2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第八章 第八节 圆锥曲线的综合问题 Word版含答案.pdf
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1、第八节 圆锥曲线的综合问题 2019 考纲考题考情 1直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类 : 无公共点,仅有一个公共点 及有两个相异的公共点。 (2)从代数角度看, 可通过将表示直线的方程代入二次曲线的 方程消元后所得方程解的情况来判断。 设直线 l 的方程为 AxBy C0,圆锥曲线方程为 f(x,y)0。 由Error!Error!消元,(如消去 y)得 ax2bxc0。 若 a0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近 线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行 (或重合)。 若 a0,设 b24ac。 a当 0 时,直线和圆锥曲线相交于不
2、同两点; b当 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; c当 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点。 2直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则所得弦长: |P1P2| 1k2x1 x224x1x2 |x1x2|1k2 (1 1 k2)y 1y224y1y2 |y1y2|。 1 1 k2 (2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间 距离公式)。 3圆锥曲线的中点弦问题 遇到弦中点问题常用 “根与系数的关系” 或 “点差法” 求解。 在椭圆1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜 x2 a2 y
3、2 b2 率 k;在双曲线1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所 b2x0 a2y0 x2 a2 y2 b2 在直线的斜率 k;在抛物线 y22px(p0)中,以 P(x0,y0) b2x0 a2y0 为中点的弦所在直线的斜率 k 。在使用根与系数关系时,要 p y0 注意前提条件是 0。 点差法的常见结论(设 AB 为圆锥曲线的弦, 点 M 为弦 AB 的 中点): 一、走进教材 1 (选修11P62例5改编)过点(0,1)作直线, 使它与抛物线y2 4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析 结合图形分析可知, 满足题意的直线共有 3 条 :
4、直线 x 0,过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相 切的直线(非直线 x0)。故选 C。 答案 C 二、走出误区 微提醒:没有发现直线过定点,导致运算量偏大;不会 用函数法解最值问题;错用双曲线的几何性质。 2直线 ykxk1 与椭圆 1 的位置关系为( ) x2 9 y2 4 A相交 B相切 C相离 D不确定 解析 直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点(1,1),又点 (1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交。故选 A。 答案 A 3如图,两条距离为 4 的直线都与 y 轴平行,它们与抛物 线 y22px(0000,b0)的左、 x2 a2 y2 b2 右焦点,
5、过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是_。 解析 由题设条件可知ABF2为等腰三角形,只要AF2B 为钝角即可, 所以有2c, 即 b22ac, 所以 c2a22ac, 即 e22e b2 a 10,所以 e1。2 答案 (1,)2 第 1 课时 最值、范围、证明问题 考点一 最值问题 【例 1】 (2019广东六校联考)已知圆 C: (x2)2y22 36 与定点 M(2,0),动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切。2 (1)求动圆圆心 I 的轨迹 E 的方程; (2)若过定点 N(0,2)的直线 l 交轨迹 E 于不同的两点
6、A,B, 求|AB|的最大值。 解 (1)设动圆I的半径为r, 由题意可知, 点I(x, y)满足|IC|6 r,|IM|r, 所以|IC|IM|6。 由椭圆的定义知点 I 的轨迹为以 C, M 为左、 右焦点的椭圆, 且其长半轴长 a3,半焦距 c2,可得短半轴长 b1,2 故轨迹 E 的方程为 y21。 x2 9 (2)当直线 l 的斜率不存在时, A(0,1), B(0, 1)或 A(0, 1), B(0,1),此时|AB|2。 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 ykx2,由Error!Error! 消去 y 得,(19k2)x236kx270, 由 (36k)2108(1
7、9k2)0,得 k2 。 1 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 可得 x1x2,x1x2, 36k 19k2 27 19k2 |AB|x1x2|1k2 1k2 ( 36k 19k2) 24 27 19k2 , 631k2 3k 2 1 19k2 令 19k2t,则 t4, |AB|2 631k2 3k 2 1 19k2 14 t 32 t2 2,32(1 t) 241 t 1 又因为 , 1 t (0, 1 4) 所以当 ,即 k时,|AB|max。 1 t 1 16 15 3 32 2 综上,|AB|的最大值为。 32 2 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上 主
8、要有两种方法:一是几何方法,即通过利用圆锥曲线的定义、 几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数方 法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的 函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解。 【变式训练】 (1)设 P 是椭圆 1 上一点,M,N 分 x2 25 y2 9 别是两圆 : (x4)2y21 和(x4)2y21 上的点, 则|PM|PN| 的最小值、最大值分别为( ) A9,12 B8,11 C8,12 D10,12 (2)(2019邢台模拟)已知椭圆 y21 上两个不同的点 A, B x2 2 关于直线 ymx 对称。 1 2 求实数 m
9、的取值范围; 求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)。 (1)解析 如图, 由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆 的两个焦点,由椭圆定义知|PA|PB|2a10,连接 PA,PB 分别与圆相交于两点 M, N, 此时|PM|PN|最小, 最小值为|PA| |PB|2R8; 连接 PA,PB 并延长,分别与圆相交于两点 M,N, 此时|PM|PN|最大,最大值为|PA|PB|2R12,即最小值和 最大值分别为 8,12。故选 C。 答案 C (2)解 由题意知 m0, 可设直线 AB 的方程为 y x 1 m b。由Error!Error! 消去 y,得x2xb210。 ( 1 2 1 m2
10、) 2b m 因为直线 y xb 与椭圆 y21 有两个不同的交点, 1 m x2 2 所以 2b220, (*) 4 m2 将 AB 的中点 M代入直线方程 ymx , ( 2mb m22, m2b m22) 1 2 解得 b, (*) m22 2m2 由(*)(*)得 m。 6 3 6 3 令 t ,则 t2。 1 m ( 6 2 ,0) ( 0, 6 2 )(0, 3 2) 则|AB|,t21 2t42t23 2 t21 2 且 O 到直线 AB 的距离为 d。 t21 2 t21 设AOB 的面积为 S(t), 所以 S(t) |AB|d 1 2 , 1 2 2(t21 2) 22 2
11、 2 当且仅当 t2 时,等号成立,此时满足 t2。 1 2 (0, 3 2) 故AOB 面积的最大值为。 2 2 考点二 范围问题 【例2】 (2018浙江高考)如图, 已知点P是y轴左侧(不含y 轴)一点, 抛物线 C: y24x 上存在不同的两点 A, B 满足 PA, PB 的中点均在 C 上。 (1)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴; (2)若 P 是半椭圆 x2 1(xb0)的离心率为, 抛物线 C2: x2ay 的准线方程为 y 3 2 。 1 2 (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程; (2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C1交于不同的两点 P,
12、Q, 若 O 在以线段 PQ 为直径的圆的外部,求直线 l 的斜率 k 的取值 范围。 解 (1)由题意得 , 所以 a2, 故抛物线 C2的方程为 x2 a 4 1 2 2y。 又 e ,所以 c,所以 b1,从而椭圆 C1的方 c a 3 2 3 程为 y21。 x2 4 (2)显然直线 x0 不满足题设条件, 故可设直线 l: ykx2, P(x1,y1),Q(x2,y2)。 由Error!Error!得(14k2)x216kx120。 因为 (16k)2412(14k2)0, 所以 k。 (, 3 2 ) ( 3 2 ,) x1x2,x1x2, 16k 14k2 12 14k2 根据题
13、意,得 00, OP OQ 所 以 x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 2)(kx2 2) (1 OP OQ k2)x1x22k(x1x2)42k40, 121k2 14k2 16k 14k2 164k2 14k2 解得20)。 x2 4 y2 3 (1)证明:k1), 设 A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点,过点 A 作圆 C 的弦 AM,并使弦 AM 的中 点恰好落在 y 轴上。 (1)求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)延长 MC 交曲线 E 于点 N,曲线 E 在点 N 处的切线与直 线 AM 交于点 B,试判断以点 B 为圆心,线段 BC 长为半径的圆 与直线 MN 的位置关
14、系,并证明你的结论。 解 (1)设M(x, y), 由题意可知, A(1r,0), AM的中点D(0,y 2) ,x0, 因为 C(1,0),所以,。 DC (1, y 2) DM (x, y 2) 在C 中,因为 CDDM,所以0, DC DM 所以 x 0,即 y24x(x0), y2 4 所以点 M 的轨迹 E 的方程为 y24x(x0)。 (2)设直线 MN 的方程为 xmy1,M(x1,y1),N(x2,y2), 直线 BN 的方程为 yky2, (x y2 2 4) Error!Error!y24my40, 可得 y1y24m,y1y24, 又 r1x1,则点 A(x1,0), 所
15、以直线 AM 的方程为 y x 。 2 y1 y1 2 Error!Error!ky24y4y2ky 0,由 0 可得 k,则直 2 2 2 y2 线 BN 的方程为 y x 。 2 y2 y2 2 联立Error!Error!可得 xB1,yB2m, y2 14 2y1 4my1 2y1 所以点 B(1,2m), |BC|2,44m2m21 所以点 B 到直线 MN 的距离 d2 |22m2| m21 4m24 |BC|,m21 所以B 与直线 MN 相切。 Error!Error! (配合例 1、例 2 使用)已知椭圆 C:1(ab0)的左、 x2 a2 y2 b2 右焦点分别为 F1,
16、F2, 以 F1F2为直径的圆与直线 ax2byab3 0 相切。 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如图, 过F1作直线l与椭圆分别交于P, Q两点, 若PQF2 的周长为 4,求的最大值。2 F2P F2Q 解 (1)由题意知c, | 3ab| a24b2 即 3a2b2c2(a24b2)(a2b2)(a24b2)。 化简得 a22b2,所以 e。 2 2 (2)因为PQF2的周长为 4,所以 4a4,得 a,222 由(1)知 b21, 所以椭圆 C 的方程为 y21, 且焦点 F1( x2 2 1,0),F2(1,0), 若直线 l 的斜率不存在, 则直线 lx 轴, 直线方程为 x
17、 1, P, Q, (1, 2 2 )(1, 2 2 ) F2P (2, 2 2 ) F2Q ,故 。 (2, 2 2 ) F2P F2Q 7 2 若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 yk(x1), 由Error!Error! 消去 y 并整理得(2k21)x24k2x2k220, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1x2,x1x2, 4k2 2k21 2k22 2k21 y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2k2(x1x2)k2, (x11,y1)(x21,y2) F2P F2Q (x11)(x21)y1y2 (k21)x1x2(k21)(x1x2)k21 (k
18、21)(k21)k21 2k22 2k21 ( 4k2 2k21) , 7k21 2k21 7 2 9 22k2 1 由 k20 可得。 F2P F2Q (1, 7 2) 综上, F2P F2Q (1, 7 2 所以的最大值是 。 F2P F2Q 7 2 第 2 课时 定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 【例 1】 (2017全国卷)已知椭圆 C:1(ab0), x2 a2 y2 b2 四点 P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在 (1, 3 2 )(1, 3 2 ) 椭圆 C 上。 (1)求 C 的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A, B两点。 若直线P2
19、A 与直线 P2B 的斜率的和为1,证明:l 过定点。 解 (1)由于 P3,P4两点关于 y 轴对称,故由题设知椭圆 C 经过 P3,P4两点。 又由知,C 不经过点 P1,所以点 P2在 C 上。 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2 因此Error!Error!解得Error!Error!故 C 的方程为 y21。 x2 4 (2)证明 : 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1, k2, 如果 l 与 x 轴垂直,设 l:xt,由题设知 t0,且|t|0。 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2,x1x2。 8km 4k21 4m24 4k21 而k1
20、k2 y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 。 2kx1x2m1x1x2 x1x2 由题设知 k1k21,故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0。 即(2k1)(m1)0,解得 k。 4m24 4k21 8km 4k21 m1 2 当且仅当 m1 时, 0, 于是 l: yxm, 即 y1 m1 2 (x2),所以 l 过定点(2,1)。 m1 2 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是:把直线或圆 锥曲线方程中的变量 x,y 看成常数,把方程的一端化为零,将 方程转化为以参数为主变量的方程,这个方程对任意参数都成 立, 这时参数的系数就要全部等于零, 这样就得
21、到一个关于 x, y 的方程组, 这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过 的定点。 【变式训练】 (2019贵阳摸底)过抛物线 C: y24x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,且|AB|8。 (1)求 l 的方程; (2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D,求证:直线 BD 过定点,并 求出该点的坐标。 解 (1)易知点 F 的坐标为(1,0),则直线 l 的方程为 yk(x 1),代入抛物线方程 y24x 得 k2x2(2k24)xk20,由题意知 k0,且(2k24)24k2k216(k21)0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以
22、x1x2,x1x21, 2k24 k2 由抛物线的定义知|AB|x1x228, 所以6,所以 k21,即 k1, 2k24 k2 所以直线 l 的方程为 y(x1)。 (2)证明:由抛物线的对称性知,D 点的坐标为(x1,y1), 直线 BD 的斜率 kBD, y2y1 x2x1 y2y1 y2 2 4 y 2 1 4 4 y2y1 所以直线 BD 的方程为 yy1(xx1), 4 y2y1 即(y2y1)yy2y1y 4x4x1, 2 1 因为 y 4x1,y 4x2,x1x21, 2 12 2 所以(y1y2)216x1x216,即 y1y24(因为 y1,y2异号), 所以直线 BD 的
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