2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第七章 第四节 直线、平面平行的判定与性质 Word版含答案.pdf
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1、第四节 直线、平面平行的判定与性质 2019 考纲考题考情 1直线与平面平行 (1)判定定理 (2)性质定理 2.平面与平面平行 (1)判定定理 (2)两平面平行的性质定理 3.平行关系中的两个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a,a, 则 。 (2)平行于同一平面的两个平面平行, 即若 , , 则 。 1两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个 平面平行。 2三种平行关系的转化: 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有 关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要 看清题目的具体条件,选择正确的转化方向。 一、走进教材 1(必修 2P61
2、A 组 T1(1)改编)下列命题中正确的是( ) A若 a,b 是两条直线,且 ab,那么 a 平行于经过 b 的 任何平面 B若直线 a 和平面 满足 a,那么 a 与 内的任何直线 平行 C平行于同一条直线的两个平面平行 D若直线 a,b 和平面 满足 ab,a,b,则 b 解析 根据线面平行的判定与性质定理可知。故选 D。 答案 D 2(必修 2P58练习 T3改编)平面 平面 的一个充分条件 是( ) A存在一条直线 a,a,a B存在一条直线 a,a,a C存在两条平行直线 a,b,a,b,a,b D存在两条异面直线 a,b,a,b,a,b 解析 若 l,al,a,a,a,a,故排除
3、 A。 若 l, a, al, 则 a, 故排除 B。 若 l, a, al, b,bl,则 a,b,故排除 C。故选 D。 答案 D 二、走近高考 3 (2018浙江高考)已知平面 , 直线 m, n 满足 m, n, 则“mn”是“m”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 若 m, n, mn, 由线面平行的判定定理知 m。 若 m,m,n,不一定推出 mn,直线 m 与 n 可能异面, 故“mn”是“m”的充分不必要条件。故选 A。 答案 A 4(2016全国卷), 是两个平面,m,n 是两条直线, 有下列四个命题: 如果 mn,m,
4、n,那么 ; 如果 m,n,那么 mn; 如果 ,m,那么 m; 如果 mn,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的 角相等。 其中正确的命题有_。(填写所有正确命题的序号) 解析 对于,mn,m,n,则 , 的位置关系无 法确定,故错误 ; 对于,因为 n,所以可过直线 n 作平面 与平面相交于直线c, 则nc, 因为m, 所以mc, 所以mn, 故正确;对于,由两个平面平行的性质可知其正确;对于, 由线面所成角的定义和等角定理可知其正确。故正确的有 。 答案 三、走出误区 微提醒:对空间平行关系的转化条件理解不够致误;对 面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清致误; 对面面平行
5、性质定理理解不深致误。 5 若平面 平面 , 直线 a平面 , 点 B, 则在平面 内且过 B 点的所有直线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一的与 a 平行的直线 解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时, 不存在与 a 平行的 直线。故选 A。 答案 A 6下列条件中,能判断两个平面平行的是_。 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; 一个平面内的两条直线平行于另一个平面; 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面; 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面。 解析 由两个平面平行的判定定理可知, 如果一个平面内
6、的 两条相交直线与另外一个平面平行,那么这两个平面平行。显然 只有符合条件。 答案 7如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为_。 解析 因为平面 ABFE平面 DCGH,又平面 EFGH平面 ABFEEF,平面 EFGH平面 DCGHHG,所以 EFHG。同 理 EHFG,所以四边形 EFGH 是平行四边形。 答案 平行四边形 考点一 线面平行的判定与性质微点小专题 方向 1:直线与平面平行的判定与证明 【例1】 (1)如图, 在正方体ABCDA1B1C1D1中, E为DD1 的中点,则 BD1与平面 AEC 的位置关系为_。 (2)(201
7、9福州高三期末考试节选)如图,在四棱锥 EABCD 中,ABCD,ABC90,CD2AB2CE4,点 F 为棱 DE 的中点。 证明:AF平面 BCE。 (1)解析 连接 BD, 设 BDACO, 连接 EO, 在BDD1中, E 为 DD1的中点, O 为 BD 的中点, 所以 EO 为BDD1的中位线, 则 BD1EO,而 BD1平面 ACE,EO平面 ACE,所以 BD1 平面 ACE。 答案 平行 (2)证明 如图,取 CE 的中点 M,连接 FM,BM。 因为点 F 为棱 DE 的中点, 所以 FMCD 且 FM CD2, 1 2 因为 ABCD,且 AB2, 所以 FMAB 且 F
8、MAB, 所以四边形 ABMF 为平行四边形, 所以 AFBM, 因为 AF平面 BCE,BM平面 BCE, 所以 AF平面 BCE。 证法一:如图,在平面 ABCD 内,分别延长 CB,DA,交于 点 N,连接 EN。 因为 ABCD,CD2AB, 所以 A 为 DN 的中点。 又 F 为 DE 的中点, 所以 AFEN, 因为 EN平面 BCE,AF平面 BCE, 所以 AF平面 BCE。 证法二:如图,取棱 CD 的中点 G,连接 AG,GF, 因为点 F 为棱 DE 的中点,所以 FGCE, 因为 FG平面 BCE,CE平面 BCE, 所以 FG平面 BCE。 因为 ABCD,ABCG
9、2, 所以四边形 ABCG 是平行四边形,所以 AGBC, 因为 AG平面 BCE,BC平面 BCE, 所以 AG平面 BCE。 又 FGAGG,FG平面 AFG,AG平面 AFG, 所以平面 AFG平面 BCE。 因为 AF平面 AFG,所以 AF平面 BCE。 证明线面平行有两种常用方法:一是线面平行的判定定理; 二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行, 再根据面面平行 的性质证明线面平行。 方向 2:直线与平面平行性质定理的应用 【例 2】 (2019青岛质检)如图,五面体 ABCDE 中,四边 形 ABDE 是矩形,ABC 是正三角形,AB1,AE2,F 是线 段BC上一点, 直线B
10、C与平面ABD所成角为30, CE平面ADF。 (1)试确定 F 的位置; (2)求三棱锥 ACDF 的体积。 解 (1)连接 BE 交 AD 于点 O,连接 OF, 因为CE平面ADF, CE平面BEC, 平面ADF平面BEC OF, 所以 CEOF。 因为 O 是 BE 的中点,所以 F 是 BC 的中点。 (2)因为 BC 与平面 ABD 所成角为 30,BCAB1, 所以 C 到平面 ABD 的距离为 hBCsin30 。 1 2 因为 AE2,F 是 BC 的中点, 所以 VACDFVFACD VBACD VCABD 1 2 1 2 12 。 1 2 1 3 1 2 1 2 1 12
11、 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时, 一定注意定理 成立的条件, 通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤, 如 : 把线面平行转化为线线平行时, 必须说清经过已知直线的平面和 已知平面相交,这时才有直线与交线平行。 【题点对应练】 1(方向 1)如图,已知四棱锥 PABCD,PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形, BCAD, CDAD, PCAD2DC 2CB,E 为 PD 的中点。 (1)证明:CE平面 PAB; (2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值。 解 (1)证明:如图,设 PA 的中点为 F,连接 EF,FB。因 为 E,F 分别为 PD,PA 的中点, 所
12、以 EFAD 且 EF AD。 1 2 又因为 BCAD,BC AD, 1 2 所以 EFBC 且 EFBC, 即四边形 BCEF 为平行四边形, 所以 CEBF。 因为 BF平面 PAB,CE平面 PAB, 所以 CE平面 PAB。 (2)分别取 BC,AD 的中点为 M,N。 连接 PN 交 EF 于点 Q,连接 MQ,BN。 因为 E,F,N 分别是 PD,PA,AD 的中点, 所以 Q 为 EF 的中点,在平行四边形 BCEF 中,MQCE。 由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD。 由 DCAD,N 是 AD 的中点得 BNAD。 又 PNBNN,所以 AD平面 PBN。 由 BCA
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