江苏专版2020版高考数学一轮复习板块命题点专练八数列文含解析苏教.pdf
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1、板块命题点专练板块命题点专练板块命题点专练板块命题点专练( ( ( (八八八八) ) ) ) 数列数列数列数列 命题点一 数列的概念及表示 1.(2016上海高考)无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和若对任 意nN*,Sn2,3,则k的最大值为_ 解析 : 由Sn2,3,得a1S12,3将数列写出至最多项,其中有相同项的情况舍 去,共有如下几种情况: a12,a20,a31,a41; a12,a21,a30,a41; a12,a21,a31,a40; a13,a20,a31,a41; a13,a21,a30,a41; a13,a21,a31,a40. 最多项均只能写到第 4 项
2、,即kmax4. 答案:4 2(2014全国卷)数列 an满足 an1,a82,则a1 _. 1 1an 解析 : 将a82代入an1, 可求得a7 ; 再将a7 代入an1, 可求得a6 1 1an 1 2 1 2 1 1an 1; 再将a61 代入an1, 可求得a52; 由此可以推出数列an是一个周期数列, 1 1an 且周期为 3,所以a1a7 . 1 2 答案:1 2 命题点二 等差数列与等比数列 1(2018北京高考)设an是等差数列,且a13,a2a536,则an的通项公式为 _ 解析 : 法一 : 设数列an的公差为d.a2a536, (a1d)(a14d)2a15d36. a
3、13,d6,an6n3. 法二 : 设数列an的公差为d, a2a5a1a636,a13, a633, d6, a6a1 5 an6n3. 答案:an6n3 2 (2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数, 其前n项和为Sn.已知S3 ,S6 7 4 ,则a8_. 63 4 解析:设等比数列an的公比为q,则由S62S3,得q1, 则Error!解得Error! 则a8a1q7 2732. 1 4 答案:32 3(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1,则S6_. 解析:Sn2an1,当n2 时,Sn12an11, anSnSn12an2an1, 即an2an1. 当n1
4、 时,由a1S12a11,得a11. 数列an是首项a1为1,公比q为 2 的等比数列, Sn12n, a11qn 1q 1 12n 12 S612663. 答案:63 4(2016江苏高考)已知an是等差数列,Sn是其前n项和若a1a3,S510, 2 2 则a9的值是_ 解析 : 法一 : 设等差数列an的公差为d, 由S510, 知S55a1d10, 得a12d 5 4 2 2, 即a122d.所以a2a1d2d, 代入a1a3, 化简得d26d90, 所以d3,a1 2 2 4.故a9a18d42420. 法二:设等差数列an的公差为d,由S510,知5a310,所以a32. 5a1a
5、5 2 所以由a1a32a2, 得a12a22, 代入a1a3, 化简得a2a210, 所以a2 2 22 2 1. 公差da3a2213,故a9a36d21820. 答案:20 5(2018北京高考)设an是等差数列,且a1ln 2,a2a35ln 2. (1)求an的通项公式; (2)求 eee. 1 a 2 a n a 解:(1)设an的公差为d. 因为a2a35ln 2, 所以 2a13d5ln 2. 又a1ln 2,所以dln 2. 所以ana1(n1)dnln 2. (2)因为 eeln 22,eeln 22, 1 a ean e 1nn aa 所以数列ean是首项为 2,公比为
6、2 的等比数列, 所以 eee2n12. 1 a 2 a n a 2 12n 12 6 (2017江苏高考)对于给定的正整数k, 若数列an满足 :ankank1an1 an1ank1ank2kan, 对任意正整数n(nk)总成立, 则称数列an是 “P(k)数列” (1)证明:等差数列an是“P(3)数列” ; (2)若数列an既是“P(2)数列” ,又是“P(3)数列” ,证明:an是等差数列 证明:(1)因为an是等差数列,设其公差为d, 则ana1(n1)d, 从而,当n4 时,ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d 2an,k1,2,3, 所以an3an2an
7、1an1an2an36an, 因此等差数列an是“P(3)数列” (2)数列an既是“P(2)数列” ,又是“P(3)数列” ,因此, 当n3 时,an2an1an1an24an, 当n4 时,an3an2an1an1an2an36an. 由知,an3an24an1(anan1), an2an34an1(an1an) 将代入,得an1an12an,其中n4, 所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d. 在中,取n4,则a2a3a5a64a4, 所以a2a3d, 在中,取n3,则a1a2a4a54a3, 所以a1a32d, 所以数列an是等差数列 7(2017全国卷)记Sn为等比数列an的
8、前n项和已知S22,S36. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn1,Sn,Sn2是否成等差数列 解:(1)设an的公比为q. 由题设可得Error! 解得Error! 故an的通项公式为an(2)n. (2)由(1)可得Sn2 12 n 12 (1)n. 2 3 2n1 3 由于Sn2Sn1 (1)n 4 3 2n32n2 3 22Sn, 2 31 n2 n1 3 故Sn1,Sn,Sn2成等差数列 8(2015江苏高考)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列 (1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列 (2)是否存在a1,d,使得a1,
9、a,a,a依次构成等比数列?并说明理由 2 23 34 4 (3)是否存在a1,d及正整数n,k使得a,a,a,a依次构成等比数列?并 n1nk2n2k3n3k4 说明理由 解:(1)证明:因为2an1an2d(n1,2,3)是同一个常数, 2an1 2an 所以 2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列 (2)不存在,理由如下: 令a1da,则a1,a2,a3,a4分别为ad,a,ad,a2d(ad,a2d,d0) 假设存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列, 2 23 34 4 则a4(ad)(ad)3,且(ad)6a2(a2d)4. 令t ,则 1(1t)(1t)3,
10、d a 且(1t)6(12t)4, ( 1 2t1,t 0) 化简得t32t220(*),且t2t1. 将t2t1代入(*)式, 得t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10, 则t . 1 4 显然t 不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立, 1 4 因此不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列 2 23 34 4 (3)不存在,理由如下: 假设存在a1,d及正整数n,k,使得a,a,a,a依次构成等比数列, n1nk2n2k3n3k4 则a(a12d)n2k(a1d)2(nk), n1 且(a1d)nk(a13d)n3k(a12d)2(n2k), 分别在两个等式的两边同除以
11、a及a,并令t, 2nk12n2k1 d a1(t 1 3,t 0) 则(12t)n2k(1t)2(nk), 且(1t)nk(13t)n3k(12t)2(n2k) 将上述两个等式两边取对数,得 (n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t), 且(nk)ln(1t)(n3k)ln(13t)2(n2k)ln(12t) 化简得 2kln(12t)ln(1t)n2ln(1t)ln(12t), 且 3kln(13t)ln(1t)n3ln(1t)ln(13t) 再将这两式相除,化简得 ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t) 4ln(13t)ln(1t)(*) 令g(t)4ln(13t)
12、ln(1t)ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t),则 g(t) . 213t2ln13t312t2ln12t31t2ln1t 1t12t13t 令(t)(13t)2ln(13t)3(12t)2ln(12t)3(1t)2ln(1t), 则(t)6(13t)ln(13t)2(12t)ln(12t)(1t)ln(1t) 令1(t)(t), 则1(t)63ln(13t)4ln(12t)ln(1t) 令2(t)1(t),则2(t)0. 12 1t12t13t 由g(0)(0)1(0)2(0)0,2(t)0, 知2(t),1(t),(t),g(t)在和(0,)上均单调 ( 1 3,0)
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