2020版高考数学一轮复习课后限时集训49抛物线理含解析北师大版2.pdf
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1、课后限时集训(四十九) 抛物线课后限时集训(四十九) 抛物线 (建议用时:60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1(2019哈尔滨模拟)过点F(0,3)且和直线y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为 ( ) Ay212x By212x Cx212y Dx212y D D 由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点,以y3 为准线的抛 物线,其方程为x212y.故选 D 2直线l过抛物线y22px(p0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB 的长是 8,AB的中点到y轴的距离是 2,则此抛物线的方程是( ) Ay212x By28x Cy26x Dy24x B B
2、设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的 中点到y轴的距离为 2,2, x1x2 2 x1x24,p4,所求抛物线的方程为y28x.故选 B 3已知点F是抛物线y24x的焦点,P是该抛物线上任意一点,M(5,3),则|PF|PM| 的最小值是( ) A6 B5 C4 D3 A A 由题意知,抛物线的准线l的方程为x1,过点P作PEl于点E,由抛物线的 定义, 得|PE|PF|, 易知当P,E,M三点在同一条直线上时, |PF|PM|取得最小值, 即(|PF| |PM|)min5(1)6,故选 A. 4若点(3,1)是抛物线y22px(p0)的
3、一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为 2, 则p的值是( ) A1 B2 C3 D4 B B 设过点(3,1)的直线交抛物线y22px(p0)于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2), 则Error! 由得yy2p(x1x2), 即, 由题意知kAB2, 且y1y22, 故kAB 2 12 2 y1y2 x1x2 2p y1y2 2,所以py1y22. 2p y1y2 5已知抛物线C:y24x,过点P(1,0)任作一直线交抛物线于A,B两点,点C为B 关于x轴的对称点,则直线AC恒过定点( ) A(1,0) B(0,1) C(2,0) D(1 2,0) A A 设直线AB的方程为xm
4、y1, 与抛物线的方程联立, 得y24my40, 设A(x1,y1), B(x2,y2),则C(x2,y2),所以y1y24,又x1x2,则直线AC的方 y1y2y1y2 4 程为yy2(xx2), 所以yy2, 整理得y(y1y2)4(x1), 即直线AC y1y2 x1x2 4 y1y2(x y2 2 4) 恒过定点(1,0),故选 A. 二、填空题 6已知抛物线x22py(p0)的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的 动点,若FPM为边长是 4 的等边三角形,则此抛物线的方程为_ x24y FPM为等边三角形,则|PM|PF|,由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准 线,设P,
5、则点M,因为焦点F,FPM是等边三角形, (m, m2 2p)(m, p 2)(0, p 2) 所以Error! 解得Error!因此抛物线方程为x24y. 7过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|2|BF|6, 则p_. 4 设AB的方程为xmy ,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2,将直线AB的方程代入 p 2 抛物线方程得y22pmyp20, 所以y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为l, 过A作ACl, 垂足为C, 过B作BDl, 垂足为D, 因为|AF|2|BF|6, 根据抛物线的定义知, |AF|AC|x1 6,|BF|BD|x
6、2 3, p 2 p 2 所以x1x23,x1x29p,所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2,即 18p720, 解得p4. 8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m当水面宽为 2 6 m 时,水位下降了_m. 1 以抛物线的顶点为坐标原点,水平方向为x轴建立平面直 角坐标系,设抛物线的标准方程为x22py(p0),把 (2, 2)代入 方程得p1, 即抛物线的标准方程为x22y.将x代入x22y6 得:y3,又 3(2)1,所以水面下降了 1 m 三、解答题 9已知过抛物线y22px(p0)的焦点,斜率为 2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2
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