2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2练习:第一章 推理与证明 1.4 Word版含解析.pdf
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1、4 数学归纳法数学归纳法 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.如果 f(n)=1+(nN+),那么 f(n+1)-f(n)等于( ) 1 2 + 1 3 1 3 - 1 A.B. 1 3 + 2 1 3 + 1 3 + 1 C.D. 1 3 + 1 + 1 3 + 2 1 3 + 1 3 + 1 + 1 3 + 2 解析:f(n+1)=1+, 1 2 + 1 3 1 3 - 1 + 1 3 + 1 3( + 1) - 2 + 1 3( + 1) - 1 f(n)=1+, 1 2 + 1 3 1 3 - 1 f(n+1)-f(n)= 1 3 + 1 3( + 1) - 2 + 1 3( +
2、1) - 1 =. 1 3 + 1 3 + 1 + 1 3 + 2 答案:D 2.观察下列式子:1+,1+,1+,则可归纳出 1+小于 1 22 42成立,则当 k4 时,均有 f(k)k2成立. 答案:D 4.已知 n为正偶数,用数学归纳法证明 1-+=2时,若已假设 1 2 + 1 3 1 4 1 - 1 ( 1 + 2 + 1 + 4 + + 1 2) n=k(k2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证( ) A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 解析:根据数学归纳法的步骤,若已假设 n=k(k2,k 为偶
3、数)时命题成立,则还需要用归纳假设证下一 个偶数,即 n=k+2 时等式成立. 答案:B 5.用数学归纳法证明关于 n 的不等式+(nN+),由 n=k 递推到 n=k+1 时,不等 1 + 1 + 1 + 2 1 2 13 24 式的左边的变化为 . 解析:假设 n=k时,不等式成立,即+, 1 + 1 + 1 + 2 1 2 13 24 则当 n=k+1时,不等式左边=+ 1 ( + 1) + 1 + 1 ( + 1) + 2 1 2 + 1 2 + 1 + 1 2( + 1) =+ 1 + 2 + 1 + 3 1 2 + 1 2 + 1 + 1 2 + 2 =+ 1 + 1 + 1 +
4、2 1 2 +( 1 2 + 1 + 1 2 + 2 - 1 + 1) =+. 1 + 1 + 1 + 2 1 2 + 1 2 + 1 1 2 + 2 答案:增加 1 2 + 1 1 2 + 2 6.用数学归纳法证明 12+22+32+n2=(nN+). ( + 1)(2 + 1) 6 证明(1)当 n=1 时,左边=12=1,右边=1,等式成立. 1 (1 + 1)(2 1 + 1) 6 (2)假设当 n=k(k1,kN+)时等式成立,即 12+22+k2=, ( + 1)(2 + 1) 6 则当 n=k+1时, 12+22+k2+(k+1)2=+(k+1)2= ( + 1)(2 + 1)
5、6 ( + 1)(2 + 1) + 6( + 1)2 6 =( + 1)(2 2+ 7 + 6) 6 = ( + 1)( + 2)(2 + 3) 6 =, ( + 1)( + 1) + 12( + 1) + 1 6 即当 n=k+1时等式也成立. 由(1)和(2),可知等式对任何 nN+都成立. 7.已知正数数列an(nN+)的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=an+,请用数学归纳法证明 an=. 1 - 1 证明(1)当 n=1 时,a1=S1=, 1 2(1 + 1 1) =1(an0).2 1 a1=1.又=1,当 n=1 时,结论成立. 10 (2)假设当 n=k(k1,kN+)时,结
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