2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2练习:第一章 推理与证明 1.1 Word版含解析.pdf
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1、第一章DIYIZHANG推理与证明 1 归纳与类比归纳与类比 课后训练案巩固提升巩固提升 A组 1.观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n2)个圆点,第 n 个图案中圆点的总 数是 Sn.按此规律推断出 Sn与 n 的关系式为( ) A.Sn=2nB.Sn=4n C.Sn=2nD.Sn=4n-4 解析:由 n=2,n=3,n=4的图案,推断第 n 个图案是这样构成的:圆点排成正方形的四条边,每条边 上有 n个圆点,则圆点的个数为 Sn=4n-4. 答案:D 2.下列几种推理中是合情推理的是( ) 由圆的性质类比出球的有关性质. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和均
2、为 180,归纳出所有三角形的内角和 均为 180. 教室内有一把椅子坏了,猜想该教室内所有的椅子都坏了. 由 a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,归纳出数列an的通项公式为 an=2n-1. A.B.C.D. 解析:是类比推理,是归纳推理,故都是合情推理. 答案:C 3.下面使用类比推理恰当的是( ) A.“若 a3=b3,则 a=b”类比推出“若 a0=b0,则 a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(ab)c=acbc” C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(c0)” + = + D.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn” 答案:C 4.已知
3、数对如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第 60 个数对 是( ) A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7) 解析:由前面的几个数对不难发现,数对中两数之和为 2 的有 1 个,为 3 的有 2 个,为 4 的有 3 个,为 11的有 10个,则根据数对规律可推出第 56个数对为(1,11),往下的数对依次为 (2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),.故选 D. 答案:D 5.已知bn为等比数列,b5=2,则 b1b2b3b4b5b6b7b8
4、b9=29,若an为等差数列,a5=2,则an的类 似结论为( ) A.a1a2a3a9=29 B.a1+a2+a3+a9=29 C.a1a2a3a9=29 D.a1+a2+a3+a9=29 解析:由数列bn为等比数列,且 b1b2b3b4b9=29.等式左边为前 9 项的积,类比到等差数列an中, 则应为前 9项的和,即 a1+a2+a3+a9.等式右边为 29,则类比到等差数列an中应为 29,即可得类 似结论为 a1+a2+a3+a9=29. 答案:D 6.观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第 n 个等式为 .
5、 解析:1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52, 第 n个等式为 n+(n+1)+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(3n-2)=(2n-1)2 7.观察下列等式:=1,. sin30 + sin90 cos30 + cos90 = 3, sin15 + sin75 cos15 + cos75 sin20 + sin40 cos20 + cos40 = 3 3 照此规律,对于一般的角 ,有等式 . 解析:根据等式的特点,发现 tan,tan =1,tan ,故对于一般的角 30 + 90 2 = 3 15 + 75 2 20 + 40 2 = 3 3
6、 , 的等式为=tan. sin + sin cos + cos + 2 答案:=tan sin + sin cos + cos + 2 8.阅读以下求 1+2+3+n(nN+)的过程: 因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,22-12=21+1, 以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+n)+n,所以 1+2+3+n=. 2+ 2 - 2 = ( + 1) 2 类比上述过程,可得 12+22+32+n2= (nN+). 解析:因为(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,23-13=312+31+1,以
7、上各式相加 得(n+1)3-13=3(12+22+n2)+3(1+2+n)+n,所以 12+22+32+n2=. ( + 1)(2 + 1) 6 答案: ( + 1)(2 + 1) 6 9.已知数列an满足 a1=1,(nN+). + 1 = + 1 (1)求 a2,a3,a4,a5,并猜想通项公式 an; (2)根据(1)中的猜想,有下面的数阵: S1=a1 S2=a2+a3 S3=a4+a5+a6 S4=a7+a8+a9+a10 S5=a11+a12+a13+a14+a15 试求 S1,S1+S3,S1+S3+S5,并猜想 S1+S3+S5+S2n-1的值. 解(1)因为 a1=1,由,知
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