江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十六数学归纳法理含解析苏教版.pdf
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1、课时跟踪检测(五十六) 数学归纳法课时跟踪检测(五十六) 数学归纳法 一保高考,全练题型做到高考达标 1用数学归纳法证明等式“123(n3)(nN*) ” ,当n n3n4 2 1 时,等式应为_ 答案:12341314 2 2 利用数学归纳法证明 “(n1)(n2) (nn)2n13(2n1),nN*” 时, 从“nk”变到“nk1”时,左边应增乘的因式是_ 解析:当nk(kN*)时, 左式为(k1)(k2) (kk); 当nk1 时, 左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1 k1), 则左边应增乘的式子是2(2k1) 2k12k2 k1 答案:2(2k1) 3(2018海门
2、实验中学检测)数列an中,已知a11,当n2 时,anan12n1, 依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是_ 解析:计算出a24,a39,a416.可猜想ann2. 答案:ann2 4平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为_ 解析:1 条直线将平面分成 11 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1(12)4 个 区域;3 条直线最多可将平面分成 1(123)7 个区域;n条直线最多可将平面分 成 1(123n)1个区域 nn1 2 n2n2 2 答案:f(n)n 2n2 2 5 用数学归纳法证明不等式 1 成立, 起始值应取为n_. 1 2 1 4 1
3、 2n1 127 64 解析 : 不等式的左边2,当n8 时,不等式不成立,故起始值应取n8. 1 1 2n 11 2 1 2n1 答案:8 6平面内n(nN*)个圆中,每两个圆都相交,每三个圆都不交于一点,若该n个圆把 平面分成f(n)个区域,则f(n)_. 解析 : 因为f(1)2,f(n)f(n1)2(n1),则f(2)f(1)21,f(3)f(2) 22,f(4)f(3)23,f(n)f(n1)2(n1),所以f(n)f(1)n(n1), 即f(n)n2n2. 答案:n2n2 7 等比数列an的前n项和为Sn, 已知对任意的nN*, 点(n,Sn)均在函数ybxr(b0 且b1,b,r
4、均为常数)的图象上 (1)求r的值 (2)当b2 时, 记bn2(log2an1)(nN*), 证明 : 对任意的nN*, 不等式 b11 b1 b21 b2 成立 bn1 bn n1 解:(1)由题意,Snbnr, 当n2 时,Sn1bn1r. 所以anSnSn1bn1(b1) 由于b0 且b1, 所以当n2 时,an是以b为公比的等比数列 又a1br,a2b(b1), 因为b,所以b,解得r1. a2 a1 bb1 br (2)证明:当b2 时,由(1)知an2n1,因此bn2n(nN*), 故所证不等式为. 21 2 41 4 2n1 2n n1 用数学归纳法证明如下: 当n1 时,左式
5、 ,右式, 3 2 2 左式右式,所以不等式成立 假设nk(k1,kN*)时不等式成立, 即, 21 2 41 4 2k1 2k k1 则当nk1 时, , 21 2 41 4 2k1 2k 2k3 2k1 k1 2k3 2k1 2k3 2k1 要证当nk1 时结论成立, 只需证, 2k3 2k1 k2 即证, 2k3 2 k1k2 由基本不等式, 得, 2k3 2 k1k2 2 k1k2 故成立, 2k3 2k1 k2 所以当nk1 时,结论成立 由可知,对任意的nN*,不等式成立 b11 b1 b21 b2 bn1 bn n1 8已知点Pn(an,bn)满足an1anbn1,bn1(nN*
6、),且点P1的坐标为 bn 14a2 n (1,1) (1)求过点P1,P2的直线l的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于nN*,点Pn都在(1)中的直线l上 解:(1)由题意得a11,b11, b2 ,a21 ,所以P2. 1 14 1 1 3 1 3 1 3( 1 3, 1 3) 所以直线l的方程为,即 2xy1. y1 1 31 x1 1 31 (2)证明:当n1 时,2a1b121(1)1 成立 假设nk(k1 且kN*)时,2akbk1 成立 则 2ak1bk12akbk1bk1 (2ak1)1, bk 14a2 k bk 12ak 12ak 12ak 所以当nk1 时,2ak1b
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