2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第二章 第十一节 导数的应用 Word版含答案.pdf
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1、第十一节 导数的应用 2019 考纲考题考情 1函数的导数与单调性的关系 函数 yf (x)在某个区间内可导,则 (1)若 f (x)0,则 f (x)在这个区间内单调递增。 (2)若 f (x)0,则 f (x)在这个区间内单调递减。 (3)若 f (x)0,则 f (x)在这个区间内是常数函数。 2函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数yf (x)在点xa处的函数值f (a)比它在点xa附近 其他点的函数值都小,且 f (a)0,而且在点 xa 附近的左侧 f (x)0,右侧 f (x)0,则 xa 叫做函数的极小值点,f (a)叫做 函数的极小值。 (2)函数的极大值 若函数yf
2、(x)在点xb处的函数值f (b)比它在点xb附近 其他点的函数值都大,且 f (b)0,而且在点 xb 附近的左侧 f (x)0,右侧 f (x)0,则 xb 叫做函数的极大值点,f (b)叫做 函数的极大值,极大值和极小值统称为极值。 3函数的最值与导数 (1)函数 f (x)在a,b上有最值的条件: 一般地,如果在区间a,b上,函数 yf (x)的图象是一条连 续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值。 (2)求函数 yf (x)在a,b上的最大值与最小值的步骤为: 求函数 yf (x)在(a,b)内的极值; 将函数yf (x)的各极值与端点处的函数值f (a), f (b)比较, 其中最
3、大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 1 函数f (x)在区间(a, b)上递增, 则f (x)0, “f (x)0在(a, b) 上成立”是“f (x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件。 2对于可导函数 f (x),“f (x0)0”是“函数 f (x)在 xx0 处有极值” 的必要不充分条件。 如函数 yx3在 x0 处导数为零, 但 x0 不是函数 yx3的极值点。 一、走进教材 1(选修 11P93练习 T1(2)改编)函数 yxex的单调递减区 间为( ) A(,0) B(0,) C1,) D(1,) 解析 y1ex0。故选 B。 答案 B 2(选修 11P99A 组 T5
4、(4)改编)函数 f (x)2xxlnx 的极值 是( ) A B 1 e 2 e Ce De2 解析 f (x)定义域为(0, ), 因为 f (x)2(lnx1)1 lnx, 当 f (x)0 时, 解得 0e, 所以 xe 时,f (x)取到极大值,f (x)极大值f (e)e。故选 C。 答案 C 二、走近高考 3 (2016四川高考)已知 a 为函数 f (x)x312x 的极小值点, 则 a( ) A4 B2 C4 D2 解析 由已知得,f (x)3x2123(x24)3(x2)(x2)。 于是当 x2 时,f (x)0;当20 在(0,)上恒成立,则 f (x)在(0,)上单调递
5、增, 又 f (0)1,所以此时 f (x)在(0,)内无零点,不满足题意。 当 a0 时, 由 f (x)0 得 x , 由 f (x)0,f (x) 单调递增,当 x(0,1)时,f (x)0 恒成立, 所以 f (x)是增函数。 故选 C。 答案 C 6 函数 g(x)x2的极值点是_, 函数 f (x)(x1)3 的极值点_(填“存在”或“不存在”)。 解析 结合函数图象可知 g(x)x2的极值点是 x0。 因为 f (x)3(x1)20, 所以 f (x)0 无变号零点, 故函数 f (x)(x 1)3不存在极值点。 答案 0 不存在 7 函 数 g(x) x2在 1,2上 的 最
6、小 值 和 最 大 值 分 别 是 _,在(1,2)上的最小值和最大值均_(填“存在” 或“不存在”)。 解析 根据函数的单调性及最值的定义可得。 答案 1,4 不存在 第 1 课时 导数与函数的单调性 考点一 讨论函数的单调性 【例 1】 (1)已知 e 为自然对数的底数, 则函数 yxex的单 调递增区间是( ) A1,) B(,1 C1,) D(,1 (2)(2019惠州调研)已知函数 f (x)x2(a2)xalnx, 其中 a R。 若曲线 yf (x)在点(2,f (2)处的切线与直线 xy30 平行,求 a 的值; 求函数 f (x)的单调区间。 (1)解析 令 y(1x)ex0
7、。因为 ex0,所以 1x0,所 以 x1。故选 A。 答案 A (2)解 由 f (x)x2(a2)xalnx 可知,函数 f (x)的定义 域为x|x0,且 f (x)2x(a2) , a x 依题意,f (2)4(a2) 1,解得 a2。 a 2 依题意,f (x)2x(a2) (x0)。 a x 2xax1 x 令 f (x)0,得 x11,x2 。 a 2 ()当 a0 时, 0,由 f (x)0,得 x1; a 2 由 f (x)0,得 01; a 2 a 2 由 f (x)1,即 a2 时,由 f (x)0,得 0 ; a 2 a 2 由 f (x)0,解集在定义域内的部分为单调
8、递增区 间。 4解不等式 f (x)0,函数 g(x)单调递增; 若 a0,当 x时,g(x)0,函数 g(x)单调递增, (0, 1 2a) 当 x时,g(x)0 时,g(x)的单调递增区间为,单调递减区间为 (0, 1 2a) 。 ( 1 2a,) 考点二 已知函数的单调性求参数取值范围 【例 2】 设函数 f (x) x3 x2bxc, 曲线 yf (x)在点 1 3 a 2 (0,f (0)处的切线方程为 y1。 (1)求 b,c 的值; (2)若 a0,求函数 f (x)的单调区间; (3)设函数 g(x)f (x)2x, 且 g(x)在区间(2, 1)内存在单 调递减区间,求实数
9、a 的取值范围。 解 (1)f (x)x2axb。 由题意得Error!Error!即Error!Error! 故 b0,c1。 (2)由(1)得 f (x)x2axx(xa),a0。 当 x(,0)时,f (x)0; 当 x(0,a)时,f (x)0。 所以函数 f (x)的单调递增区间为(,0),(a,),单 调递减区间为(0,a)。 (3)g(x)x2ax2,依题意,存在 x(2,1),使不等 式 g(x)x2ax2x 成立, 即a min。 2 x (x 2 x) 因为 x(2,1),所以x(1,2), 则x 22, 2 x x(2 x) 2 当且仅当x ,即 x时等号成立, 2 x
10、2 所以a2,则 a2x。若 f (a2)f (a)44a,则实数 a 的取值范围为 ( ) A(,1 B1,) C(,2 D2,) 解析 令 G(x)f (x)x2,则 G(x)f (x)2x。x0,) 时, G(x)f (x)2x0, 所以 G(x)在0, )上是增函数。 G(x) f (x)(x)2f (x)x2G(x), 所以 G(x)为偶函数, G(x)在( , 0)上是减函数。 因为f (a2)f (a)44a, 所以f (a2)4 4aa2f (a)a2,所以 f (a2)(a2)2f (a)a2,即 G(a 2)G(a),所以|a2|a|,所以 a1。故选 A。 答案 A 本小
11、题构造了新函数 G(x)f (x)x2,通过讨论其单调性解 不等式。 方向 2:比较大小 【例 4】 (2019南昌摸底调研)已知函数 f (x)是定义在 R 上 的偶函数, 设函数 f (x)的导函数为 f (x), 若对任意 x0 都有 2f (x) xf (x)0 成立,则( ) A4f (2)9f (3) C2f (3)3f (2) D3f (3)0 都有 2f (x)xf (x)0 成立,则当 x0 时, 有 g(x)x(2f (x)xf (x)0 恒成立,即函数 g(x)在(0,)上为 增函数, 又由函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数, 则 f (x)f (x), 则有g(x
12、)(x)2f (x)x2f (x)g(x), 即函数g(x)也为偶函数, 则有g(2)g(2), 且g(2)0” ,需构造函数 g(x)x2f (x),求导后得 x0 时,g(x)0, 即函数 g(x)在(0,)上为增函数,从而问题得以解决。 【题点对应练】 1(方向 1)已知函数 f (x)(xR)满足 f (1)1,且 f (x)的导函 数 f (x)1, 即 x(, 1)(1,)。 答案 (,1)(1,) 2(方向 2)定义在 R 上的函数 f (x)满足:f (x)f (x)恒成立, 若 x1e x2f (x 1) Be x1f (x 2)0,所以 g(x)在 R 上单调递增,当 x1
13、e x2f (x 1)。 f x1 e x1 f x2 e x2 答案 A Error!Error! 1(配合例 1 使用)若函数 y在(1,)上单调递减, f x lnx 则称 f (x)为 P 函数。下列函数中为 P 函数的为( ) f (x)1;f (x)x;f (x) ;f (x)。 1 x x A B C D 解析 x(1,)时,lnx0,x 增大时, ,都减小, 1 lnx 1 xlnx 所以 y, y在(1, )上都是减函数, 所以 f (x)1 和 f 1 lnx 1 xlnx (x) 都是 P 函数 ;, 所以 x(1, e)时,0, 即 y在(1, e)上单调递减, 在(e
14、, ) ( x lnx) x lnx 上单调递增,所以 f (x)x 不是 P 函数;,所 ( x lnx) lnx2 2xlnx2 以 x(1, e2)时,0, 即 y ( x lnx) ( x lnx) x lnx 在(1,e2)上单调递减,在(e2,)上单调递增,所以 f (x)x 不是 P 函数。故选 B。 答案 B 2(配合例 1 使用)已知函数 f (x)ln(ex1)ax(a0),讨论 函数 yf (x)的单调区间。 解 f (x)a1a。 ex ex1 1 ex1 当 a1 时,f (x)0,得(1a)(ex1)1, 即 ex1,解得 xln, 1 1a a 1a 由 f (x
15、)2f cosx 的解集为( ) ( 3) A ( 2, 3) (0, 3) B ( 3,0) ( 3, 2) C ( 3,0) (0, 3) D ( 2, 3) ( 3, 2) 解析 令 g(x),因为 f (x)是定义在上 f x cosx ( 2,0) (0, 2) 的偶函数,所以 g(x)是定义在上的偶函数,又 ( 2,0) (0, 2) 当 02f cosx化为, 即g(x)g ( 2,0) ( 3) f x cosx f ( 3) cos 3 , 则|x|1,则不等式 f (x)x0 的解集为_。 【解析】 令 g(x)f (x)x,所以 g(x)f (x)1。由题意 知g(x)0
16、, 所以g(x)为增函数。 因为g(2)f (2)20, 所以g(x)0 的解集为(2,)。 【答案】 (2,) 【典例 2】 是圆周率, e 是自然对数的底数, 在 3e, e3, e, 3,3,e六个数中,最小的数与最大的数分别是( ) A3e,3 B3e,e Ce3,3 De,3 【解析】 构造函数 f (x),f (x)的定义域为(0,), lnx x 求导得 f (x),当 f (x)0,即 0e 时,函数 f (x)单调递减。故函数 f (x)的单 调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,)。因为 e3,在 3e,e3,e,3,3,e六个数中的最大的数是 3, 同理得最小的数为
17、 3e。故选 A。 【答案】 A 二、ex与 f (x)的组合函数 【典例 3】 已知 f (x)(xR)有导函数,且xR,f (x)f (x),nN*,则有( ) Aenf (n)enf (0) Benf (n)f (0),f (n)enf (0) Denf (n)f (0),f (n)0, g(x)为R上的增函数, 故g(n)enf (0)。故选 A。 f 0 e0 f n en 【答案】 A 【典例 4】 设 a0,b0,e 是自然对数的底数,则( ) A若 ea2aeb3b,则 ab B若 ea2aeb3b,则 ab D若 ea2aeb3b,则 a0,b0,所以 ea2aeb3beb2
18、b beb2b。 对于函数 yex2x(x0), 因为 yex20, 所以 yex 2x 在(0,)上单调递增,因而 ab 成立。故选 A。 【答案】 A 第 2 课时 导数与函数的极值、最值 考点一 函数的极值问题微点小专题 方向 1:由图象判断函数的极值 【例 1】 设函数 f (x)在 R 上可导, 其导函数为 f (x), 且函数 y (1x)f (x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A函数 f (x)有极大值 f (2)和极小值 f (1) B函数 f (x)有极大值 f (2)和极小值 f (1) C函数 f (x)有极大值 f (2)和极小值 f (2) D函数
19、f (x)有极大值 f (2)和极小值 f (2) 解析 由题图可知,当 x0;当22 时,f (x)0。由此可以得 到函数 f (x)在 x2 处取得极大值,在 x2 处取得极小值。故 选 D。 答案 D 知图判断函数极值的情况。先找导数为 0 的点,再判断导数 为 0 的点的左、右两侧的导数符号。 方向 2:求函数的极值 【例 2】 已知函数 f (x)2f (1)lnxx,则 f (x)的极大值为 ( ) A2 B2ln22 Ce D2e 解析 函数 f (x)定义域(0,),f (x)1,所以 2f 1 x f (1)1, f (x)2lnxx, 令 f (x) 10, 解得 x2。
20、当 00, 当 x2 时, f (x)0,且 2121a0, 所以 a(,1。 答案 (,1 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 1列式:根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程 组,利用待定系数法求解。 2验证:因为某点处的导数值等于 0 不是此点为极值点的 充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性。 【题点对应练】 1 (方向1)已知函数f (x)的定义域为(a, b), 导函数f (x)在(a, b) 上的图象如图所示,则函数 f (x)在(a,b)上的极大值点的个数为 ( ) A1 B2 C3 D4 解析 由函数极值的定义和导函数的图象可知, f (x)在(a, b
21、) 上与 x 轴的交点个数为 4,但是在原点附近的导数值恒大于零, 故 x0 不是函数 f (x)的极值点,其余的 3 个交点都是极值点, 其中有2个点满足其附近的导数值左正右负, 故极大值点有2个。 答案 B 2 (方向2)若x2是函数f (x)(x2ax1)ex1的极值点, 则 f (x)的极小值为( ) A1 B2e3 C5e3 D1 解析 因为 f (x)(x2ax1)ex1,所以 f (x)(2xa)ex1 (x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1。因为 x2 是函 数f (x)(x2ax1)ex1的极值点, 所以2是x2(a2)xa1 0 的根, 所以 a1, f (x)(x2
22、x2)ex1(x2)(x1)ex1。 令 f (x)0,解得 x1,令 f (x)0,得 01, 所以 f (x)1 lnx 的单调递增区间为(0,1),单调递减区 1 x 间为(1,)。 (2)由(1)得 f (x)在上单调递增,在1,e上单调递减, 1 e,1 所以 f (x)在上的最大值为 f (1)11ln10。 1 e,e 又 f 1eln 2e, f (e)1 lne , 且 f ( 1 e) 1 e 1 e 1 e ( 1 e) 0,所以 f (x)在(0,)上单调递增; 当 m0 时,令 f (x)0 得 0, m 2m m 2m 所以 f (x)在上单调递增,在上单调递 (0
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