2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含答案.pdf
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1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 2019 考纲考题考情 1平面的基本性质 2.空间两直线的位置关系 (2)平行公理: 公理 4:平行于同一直线的两条直线互相平行空间平 行线的传递性。 (3)等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等 或互补。 (4)异面直线所成的角: 定义:设 a、b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直 线 aa,bb,把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)。 范围:。 (0, 2 3直线与平面的位置关系 1公理 2 的三个推论 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 ; 推论 2:
2、经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。 2异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线, 与平面内不过该点的直 线是异面直线。 3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易 忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角, 也可能等 于其补角。 一、走进教材 1(必修 2P43练习 T1改编)下列命题中正确的是( ) A过三点确定一个平面 B四边形是平面图形 C三条直线两两相交则确定一个平面 D两个相交平面把空间分成四个区域 解析 对于 A, 过不在同一条直线上的三点有且只有一个平 面,故 A 错误 ; 对于 B,四边形也可能是空间四边
3、形,不一定是 平面图形,故 B 错误;对于 C,三条直线两两相交,可以确定一 个平面或三个平面,故 C 错误 ; 对于 D,平面是无限延展的,两 个相交平面把空间分成四个区域,故 D 正确。 答案 D 2(必修 2P49练习题)若直线 a 不平行于平面 ,且 a,则 下列结论成立的是( ) A 内的所有直线与 a 异面 B 内不存在与 a 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 a 平行 D 内的直线与 a 都相交 解析 若直线 a 不平行于平面 ,且 a,则线面相交,A 选项不正确, 内存在直线与 a 相交;B 选项正确, 内的直线 与直线 a 的位置关系是相交或者异面,不可能平行;C 选项不正
4、 确,因为 内的直线与直线 a 的位置关系是相交或者异面,不可 能平行;D 选项不正确, 内只有过直线 a 与平面的交点的直线 与 a 相交。故选 B。 答案 B 二、走近高考 3(2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为棱 CC1的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( ) A B 2 2 3 2 C D 5 2 7 2 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,CDAB,所以异面 直线 AE 与 CD 所成角为EAB,设正方体棱长为 2a,则由 E 为 棱 CC1的中点,可得 CEa,所以 BEa。又由 AB平面5 BCC1B1, 可得 ABBE, 所以
5、 tanEAB。 故选 C。 BE AB 5a 2a 5 2 答案 C 4(2016全国卷)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶 点 A, 平面 CB1D1, 平面 ABCDm, 平面 ABB1A1n, 则 m,n 所成角的正弦值为( ) A B 3 2 2 2 C D 3 3 1 3 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1外依次再作两个一样的 正方体, 如图所示, 易知 AEB1D1, AFCD1, 所以平面 AEF 平面 CB1D1, 即平面 AEF 就是过点 A 的平面 , 所以 AE 为平面 与平面 ABCD 的交线, 即为 m, AF 为平面 与平面 ABB1A1的交 线,
6、即为 n,所以 m,n 所成角即为 AE 与 AF 所成角,也是 B1D1 与 CD1所成角,为CD1B1。而CD1B1为等边三角形,因此 CD1B1 ,所以 sinCD1B1。 3 3 2 答案 A 三、走出误区 微提醒:对等角定理条件认识不清致误;缺乏空间想象 能力致误。 5若AOBA1O1B1,且 OAO1A1,OA 与 O1A1的方向 相同,则下列结论中正确的是( ) AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1 COB 与 O1B1不平行 DOB 与 O1B1不一定平行 解析 两角相等,角的一边平行且方向相同,另一边不一定 平行,故选 D。 答案 D 6 已知直线 a 和平面 , , l
7、, a, a, 且 a 在 , 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是( ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 解析 依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或 异面。故选 D。 答案 D 7如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上, 且 ABCD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平 面个数为_。 解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行。所以与 EF 相交 的平面有 4 个。 答案 4 考点一 平面的基本性质 【例 1】 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,判断下列说法是 否正确,并说明理由。 (1)直线
8、 AC1在平面 CC1B1B 内; (2)设正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1的中心分别为 O, O1, 则平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1; (3)由点 A,O,C 可以确定一个平面; (4)由 A,C1,B1确定的平面是 ADC1B1; (5)设直线 l 是平面 ABCD 内的直线, 直线 m 是平面 DD1C1C 内的直线,若 l 与 m 相交,则交点一定在直线 CD 上。 解 (1)错误。若 AC1平面 CC1B1B,又 BC平面 CC1B1B, 则 A平面 CC1B1B, 且 B平面 CC1B1B, 所以 AB平面 CC1B1B, 与 AB平面 C
9、C1B1B 矛盾,故(1)中说法错误。 (2)正确。因为 O,O1是两平面的两个公共点,所以平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1。 (3)错误。因为 A,O,C 三点共线,所以不能确定一个平面。 (4)正确。因为 A,C1,B1不共线,所以 A,C1,B1三点可确 定平面 , 又四边形 AB1C1D 为平行四边形, AC1, B1D 相交于 O2 点,而 O2,B1,所以 B1O2,又 DB1O2,所以 D。 (5)正确。 若l与m相交, 则交点是两平面的公共点, 而直线CD 为两平面的交线,所以交点一定在直线 CD 上。 1三个公理是立体几何的基础。公理 1 是确定直线
10、在平面 内的依据;公理 2 是利用点或直线确定平面的依据;公理 3 是确 定两个平面有一条交线的依据,同时也是证明多点共线、多线共 点的依据。 2证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直 线上,也就是利用公理 3,证明点在两个平面的交线上,或者选 择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在该直线上。 【变式训练】 (1)在空间四边形 ABCD 各边 AB,BC,CD, DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF,GH 相交于点 P,那 么( ) A点 P 必在直线 AC 上 B点 P 必在直线 BD 上 C点 P 必在平面 DBC 内 D点 P 必在平面 ABC 外 (2)如图是
11、正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中 点,则这四个点不共面的一个图是( ) 解析 (1)如图,因为 EF平面 ABC,而 GH平面 ADC, 且 EF 和 GH 相交于点 P,所以 P 在两面的交线上,因为 AC 是 两平面的交线,所以点 P 必在直线 AC 上。 (2)A、B、C 图中四点一定共面,D 中四点不共面。 答案 (1)A (2)D 考点二 空间两条直线的位置关系微点小专题 方向 1:异面直线的判定 【例 2】 (2019益阳、 湘潭调研考试)下图中, G, N, M, H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的 中点,则表示直线 GH,MN 是异面
12、直线的图形有( ) A B C D 解析 由题意, 可知题图中, GHMN, 因此直线GH与MN 共面;题图中,G,H,N 三点共面,但 M平面 GHN,因此 直线 GH 与 MN 异面;题图中,连接 MG,则 GMHN,因此 直线 GH 与 MN 共面 ; 题图中,连接 GN,G,M,N 三点共面, 但 H平面 GMN,所以直线 GH 与 MN 异面。故选 C。 答案 C 异面直线的判定方法 1反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平 行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定 假设,肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 2定理:平面外一点 A 与平面内一
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