2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题05平面解析几何文含解析.pdf
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1、专题 05 平面解析几何专题 05 平面解析几何 1【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为xy=0 的双曲线的离心率是 AB1 2 2 CD2 2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为,所以,则,所以双曲线的离0xyab 22 2caba 心率.故选 C.2 c e a 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双ab 曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出 现理解性错误. 2 【2019 年高考全国卷文数】双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为 130,则C 22 22 1(0,0) xy ab
2、ab 的离心率为 A2sin40B2cos40 CD 1 sin50 1 cos50 【答案】D 【解析】由已知可得,tan130 ,tan50 bb aa , 2 222 2 22 sin 50sin 50cos 501 11tan 501 cos 50cos 50cos50 cb e aa 故选 D 【名师点睛】对于双曲线:,有; 22 22 10,0 xy ab ab 2 1 cb e aa 对于椭圆,有,防止记混 22 22 10 xy ab ab 2 1 cb e aa 3 【2019 年高考全国卷文数】已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两 12 1,01,0FF(),
3、() 点若,则C的方程为 22 | 2|AFF B 1 | |ABBF AB 2 2 1 2 x y 22 1 32 xy CD 22 1 43 xy 22 1 54 xy 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设,则, 2 F Bn 21 2 ,3AFnBFABn 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在中,由余弦定理推论得 1 AFB 222 1 4991 cos 2 233 nnn F AB nn 在中,由余弦定理得,解得 12 AFF 22 1 442 224 3 nnnn 3 2 n 所求椭圆方程为,故选 B 222 242 3 ,3 ,3 12,anab
4、ac 22 1 32 xy 法二:由已知可设,则, 2 F Bn 21 2 ,3AFnBFABn 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在和中,由余弦定理得, 12 AFF 12 BFF 22 21 22 21 442 22 cos4 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn 又互补,两式消去,得 2121 ,AF FBF F 2121 coscos0AF FBF F 2121 coscosAF FBF F, ,解得所求椭圆 22 3611nn 3 2 n 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac 方程为,故选 B 22 1 32 xy 【名师点睛】
5、本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地 落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 4 【2019 年高考全国卷文数】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p= 22 1 3 xy pp A2B3 C4D8 【答案】D 【解析】 因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点, 所以 2 2(0)ypx p(,0) 2 p 22 3 1 xy pp 2 3() 2 p pp ,解得,故选 D8p 【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养解答时,利用抛 物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程,从而解出,或者利用检验排除的方法,如
6、时, pp 2p 抛物线焦点为(1,0) ,椭圆焦点为(2,0) ,排除 A,同样可排除 B,C,从而得到选 D 5【2019 年高考全国卷文数】设F为双曲线C:(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 22 22 1 xy ab 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 AB 23 C2D5 【答案】A 【解析】设与轴交于点,由对称性可知轴,PQ x A PQx 又,为以为直径的圆的半径,|PQOFc|, 2 c PAPAOF ,| 2 c OA , 2 2 c c P 又点在圆上,即P 222 xya 22 2 44 cc a 22 22 2 ,
7、2 2 cc ae a ,故选 A 2e 【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法, 避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强 化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来解答本题时,准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c与a的关系,可求双曲线的离心率 6【2019 年高考全国卷文数】已知F是双曲线C:的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点, 22 1 45 xy 若,则的面积为=OPOFOPF AB 3 2 5 2 CD 7 2 9 2 【答案】B 【解析】设点,则 00 ,P
8、xy 22 00 1 45 xy 又,453OPOF 22 00 9xy 由得,即, 2 0 25 9 y 0 5 3 y , 0 1155 3 2232 OPF SOFy 故选 B 【名师点睛】 本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设, 由 00 ,P xy ,再结合双曲线方程可解出,利用三角形面积公式可求出结果.=OPOF 0 y 7【2019 年高考北京卷文数】已知双曲线(a0)的离心率是,则a= 2 2 2 1 x y a 5 AB46 C2D 1 2 【答案】D 【解析】双曲线的离心率,5 c e a 2 1ca ,解得, 2 1 5 a a 1 2 a
9、故选 D. 【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义,双曲线中a,b,c的关系,方程的数学思想等知识, 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8 【 2019 年 高 考 天 津 卷 文 数 】 已 知 抛 物 线的 焦 点 为F, 准 线 为l.若l与 双 曲 线 2 4yx 的两条渐近线分别交于点A和点B,且(O为原点),则双曲 22 22 1(0,0) xy ab ab | 4|ABOF 线的离心率为 AB 23 C2D5 【答案】D 【解析】抛物线的准线 的方程为, 2 4yxl1x 双曲线的渐近线方程为, b yx a 则有,( 1,),( 1,) bb AB aa , 2b
10、AB a 2 4 b a 2ba . 22 5 cab e aa 故选 D. 【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB的长度.解答时, 只需把用表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.4ABOF, ,a b c 9【2019 年高考北京卷文数】设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l则以F为圆心,且与l相切的圆的 方程为_ 【答案】 22 (1)4xy 【解析】抛物线y2=4x中,2p=4,p=2, 焦点F(1,0) ,准线l的方程为x=1, 以F为圆心,且与l相切的圆的方程为(x1)2+y2=22,即为. 22 (1)4xy 【名师点睛】本题可采用数
11、形结合法,只要画出图形,即可很容易求出结果. 10 【2019 年高考全国卷文数】设为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象 12 FF, 22 +1 3620 xy 限若为等腰三角形,则M的坐标为_. 12 MFF 【答案】3, 15 【解析】由已知可得, 22222 36,20,16,4abcabc , 112 28MFFFc 2 4MF 设点的坐标为,则,M 0000 ,0,0xyxy 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy 又,解得, 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy 0 15y ,解得(舍去) , 2 2 0 15 1 3620
12、x 0 3x 0 3x 的坐标为M3, 15 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落 实了直观想象、逻辑推理等数学素养解答本题时,根据椭圆的定义分别求出,设出的 12 MFMF、 M 坐标,结合三角形面积可求出的坐标.M 11 【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双xOy 2 2 2 1(0) y xb b 曲线的渐近线方程是 . 【答案】2yx 【解析】由已知得,解得或, 2 2 2 4 31 b 2b 2b 因为,所以.0b 2b 因为,所以双曲线的渐近线方程为.1a 2yx 【名师点睛】 双曲线的
13、标准方程与几何性质, 往往以小题的形式考查, 其难度一般较小, 是高考必得分题. 双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关,事实上,标准方程中化 1 为 0,即得渐近线方程., a b 12 【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到xOy 4 (0)yxx x 直线x+y=0 的距离的最小值是 . 【答案】4 【解析】当直线x+y=0 平移到与曲线相切位置时,切点Q即为点P,此时到直线x+y=0 的距离 4 yx x 最小. 由,得,即切点, 2 4 11y x 2(2)xx 舍3 2y ( 2,3 2)Q 则切点Q到直线x+y=0 的距离为, 22 23
14、2 4 11 故答案为4 【名师点睛】 本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离, 渗透了直观想象和数学运算素养.采取导 数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题. 13 【2019 年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆C相切于C(0,)mr230xy 点,则=_,=_( 2, 1)A mr 【答案】,25 【解析】由题意可知,把代入直线AC的方程得, 11 :1(2) 22 AC kAC yx (0,)m2m 此时.|4 15rAC 【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率,进一步得AC 到其方程,将代入后求得,计算得解.解答直线
15、与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的(0,)m m 结合,特别是要注意应用圆的几何性质. 14 【2019 年高考浙江卷】 已知椭圆的左焦点为, 点在椭圆上且在轴的上方, 若线段 22 1 95 xy FP x PF 的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是_OOFPF 【答案】15 【解析】方法 1:如图,设F1为椭圆右焦点.由题意可知,|=|2OFOM |=c= 由中位线定理可得,设,可得, 1 2| 4PFOM( , )P x y 22 (2)16xy 与方程联立,可解得(舍) , 22 1 95 xy 321 , 22 xx 又点在椭圆上且在轴的上方,求得,所以.P x
16、315 , 22 P 15 2 15 1 2 PF k 方法 2:(焦半径公式应用)由题意可知,|2OF |=|OM |=c= 由中位线定理可得,即, 1 2| 4PFOM 3 4 2 pp aexx 从而可求得,所以. 315 , 22 P 15 2 15 1 2 PF k 【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,利用数形结合 思想,是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用圆的 方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决,则更为简洁. 15【2019 年高考全国卷文数】 已知点A,
17、B关于坐标原点O对称, AB =4, M过点A,B且与直线 x+2=0 相切 (1)若A在直线x+y=0 上,求M的半径; (2)是否存在定点P,使得当A运动时,MAMP为定值?并说明理由 【答案】 (1)的半径或;(2)存在,理由见解析.M=2r=6r 【解析】(1) 因为过点, 所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上, 且M,A B+ =0x y,A B 关于坐标原点O对称,所以M在直线上,故可设. yx ( , )M a a 因为与直线x+2=0相切,所以的半径为.MM|2|ra 由已知得,又,故可得,解得或.|=2AO MOAO 22 24(2)aa=0a=4a 故的半径或.
18、M=2r=6r (2)存在定点,使得为定值.(1,0)P|MAMP 理由如下: 设,由已知得的半径为.( , )M x yM=| +2|,|=2rxAO 由于,故可得,化简得M的轨迹方程为. MOAO 222 4(2)xyx 2 4yx 因为曲线是以点为焦点,以直线为准线的抛物线,所以. 2 :4C yx(1,0)P1x |= +1MP x 因为,所以存在满足条件的定点P.| |=|= +2( +1)=1MAMP rMP xx 【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键 是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定义得到定值,验
19、证定值符合所 有情况,使得问题得解. 16 【2019 年高考全国卷文数】 已知是椭圆的两个焦点,P为C上一点,O 12 ,F F 22 22 :1(0) xy Cab ab 为坐标原点 (1)若为等边三角形,求C的离心率; 2 POF (2)如果存在点P,使得,且的面积等于 16,求b的值和a的取值范围 12 PFPF 12 FPF 【答案】 (1);(2),a的取值范围为.314b 4 2,) 【解析】 (1)连结,由为等边三角形可知在中, 1 PF 2 POF 12 FPF 12 90FPF 2 PFc ,于是,故的离心率是. 1 3PFc 12 2( 31)aPFPFcC31 c e
20、a (2)由题意可知,满足条件的点存在当且仅当,( , )P x y 1 | 216 2 yc1 yy xc xc ,即, 22 22 1 xy ab | |16cy , 222 xyc , 22 22 1 xy ab 由及得,又由知,故 222 abc 4 2 2 b y c 2 2 2 16 y c 4b 由得,所以,从而故. 2 222 2 a xcb c 22 cb 2222 232,abcb 4 2a 当,时,存在满足条件的点P4b 4 2a 所以,的取值范围为4b a 4 2,) 【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率,以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题,熟记椭圆的 简单性质即可
21、求解,考查计算能力,属于中档试题. 17【2019 年高考全国卷文数】已知曲线C:y=,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线, 2 2 x1 2 切点分别为A,B (1)证明:直线AB过定点; (2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程 5 2 【答案】(1)见详解;(2)或. 2 2 5 4 2 xy 2 2 5 2 2 xy 【解析】(1)设,则 11 1 , 2 D tA x y 2 11 2xy 由于,所以切线DA的斜率为,故yx 1 x 1 1 1 1 2 y x xt 整理得 11 22 +1=0. txy 设,同理可得 22 ,B xy
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