2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题13计数原理理(含解析).pdf
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1、专题 13 计数原理专题 13 计数原理 1【2019 年高考全国卷理数】(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为 A12B16C20 D24 【答案】A 【解析】由题意得x3的系数为,故选 A 31 44 C2C4812 【名师点睛】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 2【2019 年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中,常数项是_;系数为有理数的项 9 ( 2)x 的个数是_ 【答案】16 25 【解析】由题意,的通项为,当时,可得常数项为 9 ( 2)x 9 19 C ( 2)(0,1,29) rrr r Tx r 0r ;若展开式的系数为有理数,则,
2、有共 5 个项故 09 19 C ( 2)16 2T 1,3,5,7,9r= 246810 T , T , T , T , T 答案为:, 16 2 5 【名师点睛】此类问题解法比较明确,首要的是要准确记忆通项公式,特别是“幂指数”不能记混,其 次,计算要细心,确保结果正确 3【2019年高考江苏卷理数】设已知 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN 2 324 2aa a (1)求n的值; (2)设,其中,求的值(13)3 n ab * , a bN 22 3ab 【答案】(1);(2)5n 32 【解析】(1)因为, 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn
3、 xxxxn, 所以, 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a 因为, 2 324 2aa a 所以, 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn nnn 解得5n (2)由(1)知,5n 5 (13)(13) n 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一:解法一: 因为,所以, * , a bN 024135 555555 C3C9C76,C3C9C44ab 从而 2222 3763 4432ab 解法二:
4、解法二: 50122334455 555555 (13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3) 0122334455 555555 CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3) 因为,所以 * , a bN 5 (13)3ab 因此 22555 3(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab 【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力 4 【山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试】 已知二项式的展开式中第 2 1 2(*) n xn x N 项与第 3 项的二项式系数之比是 25,则的系数为 3 x A14BC
5、240D14240 【答案】C 【解析】二项展开式的第项的通项公式为,1r 1 1 C2 r n r r rn Tx x 由展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 25,可得:即, 12 C :C2:5 nn 22 (1)5 n n n 解得或(舍去)所以,6n 0n 3 6 6 2 16 C 21 r r rr r Tx 令,解得,所以的系数为故选 C 3 63 2 r2r = = 3 x 2 26 2 6 C 21240 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式,考查了方程思想及计算能力,还考查了分析能力,属 于中档题 5【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试(6
6、月)】已知的展开式中各项系数 5 1 (1)(2) a x xx 的和为 2,则该展开式中常数项为 ABCD80404080 【答案】D 【解析】令1,得展开式的各项系数和为, x 5 1 (1)(2) 11 a 1a ,12a 1a= , 55 111 1212 a xx xxxx 55 111 22xx xxx 所求展开式中常数项为的展开式的常数项与项的系数和, 5 1 2x x x 展开式的通项为, 5 1 2x x 555 2 155 1 C)( 1) ( )( 1) 2(2C rrrrrrrr r Txx x 令得;令,无整数解,521r2r = =520r 展开式中常数项为,故选
7、D 2 5 8C80 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和,属于中档题二项展开式定理的问题也是 高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项 展开式的通项公式; (可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和 1 Cr n rr rn Tab 和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用 6【山东省淄博市 2019 届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】展开式的常数项为 8 3 1 x x ABCD56285628 【答案】D 【解析】展开式的通项公式为, 8 3 1 x x 4 8 8 3 188 3 1 C()
8、C( 1) r rrrrr r Txx x 令,得,所求常数项为:,故选 D 4 80 3 r6r 66 8 C( 1)28 【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题,属于基础题 7【河南省濮阳市 2019 届高三 5 月模拟考试】安排,共 6 名义工照顾甲,乙,ABCDEF 丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工不安排照顾老人甲,A 义工不安排照顾老人乙,则安排方法共有B A30 种B40 种C42 种D48 种 【答案】C 【解析】名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有:种安排方法,6 22 64 C C90 其中照顾老人甲的情况有:种,A
9、12 54 C C30 照顾老人乙的情况有:种,B 12 54 C C30 照顾老人甲,同时照顾老人乙的情况有:种,AB 11 43 C C12 符合题意的安排方法有:种,故选 C903030 1242 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题,对于限制条件较多的问题,通常采用间接法来进行求解 8【上海市浦东新区 2019 届高三下学期期中教学质量检测(二模)数学试题】二项式展开式 6 1 (2) 2 x x 的常数项为第_项 【答案】4 【解析】由二项式展开式的通项公式得:Tr+1(2x)6r()r(1)r262rx62r, 6 Cr 1 2x 6 Cr 令 62r0,得r3,T4为常数项,
10、即二项式展开式的常数项为第 4 项,故答案为:4 6 1 (2) 2 x x 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项,属基础题 9【河北省唐山市 2019 届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教,其中 甲校至少分配两名教师,其它三所学校至少分配一名教师,则不同的分配方案共有_种(用 数字作答) 【答案】660 【解析】若甲校 2 人,乙、丙、丁其中一校 2 人,共有种, 223 643 C C A 若甲校 3 人,乙、丙、丁每校 1 人,共有种,则不同的分配方案共有+种, 33 63 C A 223 643 C C A 33 63 C A660 故答案为:660 【点睛
11、】本题考查排列组合,分类讨论思想,对每个学校人数讨论是关键,是基础题 10【上海市交大附中 2019 届高三高考一模试卷数学试题】已知 ,且 232* 012 1111 nn n xxxxaa xa xa xnN()() ()()() ,那么的展开式中的常数项为_ 012 126 n aaaa 1 n x x () 【答案】20 【解析】, 232* 012 1111 nn n xxxxaa xa xa xnN()() ()()() 令, 可得, , 1x 21 012 2 1 2 22222 1 2 n nn n aaaa () 1 22126 n 6n , 那么,即的展开式的通项公式为,
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