江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十六函数与导数的综合问题理含解析苏教版.pdf
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1、课时跟踪检测(十六) 函数与导数的综合问题课时跟踪检测(十六) 函数与导数的综合问题 1已知函数f(x)ln x (aR 且a0) 1 ax 1 a (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x时,试判断函数g(x)(ln x1)exxm的零点个数 1 e,e 解:(1)f(x)(x0), ax1 ax2 当a0 时,f(x)0 恒成立,函数f(x)在(0,)上单调递增; 当a0 时,由f(x)0,得x , ax1 ax2 1 a 由f(x)0,得 0x , ax1 ax2 1 a 函数f(x)在上单调递增,在上单调递减 ( 1 a,)(0, 1 a) 综上所述,当a0 时,函数f(x)在(0
2、,)上单调递增; 当a0 时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减 ( 1 a,)(0, 1 a) (2)当x时, 函数g(x)(ln x1)exxm的零点个数, 等价于方程(ln x 1 e,e 1)exxm的根的个数 令h(x)(ln x1)exx, 则h(x)ex1. ( 1 xln x1) 由(1)知当a1 时,f(x)ln x 1 在上单调递减,在(1,e)上单调递增, 1 x( 1 e,1) 当x时,f(x)f(1)0. 1 e,e ln x10 在x上恒成立 1 x 1 e,e h(x)ex1010, ( 1 xln x1) h(x)(ln x1)exx在x上单调递增, 1 e
3、,e h(x)minh2e ,h(x)maxh(e)e. ( 1 e) 1 e 1 e 当m2e 或 me 时,函数g(x)在上没有零点; 1 e 1 e 1 e,e 当2e me 时,函数g(x)在上有一个零点 1 e 1 e 1 e,e 2已知函数f(x)xex. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)是否存在实数a使得对于任意的x1,x2(a, ), 且x1x2, 恒有fx 2fa x2a 成立?若存在,求a的取值范围,若不存在,请说明理由 fx1fa x1a 解:(1)因为f(x)xex, 所以f(x)(x1)ex. 令f(x)0,得x1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况
4、如下表: x(,1)1(1,) f(x)0 f(x)极小值 所以f(x)的单调递减区间为(,1),单调递增区间为(1,), f(x)有极小值f(1) ,无极大值 1 e (2)存在满足题意的实数a.理由如下: 令g(x)(xa), fxfa xa xexaea xa 则等价于g(x)在(a,)上单调递增 fx2fa x2a fx1fa x1a 又g(x), x2axaexaea xa2 记h(x)(x2axa)exaea, 则h(x)x2(2a)x2aex(x2)(xa)ex, 故当a2,且xa时,h(x)0,h(x)在(a,)上单调递增 故h(x)h(a)0,从而g(x)0,g(x)在(a,
5、)上单调递增,满足题意; 另一方面,当a2,且ax2 时,h(x)0,h(x)在(a,2)上单调递减 故h(x)h(a)0, 从而g(x)0,g(x)在(a,2)上单调递减,不满足题意 所以a的取值范围为2,) 3已知函数f(x)exaxb(a,bR)在x0 处的导数值为 0. (1)求实数a的值; (2)若f(x)有两个零点x1,x2,且x1x2, ()求实数b的取值范围; ()证明:x1x20. 解:(1)因为f(x)exa,所以f(0)e0a1a, 又f(0)0,所以a1. (2)()因为f(x)exxb,所以f(x)ex1. 当x(,0)时,f(x)0,f(x)单调递减; 当x(0,)
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