2019版数学人教A版选修4-5课件:第四讲 用数学归纳法证明不等式 本讲整合 .pptx
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1、本讲整合,专题一,专题二,专题一 正确使用数学归纳法 同学们在刚开始学习数学归纳法时,常常会遇到两个困难,一是数学归纳法的思想实质不容易理解,二是归纳步骤的证明有时感到难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理,以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理,弄清它的实质,从而明确如何正确地使用数学归纳法. (1)缺少数学归纳法的第二步. 有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立,那么由P(k)成立导出P(k+1)成立是必然的,因此第二步归纳步骤是流于形式,证与不证似乎一样,显然这是不正确的.产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用,如果没有递推性,那么一个命题可能对于开头
2、的许多自然数都成立,但是对于一般的自然数并不成立,我们举几个例子来看看.,专题一,专题二,这是个合数,费尔玛的猜想错了. 这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明,用数学归纳法证明时第二步不可缺少.,专题一,专题二,(2)缺少数学归纳法的第一步. 也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用,而且k又可以任意取值,这样就够了,有没有第一步P(1)无关紧要.这种认识也是错误的,它忽视了第一步的奠基作用,因为如果没有P(1)成立,归纳假设P(k)成立就没有了依据,因此递推性也就成了无源之水,无本之木,下面我们看一个这样的例子.,专题一,专题二,例:证明(n+1)2+(n+2)2一定是偶数(nN+).
3、 证明:假设当n=k时命题成立,即(k+1)2+(k+2)2是偶数.当n=k+1时, (k+1)+12+(k+1)+22=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2+4(k+2). 由假设(k+1)2+(k+2)2是偶数,又4(k+2)也是偶数,所以上式是偶数,这就是说当n=k+1时命题也成立. 由此,对于任意的正整数n,(n+1)2+(n+2)2一定是偶数. 这个结论显然是错误的,原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤,实际上,当n=1时,(1+1)2+(1+2)2=4+9=13不是偶数,这说明使用数学归纳法时不可缺少第一步.,专题一,专题二,专题一,专题二,专题二
4、 数学归纳法证题的几种技巧 在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.,专题一,专题二,1.分析综合法 用数学归纳法的假设证明关于正整数n的命题,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法. 应用1求证:对任意正整数n,有13+23+33+n3=(1+2+n)2成立.,提示:这是一个等式证明问题,它涉及全体正
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