨析 易错点1:忽视公差取值的多样
16、性而致误 【例6】 已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值. 错解:因为b是a,c的等差中项,所以2b=a+c. 又a+b+c=15, 所以3b=15,所以b=5. 不妨设a=5-d,c=5+d. 由题可知2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1), 所以2lg 4=lg(5-d+1)+lg(5+d-1). 所以16=25-(d-1)2. 所以(d-1)2=9,即d-1=3. 所以d=4,所以a,b,c分别为1,5,9.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,错因分析:解方程(d-1)2=9时,d-1
17、应取3.而错解只取d-1=3,漏掉了d-1=-3的情况. 正解:因为b是a,c的等差中项,所以2b=a+c. 又a+b+c=15, 所以3b=15.所以b=5. 不妨设a=5-d,c=5+d. 由题可知2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1), 所以2lg 4=lg(5-d+1)+lg(5+d-1). 所以16=25-(d-1)2, 即(d-1)2=9. 所以d-1=3, 即d=4或d=-2. 所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,易错点2:错误理解两数列的相同项而致误 【例7】 已知两个等差数列an:5,8,11,与bn:3,7,
18、11,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项? 错解:已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为an=3n+2,bn=4n-1(1n100).令an=bn,得3n+2=4n-1,即n=3.所以两数列只有1个数值相同的项,即第3项. 错因分析:本题中所说的数值相同的项,它们的项的序号并不一定相同.例如23在数列an中是第7项,而在数列bn中是第6项,我们也说它是两个数列中数值相同的项,也就是说,在这里我们只看这个数在两个数列中有没有都出现过,而并不关心它是这两个数列中的第几项.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,正解:因为an=3n+2(nN+),bk=4k-1
19、(kN+),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得, 所以n= k-1.而nN+,kN+, 所以可设k=3r(rN+),得n=4r-1.,可得1r25. 所以共有25个相同数值的项.,1 2 3 4 5,1已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( ) A.2 B.3 C.6 D.9,答案:B,1 2 3 4 5,2已知an是首项a1=1,公差d=3的等差数列,若an=2 014,则序号n等于( ) A.669 B.670 C.671 D.672 解析:由首项a1=1,公差d=3,得an=a1+(n-1)d=3n-2. 代入an=2 014=3n-2,解得n=672. 答案:D,1 2 3 4 5,3在等差数列an中,已知a3=7,a5=a2+6,则a6= . 解析:在等差数列an中,a3=7,a5-a2=6, 3d=6. a6=a3+3d=7+6=13. 答案:13,1 2 3 4 5,4若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .,1 2 3 4 5,5在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.求数列an的通项公式. 解:由a3+a4+a5=84,得3a4=84, a4=28,又a9=73,an=a4+(n-4)d=28+(n-4)9=9n-8, an=9n-8.,
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