2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第七章 第二节 空间几何体的表面积与体积 Word版含答案.pdf
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1、第二节 空间几何体的表面积与体积 2019 考纲考题考情 1几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。 (2)圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图分别是矩形、 扇形、 扇环。 (3)若圆柱、 圆锥的底面半径为 r, 母线长 l, 则其表面积为 S 柱2r22rl,S锥r2rl。 (4)若圆台的上下底面半径为 r1,r2,母线长为 l,则圆台的 表面积为 S(r r )(r1r2)l。 2 12 2 (5)球的表面积为 4R2(球半径是 R)。 2几何体的体积 (1)V柱体Sh。 (2)V锥体 Sh。 1 3 (3)V台体 (SS)h, V圆台 (r r1r2r )h, V
2、球 1 3 SS 1 3 2 12 2 R3(球半径是 R)。 4 3 1与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差。 (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等。 2几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R, 若球为正方体的外接球,则 2Ra;3 若球为正方体的内切球,则 2Ra; 若球与正方体的各棱相切,则 2Ra。2 (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球 的半径为 R,则 2R。a2b2c2 (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31。 一、走进教材 1(必修 2P27练习 T1改编)已知圆锥
3、的表面积等于 12 cm2, 其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( ) A1 cm B2 cm C3 cm D cm 3 2 解析 由题意,得 S表r2rlr2r2r3r212, 得 r24,所以 r2(cm)。 答案 B 2(必修 2P28A 组 T3改编)如图,将一个长方体用过相邻三 条棱的中点的平面截出一个棱锥, 则该棱锥的体积与剩下的几何 体体积的比为_。 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a,b,c,它截出棱 锥的体积为 V1 a b cabc,剩下的几何体的体 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 48 积 V2abcabcabc,所以 V1V2147。 1 48 4
4、7 48 答案 147 二、走近高考 3(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 互相 垂直,SA 与圆锥底面所成角为 30。若SAB 的面积为 8,则该 圆锥的体积为_。 解析 由题意画出图形,如图,设 AC 是底面圆 O 的直径, 连接SO, 则SO是圆锥的高。 设圆锥的母线长为l, 则由SASB, SAB 的面积为 8, 得 l28, 得 l4。 在 RtASO 中, 由题意知 1 2 SAO30, 所以 SO l2, AOl2。 故该圆锥的体积 V 1 2 3 2 3 AO2SO (2)228。 1 3 1 3 3 答案 8 4(2017全国卷)已知圆柱的高为 1,它的
5、两个底面的圆 周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A B C D 3 4 2 4 解析 由题可知球心为圆柱的中心,则圆柱底面圆的半径 r ,故圆柱的体积 Vr2h。12(1 2) 2 3 2 3 4 答案 B 三、走出误区 微提醒:由三视图不能还原几何体求错体积;不会分类 讨论致误;长度单位与体积单位换算出错。 5已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视 图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为_m3。 解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为 2 m,高 为 1 m 的平行四边形, 四棱锥的高为 3 m。 故该四棱锥的体积 V 2132(m3)。 1 3
6、 答案 2 6圆柱的侧面展开图是边长为 6 和 4 的矩形,则圆柱的 表面积为( ) A6(43) B8(31) C6(43)或 8(31) D6(41)或 8(32) 解析 分两种情况:以长为 6 的边为高时,4 为圆柱底 面周长, 则 2r4, r2, 所以 S底4, S侧64242, S 表2S底S侧82428(31); 以长为 4 的边为高时, 6 为圆柱底面周长,则 2r6,r3,所以 S底9,S表2S 底S侧182426(43)。故选 C。 答案 C 7 九章算术商功章有题:一圆柱形谷仓,高 1 丈 3 尺 3 1 3 寸, 容纳米 2 000 斛(1 丈10 尺, 1 尺10 寸
7、, 斛为容积单位, 1 斛1.62 立方尺,3),则圆柱底面圆周长约为( ) A1 丈 3 尺 B5 丈 4 尺 C9 丈 2 尺 D48 丈 6 尺 解析 设圆柱底面半径为 r 尺,高为 h 尺,依题意,圆柱体 积为 Vr2h2 0001.623r213.33, 所以 r281, 即 r9, 所以圆柱底面圆周长为 2r54,54 尺5 丈 4 尺, 即圆柱底面圆 周长约为 5 丈 4 尺,故选 B。 答案 B 考点一 规则几何体的表面积与体积 【例 1】 (1)(2018全国卷)已知圆柱的上、 下底面的中心 分别为 O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积 为 8 的正方形
8、,则该圆柱的表面积为( ) A12 B122 C8 D102 (2)(2019南宁、 柳州联考)如图, 网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图,且该几何体的体 积为 ,则该几何体的俯视图可以是( ) 8 3 解析 (1)因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面 积为 8 的正方形,所以圆柱的高为 2,底面圆的直径为 2,22 所以该圆柱的表面积为 2()22212。222 (2)若俯视图为选项 C 中的图形,则该几何体为正方体截去 一部分后的四棱锥 PABCD,如图所示,该四棱锥的体积 V1 3 (22)2 ,符合题意。若俯视图为其他选项中的图形,则 8 3
9、 根据三视图易判断对应的几何体不存在。故选 C。 答案 (1)B (2)C 规则体的体积和表面积直接按柱体、锥体、台体和球体的体 积和表面积公式进行计算即可。 【变式训练】 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何 体的表面积为( ) A B 7 3 17 2 C13 D173 10 2 解析 由三视图可知几何体为三棱台,作出直观图如图所 示。 则 CC平面 ABC, 上、 下底均为等腰直角三角形, ACBC, ACBC1,ACBCCC2,所以 AB,AB2。22 所以棱台的上底面面积为 11 ,下底面面积为 22 1 2 1 2 1 2 2, 梯形 ACCA的面积为 (12)23, 梯形 B
10、CCB的面积为 1 2 1 2 (12)23,过 A 作 ADAC于点 D,过 D 作 DEAB于 点 E,则 AB平面 ADE,从而 AEAB,则 ADCC2,DE 为ABC斜边高的 ,所以 DE,所以 AE 1 2 2 2 AD2DE2 ,所以梯形 ABBA的面积为 (2) ,所以 3 2 1 2 22 3 2 9 2 几何体的表面积 S 233 13。故选 C。 1 2 9 2 答案 C 考点二 组合体的体积和表面积 【例 2】 (2019福建三明模拟)我国古代数学名著九章算 术记载的刍甍是底面为矩形,顶部只有一条棱的几何体。如图 为某个刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三
11、 角形,则它的体积为( ) A B160 160 3 C D64 256 3 解析 由三视图可知,该刍甍是一个如图所示的几何体。 (一割为三)如图, 分别取 QN, PM 上的两个四等分点 B, E, C, F,连接 AB,BC,AC,DE,DF,EF。 则ABC 与DEF 所在的平面将该几何体分成一个直三棱 柱 ABCDEF 和两个全等的四棱锥 ABCPQ,四棱锥 D FENM。其中直三棱柱 ABCDEF 中的ABC 与DEF 是等腰 三角形,BC4,点 A 到 BC 的距离 d4,设ABC 与DEF 的面积为S1,则S1 448。易知BE4,故直三棱柱ABCDEF 1 2 的体积V1S1B
12、E8432。四棱锥的底面是矩形,QB2, PQ 4, 故四棱锥的底面积 S2248。 由三视图可得四棱锥的高 h 4,所以四棱锥的体积 V2 S2h 84。所以该几何体的 1 3 1 3 32 3 体积 VV12V2322。故选 A。 32 3 160 3 解析:(一割为二)如图,分别取 PM,QN 的中点为 G,H, 连接 DG,GH,DH,则DGH 所在平面将几何体分为一个三棱 柱 AQPDHG 与一个四棱锥 DGHNM。 其中四棱锥 DGHNM 的底面是边长为 4 的正方形, 由三视 图可得点 D 到平面 GHNM 的距离 h4, 故四棱锥 DGHNM 的 体积 V1 424; 三棱柱
13、AQPDHG 的侧面 QPGH 是边 1 3 64 3 长为 4 的正方形,侧棱 AD 到侧面 QPGH 的距离 d4,故其体 积 V2 42432。所以该几何体的体积 VV1V232 1 2 64 3 。故选 A。 160 3 答案 A 该题由三视图给出的几何体是一个组合体, 根据其结构特征 将其分割成三个(或两个)规则几何体, 然后分别求出三个(或两个) 几何体的体积。 这种分割求解的方法实质也是转化与化归思想的 体现。该题中的解法一要注意分割出直三棱柱 ABCDEF 之后 对剩余两个几何体的识别四棱锥 ABCPQ,四棱锥 D FENM。 【变式训练】 某几何体的三视图如图所示, 三个视图
14、中的 曲线都是圆弧,则该几何体的表面积为( ) A B2 15 4 2 2 15 4 C D2 13 4 2 2 13 4 解析由几何体的三视图得其直观图,如图所示。该几何体由 半个圆柱与 球构成,且球的半径与圆柱底面半径等长。由三视 1 8 图中的数据可得,圆柱的底面半径 R1为 1,母线 l 的长为 ,球 的半径 R2为 1。 所以该几何体的表面由圆柱侧面的一半、 轴截面、 左侧底面半圆、右侧底面半圆的一半,球表面的 ,以及 球的过 1 8 1 8 球心的两个截面构成。圆柱侧面的一半,其面积 S1 2R1l 1 2 R1l12; 圆柱的轴截面为矩形, 其面积 S22R1l2 12;半圆柱左
15、侧底面,其面积 S3 R 12 ; 1 2 2 1 1 2 2 半圆柱右侧底面(裸露部分), 其面积 S4 R 12 ; 1 4 2 1 1 4 4 1 8 球的表面, 其面积 S5 4R 12 ; 球的过球心的两 1 8 2 2 1 2 2 1 8 个截面,其面积之和 S6 R 12 。所以该几何体 1 2 2 2 1 2 2 的表面积 SS1S2S3S4S5S622 2 4 2 2 2。故选 B。 15 4 答案 B 考点三 体积中的最值问题 【例 3】 (2019长春质量监测)已知圆锥的侧面展开图是半 径为 3 的扇形,则该圆锥体积的最大值为_。 解析 由题意得圆锥的母线长为 3, 设圆
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