三年高考2017_2019高考数学真题分项汇编专题05立体几何选择题填空题文含解析.pdf
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1、专题 05 立体几何(选择题、填空题)专题 05 立体几何(选择题、填空题) 1 【2019 年高考全国卷文数】设,为两个平面,则的充要条件是 A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C,平行于同一条直线 D,垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性 质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的 必要条件,故选 B 【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用 面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容
2、易 犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误,abab 2 【2019 年高考全国卷文数】 如图, 点N为正方形ABCD的中心, ECD为正三角形, 平面ECD平面ABCD,M 是线段ED的中点,则 ABM=EN,且直线BM,EN是相交直线 BBMEN,且直线BM,EN是相交直线 CBM=EN,且直线BM,EN是异面直线 DBMEN,且直线BM,EN是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示,作于,连接,BD,易得直线BM,EN是三角形EBD的中线,是相交EOCDOON 直线. 过作于,连接,MMFODFBF 平 面平 面,平 面,平 面,平 面CDE ABCD,EOCD EO
3、CDEEOABCDMF ,与均为直角三角形设正方形边长为 2,易知,ABCD MFBEON3,12EOONEN, ,故选 B 35 ,7 22 MFBFBMBMEN 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力,解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时,先利 用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题 3 【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为 祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高若某 柱体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该柱体的体积(单位:cm3)是 A158B162 C182D3
4、24 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为 6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的,其中一个上底为 4, 下底为 6, 高为 3, 另一个的上底为 2, 下底为 6, 高为 3, 则该棱柱的体积为. 2646 336162 22 故选 B. 【名师点睛】 本题首先根据三视图, 还原得到几何体棱柱, 根据题目给定的数据, 计算几何体的体积, 常规题目.难度不大,注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二,一是不能正 确还原几何体;二是计算体积有误.为避免出错,应注重多观察、细心算. 4 【2019 年高考浙江卷】设三棱锥VABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱V
5、A上的点(不含端 点) 记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角PACB的平面 角为,则 A,B, C,D, 【答案】B 【解析】如图,为中点,连接VG,在底面的投影为,则在底面的投影在线段GACVABCOPDAO 上,过作垂直于于E,连接PE,BD,易得,过作交于,连接BF,DDEACPEVGPPFACVGF 过作,交于,则,结合PFB,BDH,PDBDDHACBGH,BPFPBDPED 均 为 直 角 三 角 形 , 可 得, 即; 在 RtPED中 ,coscos PFEGDHBD PBPBPBPB ,即,综上所述,答案为 B.tantan PDPD EDB
6、D 【名师点睛】本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念, 以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小.而充分 利用图形特征, 则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有, 不能正确作图得出各种角, 未能想到利用 “特 殊位置法” ,寻求简便解法. 5 【2018 年高考全国卷文数】某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图圆柱表面上的点在正M 视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的ANBMN 路径中,最短路径的长度为 AB17252 C3D2 【答案】B 【解析】根据圆柱
7、的三视图以及其本身的特征,知点M在上底面上,点N在下底面上,且可以确定点M 和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处, 所以所求的最短路径的长度为,故选 B 22 422 5 【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需 要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平 铺,利用平面图形的相关特征求得结果. 6 【2018 年高考全国卷文数】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部 分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木
8、构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 【答案】A 【解析】由题意知,题干中所给的是榫头,是凸出的几何体,求得是卯眼的俯视图,卯眼是凹进去的, 即俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形.故选 A. 【名师点睛】本题主要考查空间几何体的三视图,考查考生的空间想象能力和阅读理解能力,考查的 数学核心素养是直观想象. 7 【2018 年高考全国 I 卷文数】 在长方体中,与平面所成 1111 ABCDABC D2ABBC 1 AC 11 BBC C 的角为,则该长方体的体积为30 A8 B6 2 CD 8 28 3 【答案】C 【解析】在长方体中,连
9、接, 1111 ABCDABC D 1 BC 根据线面角的定义可知,因为,所以,从而求得, 1 30AC B 2AB 1 2 3BC 1 2 2CC 所以该长方体的体积为, 2 2 2 28 2V 故选 C. 【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题,在解题的过程中,需要明确长方体的体积公式 为长、宽、高的乘积,而题中的条件只有两个值,所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为 重要,此时就需要明确线面角的定义,从而得到量之间的关系,最终求得结果. 8 【2018 年高考全国 I 卷文数】已知圆柱的上、下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆 1 O 2 O 12 OO 柱所得的截面是面
10、积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为 AB 12 2 12 CD 8 2 10 【答案】B 【解析】根据题意,可得截面是边长为的正方形, 2 2 结合圆柱的特征,可知该圆柱的底面为半径是的圆,且高为, 22 2 所以其表面积为, 2 2222 2 212S 故选 B. 【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题,在解题的过程中,需要利用题的条件确定 圆柱的相关量,即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高,在求圆柱的表面积的时候,一定要注意是两个 底面圆与侧面积的和. 9 【2018 年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积(单位:cm3)是 侧 侧 侧 侧 侧
11、 侧 侧 侧 侧 2 211 A2B4 C6D8 【答案】C 【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱,高为 2,底面为直角梯形,上、下底分别为 1,2,梯 形的高为 2,因此几何体的体积为 1 122 26, 2 故选 C. 【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等. 10 【2018 年高考全国卷文数】设是同一个半径为 4 的球的球面上四点,为等边三 ABCD, , , ABC 角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为 9 3 DABC AB 12 318 3 CD 24 354 3 【答案】B 【解析】如图所示,设点M为三角形ABC的重心,E为AC
12、中点, 当点在平面上的射影为时,三棱锥的体积最大,此时,DABCMDABC4ODOBR ,,点M为三角形ABC的重心, 2 3 9 3 4 ABC SAB 6AB 2 2 3 3 BMBE 中,有,RtOBM 22 2OMOBBM 426DMODOM ,故选 B.max 1 9 3618 3 3 D ABC V 【名师点睛】 本题主要考查三棱锥的外接球, 考查了勾股定理, 三角形的面积公式和三棱锥的体积公式, 判断出当点在平面上的射影为三角形ABC的重心时,三棱锥体积最大很关键,由MDABCDABC 为三角形ABC的重心,计算得到,再由勾股定理得到OM,进而得到结果,属于较 2 2 3 3 B
13、MBE 难题型. 11【2018 年高考全国卷文数】在正方体中,为棱的中点,则异面直线与 1111 ABCDABC DE 1 CCAE 所成角的正切值为CD AB 2 2 3 2 CD 5 2 7 2 【答案】C 【解析】如图,在正方体中,所以异面直线与所成角为, 1111 ABCDABC DCDABAECDEAB 设正方体边长为,则由为棱的中点,可得,所以,2aE 1 CCCEa5BEa 则故选 C 55 tan 22 BEa EAB ABa 【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角,考查考生的空间想象能力、化归与转化能力以及运算 求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.求异面直线
14、所成的角,需要将异面直线所成的 角等价转化为相交直线所成的角,然后利用解三角形的知识加以求解. 12【2018 年高考浙江卷】已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为,所以根据线面平行的判定定理得.,mnmnm 由不能得出与内任一直线平行,m m 所以是的充分不必要条件,故选 A.mnm 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法: (1)定义法:直接判断“若则” 、“若则”的真假并注意和图示相结合,例如“” pqqppq 为真,则是的充分条件 pq (2)等价法:利用与非非,与非非,与
15、非非的等价关系,对 pqqpqppqpqqp 于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法 (3)集合法:若,则是的充分条件或是的必要条件;若,则是的充要条ABABBAABAB 件 13【2018 年高考浙江卷】已知四棱锥SABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不 含端点) , 设SE与BC所成的角为1,SE与平面ABCD所成的角为2, 二面角SABC的平面角为3, 则 A123B321 C132D231 【答案】D 【解析】设O为正方形ABCD的中心,M为AB中点,过E作BC的平行线EF,交CD于F,过O作ON垂 直EF于N,连接SO,SN,SE,SM,OM,OE,则SO垂
16、直于底面ABCD,OM垂直于AB, 因此 123 ,SENSEOSMO 从而 123 tan,tan,tan, SNSNSOSO ENOMEOOM 因为,所以即,SNSOEOOM, 132 tantantan, 132 故选 D. 【名师点睛】分别作出线线角、线面角以及二面角,再构造直角三角形,根据边的大小关系确定角的 大小关系. 14 【2018 年高考北京卷文数】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】由三视图可得四棱锥如图所示,PABCD 在四棱锥中,PABCD2,2,2,1PDADCDAB 由勾股定理可知:,2 2,
17、2 2,3,5PAPCPBBC 则在四棱锥中,直角三角形有:,共 3 个,,PADPCDPAB 故选 C. 【名师点睛】此题考查三视图相关知识,解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原,分 析线面、线线垂直关系,利用勾股定理求出每条棱长,进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的 求解.解答本题时,根据三视图还原几何体,利用勾股定理求出棱长,再利用勾股定理逆定理判断直角 三角形的个数. 15【2017 年高考全国卷文数】如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所 在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 A B C D 【答案】A 【解析】对
18、于 B,易知ABMQ,则直线AB平面MNQ; 对于 C,易知ABMQ,则直线AB平面MNQ; 对于 D,易知ABNQ,则直线AB平面MNQ 故排除 B,C,D,选 A 【名师点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力, 属容易题 证明线面平行的常用方法 : 利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可 利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直 线平行利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面 16 【2017 年高考全国卷文数】 如图, 网格纸上小正方形的边长为
19、1, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 AB9063 CD4236 【答案】B 【解析】由题意,该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱,故其体积为 ,故选 B. 22 1 36 3463 2 V 【名师点睛】 (1)解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图 (2)三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ,因此,可以根据三视图的形状及相关数据推 断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 17 【2017 年高考全国卷文数】已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆
20、周在直径为 2 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 AB 3 4 CD 2 4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示,由题意可得:, 1 1, 2 ACAB 结合勾股定理,底面半径, 2 2 13 1 22 r 由圆柱的体积公式,可得圆柱的体积是,故选 B. 2 2 33 1 24 Vr h 【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点) 或线作截面, 把空间问题转化为平面问题, 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系, 或只画内切、 外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组) 求
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