2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第八章 第六节 双 曲 线 Word版含答案.pdf
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1、第六节 双 曲 线 2019 考纲考题考情 1双曲线的概念 平面内到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于 零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的 焦点,两焦点间的距离叫焦距。 集合 PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中 a、c 为常 数且 a0,c0。 (1)当 ac 时,M 点的轨迹是双曲线。 (2)当 ac 时,M 点的轨迹是两条射线。 (3)当 ac 时,M 点不存在。 2双曲线的标准方程和几何性质 1双曲线定义的四点辨析 (1)当 0|F1F2|时,动点的轨迹不存在。 2方程 1(mn0)表示的曲线 x2 m y2 n (1)当 m
2、0,n0 时,表示焦点在 x 轴上的双曲线。 (2)当 m2,故|PF2|6。17 答案 6 2(选修 11P53练习 T3改编)以椭圆 1 的焦点为顶 x2 4 y2 3 点,顶点为焦点的双曲线方程为_。 解析 设要求的双曲线方程为1(a0,b0),由椭圆 x2 a2 y2 b2 1,得焦点为(1,0),顶点为(2,0)。所以双曲线的顶点为 x2 4 y2 3 (1,0),焦点为(2,0)。所以 a1,c2,所以 b2c2a23, 所以双曲线标准方程为 x2 1。 y2 3 答案 x2 1 y2 3 二、走近高考 3(2018浙江高考)双曲线 y21 的焦点坐标是( ) x2 3 A(,0)
3、,(,0) B(2,0),(2,0)22 C(0,),(0,) D(0,2),(0,2)22 解析 由题可知双曲线的焦点在 x 轴上, 因为 c2a2b23 14,所以 c2,故焦点坐标为(2,0),(2,0)。故选 B。 答案 B 4 (2018江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 x2 a2 1(a0,b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则 y2 b2 3 2 其离心率的值是_。 解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为 y x,所以 b a bc,所以 b2c2a2 c2,得 c2a,所以双曲 |bc| a2b2 3 2 3 4 线的离心率 e 2。 c a 答
4、案 2 5(2018全国卷)已知双曲线 C:1(a0,b0)的 x2 a2 y2 b2 离心率为,则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )2 A B2 C D22 32 2 2 解析 由离心率 e ,得 ca,又 b2c2a2, c a 22 得 ba, 所以双曲线 C 的渐近线方程为 yx。 由点到直线的距 离公式, 得点(4,0)到 C 的渐近线的距离为2。 故选 D。 4 11 2 解析:离心率 e的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方2 程是 yx,由点到直线的距离公式得点(4,0)到 C 的渐近线的距 离为2。故选 D。 4 11 2 答案 D 三、走出误区 微提醒:忽视双曲线定义的条
5、件致误;忽视双曲线焦点 的位置致误。 6平面内到点 F1(0,4),F2(0,4)的距离之差等于 6 的点 的轨迹是_。 解析 由|PF1|PF2|60, x2 a2 y2 b2 b0)的离心率为 2,左,右焦点分别为 F1,F2,点 A 在双曲线 C 上,若AF1F2的周长为 10a,则AF1F2的面积为( ) A2a2 Ba21515 C30a2 D15a2 解析 由双曲线的对称性,不妨设 A 在双曲线的右支上, 由e 2, 得c2a, 所以AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2| c a |AF1|AF2|4a, 又AF1F2的周长为 10a, 所以|AF1|AF2|6a, 又因为
6、|AF1|AF2|2a,所以|AF1|4a,|AF2|2a,在AF1F2中,|F1F2| 4a,所以cosF1AF2 |AF1|2|AF2|2|F1F2|2 2|AF1|AF2| 。 所以 sinF1AF2, 所以 SAF1F2 4a22a24a2 2 4a 2a 1 4 15 4 |AF1|AF2|sinF1AF2 4a2aa2。故选 B。 1 2 1 2 15 4 15 答案 B 双曲线定义的应用主要有两个考查方向:一是利用定义求双 曲线的标准方程 ; 二是利用双曲线上点 P 与两焦点的距离的差的 绝对值|PF1|PF2|2a(其中 00) B 1(x0) x2 4 y2 5 x2 4 y
7、2 5 C 1(y0) D 1(x0) y2 4 x2 5 y2 4 x2 5 (2)已知 F1,F2为双曲线 C:x2y21 的左、右焦点,点 P 在 C 上,F1PF260,则|PF1|PF2|等于( ) A2 B4 C6 D8 解析 (1)由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲 线的右支, 设其方程为1(x0, a0, b0), 由题设知 c3, a x2 a2 y2 b2 2,b2945,所以点 P 的轨迹方程为 1(x0)。 x2 4 y2 5 (2)由双曲线的方程得 a1, c, 由双曲线的定义得|PF1|2 |PF2|2。 在PF1F2中, 由余弦定理得|F1F2|2
8、|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cos60,即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|2 |PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|4。 答案 (1)B (2)B 考点二 双曲线的标准方程 【例 2】 (1)(2019德州二中模拟)“00,b0),因为双曲线 C y2 a2 x2 b2 的一条渐近线与直线 l:xy0 垂直,所以双曲线 C 的一条3 渐近线为 yx。设双曲线的一个焦点为(0,c),则其到直线 l3 的距离为3。所以 c2。由双曲线的一 | 3c| 12r(3)2 3c 2 3 条渐近线为 yx, 可知 。
9、因为 a2b2c2, 所以 a29, b23 a b 3 3。故双曲线的标准方程为 1。 y2 9 x2 3 答案 (1)D (2)A 考点三 双曲线的简单几何性质微点小专题 方向 1:双曲线的渐近线 【例 3】 (2019福州四校联考)过双曲线1(a0, x2 a2 y2 b2 b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线,若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b,则该双曲线的渐近线方程 为( ) Ayx Byx2 Cyx Dy2x3 解析 由双曲线的对称性得该四边形为菱形, 因为该四边形 的周长为 8b, 所以菱形的边长为 2b, 由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x
10、轴的距离为,又 4 条直线分4b2c23b2a2 别与两条渐近线平行,所以 ,解得 ab,所以该双 b a 3b2a2 a2b2 曲线的渐近线的斜率为1, 所以该双曲线的渐近线方程为 yx。 故选 A。 答案 A 双曲线1(a0, b0)的渐近线是令0, 即得两 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 渐近线方程 0。渐近线的斜率也是一个比值,可类比离心率 x a y b 的求法解答。 方向 2:双曲线的离心率 【例 4】 (2018全国卷)设 F1,F2是双曲线 C: x2 a2 y2 b2 1(a0,b0)的左,右焦点,O 是坐标原点。过 F2作 C 的一条渐 近线的垂线, 垂足为
11、 P。 若|PF1|OP|, 则 C 的离心率为( )6 A B25 C D32 解析 不妨设一条渐近线的方程为 y x, 则 F2到 y x 的 b a b a 距离 db,在 RtF2PO 中,|F2O|c,所以|PO|a, |bc| a2b2 所以|PF1|a,又|F1O|c,所以在F1PO 与 RtF2PO 中,6 根据余弦定理得 cosPOF1cosPOF2 a2c2r(6)a2 2ac ,即 3a2c2(a)20,得 3a2c2,所以 e 。故 a c 6 c a 3 选 C。 答案 C 双曲线的离心率 e 是一个比值,故只需根据条件得到关 c a 于 a,b,c 的一个关系式,利
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