江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十二空间向量的综合应用理含解析苏教版.pdf
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1、课时跟踪检测(四十二) 空间向量的综合应用课时跟踪检测(四十二) 空间向量的综合应用 一保高考,全练题型做到高考达标 1.(2019海安检测)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1AD 1,E为CD的中点 (1)求证:B1EAD1; (2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在, 求AP的长;若不存在, 说明理由 (3)若二面角AB1EA1的大小为 30,求AB的长 解:(1)证明:以A为坐标原点, 的方向分别为xAB AD AA1 轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设ABa, 则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(
2、a,0,1), ( a 2,1,0) 故(0,1,1),.AD1 B1E ( a 2,1,1) 0110,即B1EAD1.B1E AD1 B1E AD1 (2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0), 使得DP平面B1AE, 此时(0, 1,z0)DP 由(1)知,(a,0,1),.AB1 AE ( a 2,1,0) 设平面B1AE的法向量为n(x,y,z) 则Error!即Error! 取x1,得平面B1AE的一个法向量 n. (1, a 2,a) 要使DP平面B1AE,只要 n,即 az00,DP a 2 解得z0 . 1 2 又DP平面B1AE, 在棱AA1上存在一点P,满足DP平面
3、B1AE,此时AP . 1 2 (3)连结A1D,B1C,由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1AD1,得AD1A1D. B1CA1D,AD1B1C. 又由(1)知B1EAD1,且B1CB1EB1, AD1平面DCB1A1. 是平面A1B1E的一个法向量,此时(0,1,1)AD1 AD1 则 cosn, .AD1 n |n| a 2a 2 1a 2 4 a2 二面角AB1EA1的大小为 30, ,解得a2, 3a 2 2 15a 2 4 3 2 即AB的长为 2. 2 (2018南京学情调研)如图,在底面为正方形的四棱锥PABCD 中,侧棱PD底面ABCD,PDDC,E是线段PC的中点 (
4、1)求异面直线AP与BE所成角的大小; (2)若点F在线段PB上,且使得二面角FDEB的正弦值为,求 3 3 的值 PF PB 解 : (1)在四棱锥PABCD中, 底面ABCD为正方形, 侧棱PD底 面ABCD, 所以DA,DC,DP两两垂直,故以,为正交DA DC DP 基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 因为PDDC,所以DADCDP, 不妨设DADCDP2, 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0) 因为E是PC的中点,所以E(0,1,1), 所以(2,0,2),(2,1,1),AP BE 所以 cos,AP BE | 3 2
5、从而,.AP BE 6 因此异面直线AP与BE所成角的大小为. 6 (2)由(1)可知,(0,0,2),(0,1,1),(2,2,0),(2,2,2)DP DE DB PB 设,则(2,2,2),PF PB PF 从而(2,2,22)DF DP PF 设m(x1,y1,z1)为平面DEF的法向量, 则Error!即Error! 取z1,则y1,x121. 故m(21,)为平面DEF的一个法向量, 设n(x2,y2,z2)为平面DEB的法向量, 则Error!即Error! 取x21,则y21,z21. 所以 n(1,1,1)为平面BDE的一个法向量 因为二面角FDEB的正弦值为, 3 3 所以
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