新课标2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_12导数的综合应用课时规范练理含解析新人教A版.pdf
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1、2-12 导数的综合应用2-12 导数的综合应用 课时规范练课时规范练 (授课提示:对应学生用书第 241 页) A 组 基础对点练 1(2016高考全国卷)设函数f(x)ln xx1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明当x(1,)时,1x; x1 ln x (3)设c1,证明当x(0,1)时,1(c1)xcx. 解析:(1)由题设,f(x)的定义域为(0,),f(x) 1,令f(x)0,解得x1. 1 x 当 0x1 时,f(x)0,f(x)单调递增; 当x1 时,f(x)0,f(x)单调递减 (2)证明:由(1)知,f(x)在x1 处取得最大值, 最大值为f(1)0. 所以当x1
2、时,ln xx1. 故当x(1,)时,ln xx1,ln 1, 1 x 1 x 即 1x. x1 ln x (3)证明:由题设c1,设g(x)1(c1)xcx, 则g(x)c1cxln c, 令g(x)0,解得x0ln . c1 ln c 当xx0时,g(x)0,g(x)单调递增; 当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减 由(2)知 1c,故 0x01. c1 ln c 又g(0)g(1)0,故当 0x1 时,g(x)0. 所以当x(0,1)时,1(c1)xcx. 2设函数f(x)exax2. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a1,k为整数,且当x0 时,(xk)f(x)x10,求k的
3、最大值 解析:(1)f(x)的定义域为(,),f(x)exa. 若a0,则f(x)0,所以f(x)在(,)上单调递增 若a0,则当x(,ln a)时,f(x)0.所以, f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增 (2)由于a1,所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1. 故当x0 时,(xk)f(x)x10 等价于k0) x1 ex1 令g(x)x,则g(x)1. x1 ex1 xex1 ex12 exexx2 ex12 由(1)知, 函数h(x)exx2 在(0, )上单调递增 而h(1)0, 所以h(x)在(0, )上存在唯一的零点故g(x)在(0,)上存在唯一
4、的零点 设此零点为,则(1,2) 当x(0,)时,g(x)0,所以g(x)在(0,)上的 最小值为g(),又由g()0,可得 e2,所以g()1(2,3) 由于式等价于k1),g(x) 90, 1 x 即g(x)在(1,)上单调递减, 则g(x)g(1)0,即当x1 时,9ln x9x. 故当x1 时,f(x). 9ln x ax21 4(2016高考全国卷)设函数f(x)cos 2x(1)(cos x1),其中0,记 |f(x)|的最大值为A. (1)求f(x); (2)求A; (3)证明|f(x)|2A. 解析:(1)f(x)2sin 2x(1)sin x. (2)当1 时,|f(x)|c
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