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1、考点 30等比数列及其前 n 项和考点 30等比数列及其前 n 项和 1、设数列an满足 2anan1(nN N*),且前n项和为Sn,则的值为( ) S4 a2 A.B 15 2 15 4 C4 D2 【答案】A 【解析】由题意知,数列an是以 2 为公比的等比数列,故.故选 A. S4 a2 a1124 12 a1 2 15 2 2、设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和已知a2a41,S37,则S5等于( ) A. B 15 2 31 4 C. D 33 4 17 2 【答案】B 【解析】 设数列an的公比为q, 则显然q1, 由题意得Error!解得Error!或Error!(
2、舍去), S5 a11q5 1q . 4(1 1 25) 11 2 31 4 3、已知等比数列an的前n项和为Sna2n1 ,则a的值为( ) 1 6 A B 1 3 1 3 C D 1 2 1 2 【答案】A 【解析】当n2 时,anSnSn1a2n1a2n2a2n2,当n1 时,a1S1a ,所以a , 1 6 1 6 a 2 所以a . 1 3 4、在各项均为正数的等比数列an中,a13,a9a2a3a4,则公比q的值为( ) A. B 23 C2 D3 【答案】D 【解析】由a9a2a3a4得a1q8a q6,所以q2a.因为等比数列an的各项都为正数,所以qa13. 3 12 1 5
3、、已知数列 1,a1,a2,9 是等差数列,数列 1,b1,b2,b3,9 是等比数列,则的值为( ) b2 a1a2 A. B 7 10 7 5 C. D 3 10 1 2 【答案】C 【解析】 因为 1,a1,a2,9 是等差数列, 所以a1a21910.又 1,b1,b2,b3,9 是等比数列, 所以b199, 2 2 因为bb20,所以b23,所以. 2 1 b2 a1a2 3 10 6、在等比数列an中,a5a113,a3a134,则( ) a15 a5 A3 B1 3 C3 或 D3 或 1 3 1 3 【答案】C 【解析】根据等比数列的性质得Error!Error!化简得 3q2
4、010q1030,解得q103 或 ,所以q103 1 3 a15 a5 a5q10 a5 或 . 1 3 7、古代数学著作九章算术有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思 是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这女子每天分别织布 多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于 30,该女子所需的天数至少为( ) A7 B8 C9 D10 【答案】B 【解析】设该女子第一天织布x尺,则5,得x, x125 12 5 31 前n天所织布的尺数为(2n1)由(2n1)30,得 2n187,则n的最小值为 8. 5 31
5、 5 31 8、已知各项均是正数的等比数列an中,a2,a3,a1成等差数列,则的值为( ) 1 2 a4a5 a3a4 A. B 51 2 51 2 CD或 51 2 51 2 51 2 【答案】B 【解析】设an的公比为q(q0) 由a3a2a1, 得q2q10, 解得q.从而q. 15 2 a4a5 a3a4 15 2 9、已知数列an满足 log3an1log3an1(nN*),且a2a4a69,则 log (a5a7a9)的值是( ) 1 3 A5 B1 5 C5 D1 5 【答案】A 【解析】因为 log3an1log3an1,所以an13an. 所以数列an是公比q3 的等比数列
6、, 所以a2a4a6a2(1q2q4)9. 所以a5a7a9a5(1q2q4)a2q3(1q2q4)93335. 所以 log 35log3355. 1 3 10、在数列an中,“an2an1,n2,3,4,”是“an是公比为 2 的等比数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当an0 时,也有an2an1,n2,3,4,但an不是等比数列,因此充分性不成立 ; 当an是 公比为 2 的等比数列时,有2,n2,3,4,即an2an1,n2,3,4,所以必要性成立故选 B. an an1 11、在等比数列an中,an0,a1
7、a2a84,a1a2a816,则的值为( ) 1 a1 1 a2 1 a8 A2 B4 C8 D16 【答案】A 【解析】 由分数的性质得到.因为a8a1a7a2a3a6a4a5, 所以 1 a1 1 a2 1 a8 a8a1 a8a1 a7a2 a7a2 a4a5 a4a5 原式,又a1a2a816(a4a5)4,an0,a4a52,2. a1a2a8 a4a5 4 a4a5 1 a1 1 a2 1 a8 12、已知等比数列an的前n项积记为n.若a3a4a88,则9( ) A512 B256 C81 D16 【答案】A 【解析】由题意知,a3a4a7qa3a7a4qa3a7a5a8,9a1
8、a2a3a9(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5a, 3 59 5 所以983512. 13、已知an是等比数列,a22,a5 ,则a1a2a2a3anan1(nN*)的取值范围是( ) 1 4 A12,16 B8,32 3 C. D 8, 32 3) 16 3 ,32 3 【答案】C 【解析】因为an是等比数列,a22,a5 ,所以q3 ,q ,a14,故a1a2a2a3anan1 1 4 a5 a2 1 8 1 2 (1q2n),故选 C. a1a21q2n 1q2 32 38, 32 3) 14、 设an是首项为正数的等比数列, 公比为q, 则 “q0” 是 “对任意的正
9、整数n,a2n1a2n0” 的( ) A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若对任意的正整数n,a2n1a2n0,则a1a20,又a10,所以a20,所以q0.若q0, a2 a1 可取q1,a11,则a1a2110,不满足对任意的正整数n,a2n1a2n0.所以“q0”是“对 任意的正整数n,a2n1a2n0”的必要而不充分条件,故选 C. 15、已知等比数列an的各项均为不等于 1 的正数,数列bn满足bnlg an,b318,b612,则数列bn 的前n项和的最大值为( ) A126 B130 C132 D134 【答案】C 【解
10、析】 设等比数列an的公比为q(q0), 由题意可知, lg a3b3, lg a6b6.又b318,b612, 则a1q2 1018,a1q51012,q3106,即q102,a11022.an为正项等比数列,bn为等差数列,且公 差d2,b122, 故bn22(n1)(2)2n24.数列bn的前n项和Sn22n( nn1 2 2)n223n 2 .又nN N*,故n11 或 12 时,(Sn)max132. (n 23 2) 529 4 16、 设数列an是以3为首项, 1为公差的等差数列, bn是以1为首项, 2为公比的等比数列, 则ba1ba2ba3 ba4( ) A15 B60 C6
11、3 D72 【答案】B 【解析】由数列an是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,得数列an的通项公式为an3(n1)1n2. 由数列bn是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列, 得数列bn的通项公式为bnb1qn12n1, 所以ban2n1, 所以ba1ba2ba3ba42223242560. 4 124 12 17、已知数列an的首项为 1,数列bn为等比数列且bn,若b10b112,则a21_. an1 an 【答案】1 024 【解析】b1a2,b2, a2 a1 a3 a2 a3b2a2b1b2,b3, a4 a3 a4b1b2b3,anb1b2b3bn1, a21b1b2b3b2
12、0(b10b11)102101 024. 18、已知an为等比数列,且a3a636,a4a718.若an ,则n_. 1 2 【答案】 9 【解析】 设an的公比为q, 由a3a636,a4a7(a3a6)q18, 解得q , 由a1(q2q5)36 得a1128, 1 2 进而an128 n1n8.由an ,解得n9. ( 1 2) ( 1 2) 1 2 19、设等比数列an满足a1a310,a2a45,则a1a2an的最大值为_ 【答案】64 【解析】设等比数列an的公比为q,则由a1a310,a2a4q(a1a3)5,知q .又a1a1q210, 1 2 a18. 故a1a2ana q1
13、2(n1)23n n1 ( 1 2) n1n 2 23n 2n. n2 2 n 2 n2 2 7 2 记t (n27n) 2 , n2 2 7n 2 1 2 1 2(n 7 2) 49 8 结合nN*可知n3 或 4 时,t有最大值 6. 又y2t为增函数,从而a1a2an的最大值为 2664. 20、设数列an是首项为 1,公比为2 的等比数列,则a1|a2|a3|a4|_. 【答案】15 【解析】由题意得an(2)n1,所以a1|a2|a3|a4|1|2|(2)2|(2)3|15. 21、已知等差数列an的前 5 项和为 105,且a102a5.对任意的mN N*,将数列an中不大于 72
14、m的项的个数 记为bm,则数列bm的前m项和Sm_. 【答案】7 2m17 48 【解析】 设数列an的公差为d, 前n项和为Tn.由T5105,a102a5, 得Error!Error!解得a17,d7, 因此ana1 (n1)d77(n1)7n(nN N*)对任意的mN N*,若an7n72m,则n72m1.因此bm72m1,所以数 列bm是首项为 7,公比为 49 的等比数列,故Sm. 7 149m 149 7 72m1 48 72m17 48 22、已知等差数列an的公差d0,且a2,a51,a10成等比数列,若a15,Sn为数列an的前n项和, 则的最小值为_ 2Snn32 an1
15、【答案】20 3 【解析】 由于a2,a51,a10成等比数列, 所以(a51)2a2a10, (a14d1)2(a1d)(a19d), 又a15, 所以d3,所以an53(n1)3n2,Snna1d5nn(n1),所以 nn1 2 3 2 2Snn32 an1 3(n1)2,当且仅当 3(n1),即n2 时等号成立 3n28n32 3n3 1 3 27 n1 20 3 27 n1 23、设数列an的前n项和为Sn,a11,且数列Sn是以 2 为公比的等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)求a1a3a2n1. 【答案】(1) anError! (2) 2 2n11 3 【解析】(1)S
16、1a11, 且数列Sn是以 2 为公比的等比数列, Sn2n1, 又当n2 时,anSnSn12n2(21)2n2. 当n1 时a11,不适合上式 anError! (2)a3,a5,a2n1是以 2 为首项,以 4 为公比的等比数列, a3a5a2n1. 214n 14 24n1 3 a1a3a2n11. 24n1 3 22n11 3 24、已知数列an满足a1,an110an1. 899 9 (1)证明:数列是等比数列,并求数列an的通项公式; a n1 9 (2)数列bn满足bnlg,Tn为数列的前n项和,求证:Tn . (a n1 9) 1 bnbn1 1 2 (1)【解】由an110
17、an1,得an1 10an10,所以10,所以数列是等 1 9 10 9 (a n1 9) an11 9 an1 9 a n1 9 比数列,首项为a1 100,公比为 10. 1 9 所以an 10010n110n1,所以an10n1 . 1 9 1 9 (2)【证明】由(1)可得bnlglg 10n1n1, (a n1 9) 所以, 1 bnbn1 1 n1n2 1 n1 1 n2 所以Tn , ( 1 2 1 3) ( 1 3 1 4) ( 1 n1 1 n2) 1 2 1 n2 1 2 所以Tn . 1 2 25、设数列an的前n项和为Sn,nN N*.已知a11,a2 ,a3 ,且当n
18、2 时,4Sn25Sn8Sn1Sn1. 3 2 5 4 (1)求a4的值; (2)证明:为等比数列 a n11 2a n (1) 【解】当n2 时,4S45S28S3S1, 即 4581, (1 3 2 5 4a 4) (1 3 2) (1 3 2 5 4) 解得a4 . 7 8 (2)【证明】由 4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2),得 4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2),即 4an2an4an1(n2) 4a3a14 164a2,4an2an4an1(nN N*) 5 4 . an21 2a n1 an11 2a n 4an22an1 4an12an 4an1an2an1 4
19、an12an 2an1an 22an1an 1 2 数列是以a2a11 为首项, 为公比的等比数列 a n11 2a n 1 2 1 2 26、已知数列an的前n项和Sn1an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5,求. 31 32 【答案】(1) n1 (2) 1 1 1( 1) 【解析】(1)证明:由题意得a1S11a1, 故1,a1,故a10. 1 1 由Sn1an,Sn11an1得an1an1an, 即an1(1)an. 由a10,0 得an0,所以. an1 an 1 因此an是首项为,公比为的等比数列, 1 1 1 于是an n1. 1 1( 1) (
20、2)由(1)得Sn1 n. ( 1) 由S5得 1 5 ,即 5 . 31 32( 1) 31 32( 1) 1 32 解得1. 27 已知数列an是等差数列,a26,前n项和为Sn,数列bn是等比数列,b22,a1b312,S3b119. (1)求an,bn的通项公式; (2)求数列bncos(an)的前n项和Tn. 【答案】(1) 3n (2) (2)n1 1 3 【解析】(1)数列an是等差数列,a26, S3b13a2b118b119, b11, b22,数列bn是等比数列, bn2n1. b34, a1b312,a13, a26,数列an是等差数列, an3n. (2)设Cnbnco
21、s(an),由(1)得Cnbncos(an)(1)n2n1, 则Cn1(1)n12n, 2, Cn1 Cn 又C11, 数列bncos(an)是以1 为首项、2 为公比的等比数列 Tn (2)n1 1 12n 12 1 3 28、已知等比数列an满足:|a2a3|10,a1a2a3125. (1)求数列an的通项公式; (2)是否存在正整数m,使得1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由 1 a1 1 a2 1 am 【答案】(1) 5(1)n1. (2) 见解析 【解析】(1)设等比数列an的公比为q, 则由已知可得Error! 解得Error!或Error! 故an 3n1,或an5(1)n1. 5 3 (2)若an 3n1,则 n1, 5 3 1 an 3 5( 1 3) 故是首项为 ,公比为 的等比数列 , 1 an 3 5 1 3 从而1. m n1 1 an 3 51( 1 3) m 11 3 9 101( 1 3) m 9 10 若an(5)(1)n1, 则 (1)n1, 1 an 1 5 故是首项为 ,公比为1 的等比数列,从而 1 an 1 5 Error! m n1 1 an 故1. m n1 1 an 综上,对任意正整数m,总有1. m n1 1 an 故不存在正整数m,使得1 成立 1 a1 1 a2 1 am
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