江苏专用2020版高考物理新增分大一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力定律及应用讲义含解析.pdf
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1、第 4 讲 万有引力定律及应用第 4 讲 万有引力定律及应用 一、开普勒三定律的内容、公式 定律内容图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道 都是椭圆, 太阳处在椭圆的一 个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说, 它与太 阳的连线在相等的时间内扫 过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的 三次方跟它的公转周期的二 次方的比值都相等 k,k是一个与行星无关的 a3 T2 常量 自测 1 关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是( ) A开普勒在牛顿运动定律的基础上,导出了行星运动的规律 B开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行
2、星运动的规律 C开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因 D开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律 答案 B 解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律,但没有找出行星运动按照 这些规律运动的原因,而牛顿发现了万有引力定律 二、万有引力定律 1内容 自然界中任何两个物体都相互吸引, 引力的方向在它们的连线上, 引力的大小与物体的质量m1 和m2的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比(万有引力定律是由牛顿提出的) 2表达式 FG,G为引力常量,G6.671011Nm2/kg2,由卡文迪许利用扭秤实验测出 m1m2 r2 3适用条件 (1)公式适
3、用于质点间的相互作用, 当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时, 物体可视 为质点 (2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离 4天体运动问题分析 (1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供 (2)基本公式: GmaError! Mm r2 自测 2 (2018锦屏中学模拟)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前,“天宫 一号”的运行轨道高度为 350km,“神舟八号”的运行轨道高度为 343km.它们的运行轨道均 视为圆周,则( ) A“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B“天宫一号”比“神舟八号”周期长 C“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D“
4、天宫一号”比“神舟八号”加速度大 答案 B 解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力,根据万有引力定 律和匀速圆周运动知识得Gmmr2mr 2ma, 解得v ,T, Mm r2 v2 r( 2 T) GM r 42r3 GM GM r3 ,a,而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大,可知选项 B 正确 GM r2 三、宇宙速度 1第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫最大环绕速度,其数值为 7.9km/s. (2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是人造卫星的最大环绕速度 (4)第
5、一宇宙速度的计算方法 由Gm得v;由mgm得v. Mm R2 v2 R GM R v2 R gR 2第二宇宙速度 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,其数值为 11.2km/s. 3第三宇宙速度 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,其数值为 16.7km/s. 命题点一 开普勒三定律的理解和应用命题点一 开普勒三定律的理解和应用 1行星绕太阳的运动通常按椭圆轨道处理 2开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动 3开普勒第三定律k中,k值只与中心天体有关,不同的中心天体k值不同但该定律 a3 T2 只能用在同一中心天体的两星体之间 例 1 (2018盐城市期中)如图 1
6、 所示, 某卫星绕行星沿椭圆轨道运行, 其轨道的半长轴为r, 周期为T,图中S1、S2两部分阴影面积大小相等则( ) 图 1 A行星可以不在椭圆的焦点上 B卫星从a到b的速率逐渐增大 C卫星从a到b的运行时间大于从c到d的运行时间 D椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值只与卫星的质量有关 答案 B 解析 根据开普勒第一定律知,卫星绕行星做椭圆运动,行星处于椭圆的一个焦点上,故 A 错误卫星从a到b的过程中,万有引力做正功,根据动能定理知,速率增大,故 B 正 确根据开普勒第二定律知,S1、S2两部分阴影面积大小相等,则卫星从a到b的运行时间 等于从c到d的运行时间,故 C 错误根据开普勒
7、第三定律知,椭圆轨道半长轴的三次方与 周期的二次方的比值是定值,只与中心天体有关,与卫星的质量无关,故 D 错误 命题点二 万有引力与重力的关系命题点二 万有引力与重力的关系 忽略地球自转影响, 在地球表面附近, 物体所受重力近似等于地球对它的吸引力, 即mgG. Mm R2 可得: 1地球表面重力加速度gGM R2 距地面高h处重力加速度g. GM Rh2 有,即g与到地心距离的平方成反比 g g R2 Rh2 2地球质量M. gR2 G 3恒等式:GMgR2. 以上各式对自转可忽略的其他星球同样适用 例 2 (2018无锡市期中)据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为 地
8、球质量的 6.4 倍 已知一个在地球表面质量为 50kg 的人在这个行星表面的重量约为 800N, 地球表面处的重力加速度为 10m/s2.求: (1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少? (2)若在该行星上距行星表面 2m 高处, 以 10m/s 的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力), 则小球的水平射程是多大? 答案 (1)2 (2)5m 解析 (1)在该行星表面处, G人mg行,得g行16 m/s2. 在忽略自转的情况下,由万有引力等于物体所受的重力得mg GMm R2 有R2GM g 故4,所以2. R行2 R地2 M行g地 M地g行 R行 R地 (2)由平抛运动的规律,有 竖直方
9、向hg行t2,水平方向xvt,故xv, 1 2 2h g行 代入数据解得:x5 m. 变式 1 (2018淮安市、宿迁市等期中)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内太空授课时, 指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图 2.若聂海胜的质量为m,飞船距离地 球表面的高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,地球表面的重力加速度为g, 则聂海胜在太空舱内受到的重力大小为( ) 图 2 A0Bmg C.D. GMm h2 GMm Rh2 答案 D 解析 飞船在距地面高度为h处, 由万有引力等于重力得 :Gmg, 故D正确, A、 B、 GMm Rh2 C 错误 命题点三 中心天体环绕天体模
10、型命题点三 中心天体环绕天体模型 环绕天体做匀速圆周运动所需向心力由中心天体对它的万有引力提供(如图 3), 图 3 即:Gmr Mm r2 42 T2 或Gmm2rman等 Mm r2 v2 r 1由式可得中心天体质量:M4 2r3 GT2 中心天体密度:(r为环绕天体的轨道半径,R为中心天体的自身半径) M 4 3R 3 3r3 GT2R3 当rR时,. 3 GT2 2环绕天体运行各参量分析 (1)环绕天体的线速度:由Gm,得v,即特定的轨道对应特定的速率 Mm r2 v2 r GM r (2)环绕天体的角速度:由Gmr2,得. Mm r2 GM r3 (3)环绕天体的向心加速度:由Gma
11、n,得an. Mm r2 GM r2 (4)环绕天体的运行周期:由Gmr,得T. Mm r2 42 T2 42r3 GM 由于上述结论中引力常量G、中心天体质量M为常量,从而可以总结出:距离中心天体越远, 轨道半径越大,周期越长,线速度、角速度、向心加速度越小 准确地说:T;v;a.r3 1 r 1 r3 1 r2 例 3 (2018南京市、盐城市一模)科学家发现太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕 该恒星运行一周所用的时间为 1200 年, 它与该恒星的距离为地球到太阳距离的 100 倍 假定 该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出 的量是(引力常
12、量G已知)( ) A恒星与太阳质量之比 B恒星与太阳密度之比 C行星与地球质量之比 D行星与地球表面的重力加速度之比 答案 A 解析 根据万有引力提供向心力可得:Gm()2r,解得:M,由题意可知,行星 Mm r2 2 T 42r3 GT2 与恒星的距离为地球到太阳距离的 100 倍(即知道轨道半径之比), 行星围绕该恒星的周期为 1 200 年,地球绕太阳的周期为 1 年(即知道周期之比),而G是常数,所以利用上式可求出恒 星与太阳的质量之比,故 A 正确;由 A 分析可求出恒星与太阳的质量之比,但由于不知恒星 与太阳的半径之比,所以不能求出恒星与太阳的密度之比,故 B 错误;根据万有引力提
13、供向 心力可得:Gm()2r,解得的M是中心天体的质量,所以不能求出行星与地球的质量之 Mm r2 2 T 比,故 C 错误;根据公式m0g可知,g,由于不知行星与地球的半径之比,所以不 Gm0m R2 Gm R2 能求出行星与地球表面的重力加速度之比,故 D 错误 变式 2 (2019射阳二中 5 月模拟)近年来,人类发射了多枚火星探测器对火星进行科学探 究,为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础如果火星探测器环绕火 星做“近地”匀速圆周运动,并测得该探测器运动的周期为T,则火星的平均密度的表达 式为(k是一个常数)( ) AkT1BkT CkT2DkT2 答案 D 解析 火
14、星探测器绕火星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力可得:Gmr(r Mm r2 42 T2 为轨道半径即火星的半径),得火星的质量M,则火星的平均密度,联立解 42r3 GT2 M 4 3r 3 得火星的平均密度kT2(k为某个常量),D 正确 3 GT2 k T2 变式 3 (多选)(2018徐州市期中)地球和火星围绕太阳的公转均可以看做匀速圆周运 动地球的轨道半径为r1,周期为T1,运行速度为v1,角速度为1,加速度为a1,火星的 轨道半径为r2,周期为T2kT1,运行速度为v2,角速度为2,加速度为a2.下列关系正确 的有( ) A.kB. 1 2 r1 r2 1 3 k2 C.D.
15、v1 v2 1 3 k a1 a2 k 答案 AB 解析 根据Gmr得:T,则k,解得:,因为,则 Mm r2 42 T2 42r3 GM T2 T1 r23 r13 r1 r2 1 3 k2 2 T 有:k,故 A、B 正确根据Gm得:v,则有:,故 C 错 1 2 T2 T1 Mm r2 v2 r GM r v1 v2 r2 r1 3 k 误根据Gma,得:a,则有:,故 D 错误 Mm r2 GM r2 a1 a2 r22 r12 3 k4 拓展点 卫星运行分析 1卫星的轨道(如图 4) 图 4 (1)赤道轨道:卫星的轨道在赤道平面内,同步卫星就是其中的一种 (2)极地轨道:卫星的轨道过
16、南、北两极,即在垂直于赤道的平面内,如极地气象卫星 (3)其他轨道:除以上两种轨道外的卫星轨道 所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心 2近地卫星 贴着地球表面绕地球运行的卫星,轨道半径RR地 特点:(1)向心力Gmgm. Mm R2 v2 R (2)线速度v7.9km/s 是绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大运行速度 GM R gR (3)向心加速度ag. (4)周期T284min 为卫星运行最小周期 42R3 GM R g 3地球同步卫星 相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星同步卫星有以下“七个 一定”的特点: (1)轨道平面一定:轨道平面与赤道平面共面 (2)周期一定:
17、与地球自转周期相同,即T24h. (3)角速度一定:与地球自转的角速度相同 (4)高 度 一 定 : 由m(Rh)得 地 球 同 步 卫 星 离 地 面 的 高 度h GMm Rh2 42 T2 3 GMT2 42 R3.6107m. (5)速率一定:v3.1103m/s. GM Rh (6)向心加速度一定 : 由Gman得angh0.23m/s2,即同步卫星的向心加速 Mm Rh2 GM Rh2 度等于轨道处的重力加速度 (7)绕行方向一定:运行方向与地球自转方向一致 例4 (2018江苏单科1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月 9 日发射的“高分五号”轨道高度约
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