2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第七章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 Word版含答案.pdf
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1、第五节 直线、平面垂直的判定与性质 2019 考纲考题考情 1直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平 面 互相垂直。 (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 1与线面垂直相关的两个常用结论: (1)两平行线中的一条与平面垂直, 则另一条也与这个平面垂 直。 (2)一条直线垂直于两平行平面中的一个, 则与另一个平面也 垂直。 2三种垂直关系的转化: 一、走进教材 1(必修 2P73练习 T1改编)下列命题中不正确的是( ) A 如果平面 平面 , 且直线 l平面 , 则直线 l平面 B如果
2、平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行 于平面 C如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在 直线垂直于平面 D 如果平面 平面 , 平面 平面 , l, 那么 l 解析 根据面面垂直的性质,知 A 不正确,直线 l 可能平行 平面 ,也可能在平面 内。故选 A。 答案 A 2(必修 2P67练习 T2改编)在三棱锥 PABC 中,点 P 在平 面 ABC 中的射影为点 O。 (1)若 PAPBPC,则点 O 是ABC 的_心; (2)若 PAPB,PBPC,PCPA,则点 O 是ABC 的 _心。 解析 (1)如图, 连接OA, OB, OC, OP, 在RtPOA, RtPOB
3、和RtPOC中, PAPBPC, 所以OAOBOC, 即O为ABC 的外心。 (2)如图, 延长 AO, BO, CO 分别交 BC, AC, AB 于 H, D, G。 因为 PCPA, PBPC, PAPBP, 所以 PC平面 PAB, 又 AB 平面PAB, 所以PCAB, 因为ABPO, POPCP, 所以AB 平面 PGC,又 CG平面 PGC,所以 ABCG,即 CG 为ABC 边 AB 上的高。同理可证 BD,AH 分别为ABC 边 AC,BC 上的 高,即 O 为ABC 的垂心。 答案 (1)外 (2)垂 二、走近高考 3 (2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中,
4、 ABBC 2,AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30,则该长方体的体积为 ( ) A8 B62 C8 D823 解析 连接 BC1, 因为 AB平面 BB1C1C, 所以AC1B30, ABBC1, 所以ABC1为直角三角形。 又AB2, 所以BC12。3 又 B1C12,所以 BB12,故该长方体的体 2 32222 积 V2228。22 答案 C 4 (2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中, E为棱CD 的中点,则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 解析 在正方体中连接 A1D,AD1,B1C,由正方体的性质 知 AD1A1D,CDAD
5、1,又因为 A1DCDD,所以 AD1平 面 A1B1CD, 又因为 BC1AD1, 所以 BC1平面 A1B1CD, 因为 A1E 平面 A1B1CD,所以 BC1A1E。 答案 C 三、走出误区 微提醒:忽略线面垂直的条件致误;忽视平面到空间的 变化致误。 5“直线 a 与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 垂直”的_条件。 解析 根据直线与平面垂直的定义知 “直线 a 与平面 内的 无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 垂直” ,反之则 可以,所以应是必要不充分条件。 答案 必要不充分 6已知直线 a,b,c,若 ab,bc,则 a 与 c 的位置关 系为_。 解析
6、 若 a,b,c 在同一个平面内,由题设条件可得 ac; 若在空间中,则直线 a 与 c 的位置关系不确定,平行、相交、异 面都有可能。 答案 平行、相交或异面 7已知直线 a 和平面 ,若 ,a,则 a 与 的位 置关系为_。 解析 当 a 且 a 垂直于 , 的交线时,满足已知条件; 若 a,则 a。故得 a 与 的位置关系为 a 或 a。 答案 a 或 a 考点一 直线与平面垂直的判定与性质 【例 1】 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD, ABAD, ACCD, ABC60, PAABBC, E 是 PC 的中点。 证明:(1)CDAE; (2)PD平面 ABE。
7、证明 (1)在四棱锥 PABCD 中, 因为 PA底面 ABCD,CD平面 ABCD, 所以 PACD。 又因为 ACCD,PAACA,PA,AC平面 PAC, 所以 CD平面 PAC。 而 AE平面 PAC,所以 CDAE。 (2)由 PAABBC,ABC60,可得 ACPA。 因为 E 是 PC 的中点,所以 AEPC。 由(1)知 AECD,且 PCCDC,PC,CD平面 PCD, 所以 AE平面 PCD, 而 PD平面 PCD,所以 AEPD。 因为 PA底面 ABCD,AB平面 ABCD, 所以 PAAB。 又因为 ABAD,且 PAADA, 所以 AB平面 PAD,而 PD平面 P
8、AD, 所以 ABPD。 又因为 ABAEA,AB,AE平面 ABE, 所以 PD平面 ABE。 证明线面垂直的常用方法及关键 1证明直线和平面垂直的常用方法:(1)判定定理;(2)垂直 于平面的传递性(ab, ab); (3)面面平行的性质(a, a);(4)面面垂直的性质。 2证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则 需借助线面垂直的性质。因此,判定定理与性质定理的合理转化 是证明线面垂直的基本思想。 【变式训练】 S是RtABC所在平面外一点, 且SASB SC,D 为斜边 AC 的中点。 (1)求证:SD平面 ABC; (2)若 ABBC,求证:BD平面 SAC。 证明 (1)
9、如图所示,取 AB 的中点 E,连接 SE,DE, 在 RtABC 中,D、E 分别为 AC、AB 的中点, 所以 DEBC,所以 DEAB, 因为 SASB,所以SAB 为等腰三角形, 所以 SEAB。 又 SEDEE, 所以 AB平面 SDE。又 SD平面 SDE, 所以 ABSD。 在SAC 中,SASC,D 为 AC 的中点, 所以 SDAC。 又 ACABA,所以 SD平面 ABC。 (2)由于 ABBC,则 BDAC, 由(1)可知,SD平面 ABC,又 BD平面 ABC, 所以 SDBD, 又 SDACD,所以 BD平面 SAC。 考点二 平面与平面垂直的判定与性质 【例 2】
10、(2018江苏高考)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中 AA1AB,AB1B1C1。 求证:(1)AB平面 A1B1C; (2)平面 ABB1A1平面 A1BC。 解 (1)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,ABA1B1。因 为 AB平面 A1B1C,A1B1平面 A1B1C,所以 AB平面 A1B1C。 (2)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,四边形 ABB1A1为平 行四边形。 又因为 AA1AB,所以四边形 ABB1A1为菱形, 因此 AB1A1B。 又因为 AB1B1C1,BCB1C1, 所以 AB1BC。 又因为 A1BBCB,A1B平面 A1BC,BC平面
11、A1BC, 所以 AB1平面 A1BC。 因为 AB1平面 ABB1A1, 所以平面 ABB1A1平面 A1BC。 1证明面面垂直的常用方法:(1)利用面面垂直的定义;(2) 利用面面垂直的判定定理,转化为从现有直线中(或作辅助线)寻 找平面的垂线,即证明线面垂直。 2 两个平面垂直问题, 通常是通过 “线线垂直线面垂直 面面垂直”的过程来实现的。 【变式训练】 (2019唐山市摸底考试)如图,在四棱锥 P ABCD 中, PC底面 ABCD, ABCD 是直角梯形, ABAD, AB CD,AB2AD2CD2,E 是 PB 的中点。 (1)求证:平面 EAC平面 PBC; (2)若 PC,求
12、三棱锥 CPAB 的高。2 解 (1)因为 PC平面 ABCD,AC平面 ABCD, 所以 ACPC。 因为 AB2,ADCD1,所以 ACBC,2 所以 AC2BC2AB2,故 ACBC。 又 BCPCC,所以 AC平面 PBC。 因为 AC平面 EAC,所以平面 EAC平面 PBC。 (2)由 PC,且 PCCB,2 得 SPBC ()21。 1 2 2 由(1)知,AC 为三棱锥 APBC 的高。 易知 RtPCARtPCBRtACB, 则 PAABPB2, 于是 SPAB 22sin60。 1 2 3 设三棱锥 CPAB 的高为 h,则 SPABh SPBCAC, 1 3 1 3 h
13、1,解得 h, 1 3 3 1 3 2 6 3 故三棱锥 CPAB 的高等于。 6 3 考点三 开放型问题 【例3】 如图所示, 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中, DB BC,DBAC,点 M 是棱 BB1上一点。 (1)求证:B1D1平面 A1BD; (2)求证:MDAC; (3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1平面 CC1D1D。 解 (1)证明:由直四棱柱,得 BB1DD1,且 BB1DD1, 所以 BB1D1D 是平行四边形, 所以 B1D1BD。 而 BD平面 A1BD,B1D1平面 A1BD, 所以 B1D1平面 A1BD。 (2)证明:因为 BB1平面 ABCD,A
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