2019秋 金版学案 数学·选修2-2(人教A版)练习:第一章 章末复习课 Word版含解析.pdf
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1、章末复习课章末复习课 整合整合网络构建网络构建 警示警示易错提醒易错提醒 1注意区分曲线在点注意区分曲线在点 P 处的切线与过点处的切线与过点 P 的曲线的切线的曲线的切线 2导数公式与导数的四则运算法则:导数公式与导数的四则运算法则: (1)要注意公式的适用范围如要注意公式的适用范围如(xn)nxn 1中, 中,nN ,若 ,若 nQ 且且 n0,则应有,则应有 x0; (2)注意公式不要用混,如注意公式不要用混,如(ax)axln a,而不是,而不是(ax)xax 1.还要特 别注意 还要特 别注意(uv)uv,( ). u u v v u u v v 3利用导数讨论函数的单调性需注意以下
2、几个问题:利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题: (1)注意定义域优先原则,必须在函数的定义域内解不等式注意定义域优先原则,必须在函数的定义域内解不等式 f(x) 0(或或 f(x)0); (2)在对函数划分单调区间时, 除了必须确定使导数等于在对函数划分单调区间时, 除了必须确定使导数等于 0 的点外, 还要注意函数的不连续点或不可导点; 的点外, 还要注意函数的不连续点或不可导点; (3)注意在某一区间内注意在某一区间内f(x)0(或或f(x)0)是函数是函数f(x)在该区间上为 增 在该区间上为 增(或减或减)函数的充分条件函数的充分条件 4 若 若 yf(x)在在(a, b)内可
3、导,内可导, f(x)0 或或 f(x)0, 且, 且 yf(x)在在(a, b) 内导数内导数 f(x)0 的点仅有有限个,则的点仅有有限个,则 yf(x)在在(a,b)内仍是单调函数内仍是单调函数 5讨论含参数的函数的单调性时,必须注意分类讨论讨论含参数的函数的单调性时,必须注意分类讨论 6极值与最值的区别和联系:极值与最值的区别和联系: (1)函数的极值不一定是最值,需对极值和区间端点的函数值进行 比较,或者考察函数在区间内的单调性; 函数的极值不一定是最值,需对极值和区间端点的函数值进行 比较,或者考察函数在区间内的单调性; (2)如果连续函数在区间如果连续函数在区间(a,b)内只有一
4、个极值,那么极大值就是 最大值,极小值就是最小值; 内只有一个极值,那么极大值就是 最大值,极小值就是最小值; (3)可导函数的极值点导数为零,但是导数为零的点不一定是极值 点; 可导函数的极值点导数为零,但是导数为零的点不一定是极值 点; (4)极值是一个局部概念,极大值不一定比极小值大极值是一个局部概念,极大值不一定比极小值大 7导数的实际应用:导数的实际应用: (1)在求实际问题的最大在求实际问题的最大(小小)值时,一定要注意考虑实际问题的意 义,不符合实际意义的值应舍去; 值时,一定要注意考虑实际问题的意 义,不符合实际意义的值应舍去; (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一
5、个点使在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f(x) 0 的情形,如果函数在这点有极大的情形,如果函数在这点有极大(小小)值,那么不与端点值比较,也可 以知道这就是最大 值,那么不与端点值比较,也可 以知道这就是最大(小小)值值 8 应用定积分求平面图形的面积时, 要特别注意面积值应为正值, 故应区分积分值为正和为负的情形 应用定积分求平面图形的面积时, 要特别注意面积值应为正值, 故应区分积分值为正和为负的情形 专题一 导数的几何意义及其应用专题一 导数的几何意义及其应用 导数的几何意义是高考重点考查的内容之一,常与解析几何知识 交汇命题,主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点
6、处切线的斜 率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程,求解这类问题的关键就 是抓住切点 导数的几何意义是高考重点考查的内容之一,常与解析几何知识 交汇命题,主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜 率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程,求解这类问题的关键就 是抓住切点 P(x0,f(x0),P 点的坐标适合曲线方程,点的坐标适合曲线方程,P 点的坐标也适 合切线方程, 点的坐标也适 合切线方程,P 点处的切线斜率点处的切线斜率 kf(x0) 例例 1 已知曲线 已知曲线 y x3 . 1 1 3 3 4 4 3 3 (1)求曲线在点求曲线在点 P(2,4)处的切线方程;处的切线方程;
7、 (2)求曲线过点求曲线过点 P(2,4)的切线方程;的切线方程; (3)求斜率为求斜率为 4 的曲线的切线方程的曲线的切线方程 解:解:(1)因为因为 P(2,4)在曲线在曲线 y x3 上,且 上,且 yx2, 1 3 4 4 3 3 所以在点所以在点 P(2,4)处的切线的斜率处的切线的斜率 ky|x 2 4. 所以曲线在点所以曲线在点 P(2, 4)处的切线方程为处的切线方程为 y44(x2), 即, 即 4xy4 0. (2)设曲线设曲线 y x3 与过点 与过点 P(2, 4)的切线相切于点的切线相切于点 A, 1 1 3 3 4 4 3 3(x x 0 0, ,1 1 3 3x
8、x 4 3) 则切线的斜率则切线的斜率 ky|xx0x , 2 2 0 0 所以切线方程为所以切线方程为 yx (xx0), ( 1 1 3 3x x 4 3) 2 2 0 0 即即 yx x x . 2 2 0 0 2 2 3 3 3 3 0 4 4 3 3 因为点因为点 P(2,4)在切线上,所以在切线上,所以 42x x , , 2 2 0 0 2 2 3 3 3 3 0 0 4 4 3 3 即即 x 3x 40,所以,所以 x x 4x 40, 3 3 0 02 2 0 03 3 0 02 2 0 02 2 0 0 所以所以(x01)(x02)20,解得,解得 x01 或或 x02,
9、故所求的切线方程为故所求的切线方程为 4xy40 或或 xy20. (3)设切点为设切点为(x1,y1),则切线的斜率,则切线的斜率 kx 4,得,得 x02. 2 2 1 1 所以切点为所以切点为(2,4), ( 2,4 3) 所以切线方程为所以切线方程为 y44(x2)和和 y 4(x2), 4 4 3 3 即即 4xy40 和和 12x3y200. 归纳升华归纳升华 (1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线” ,还是“过某点 的切线”的问法 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线” ,还是“过某点 的切线”的问法 (2)解决“过某点的切线”问题,一般是设切点坐标为解决“过某点的切线
10、”问题,一般是设切点坐标为 P(x0,y0), 然后求其切线斜率 , 然后求其切线斜率 kf(x0),写出其切线方程而“在某点处的切线” 就是指“某点”为切点 ,写出其切线方程而“在某点处的切线” 就是指“某点”为切点 (3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线 时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一 般曲线不一定正确 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线 时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一 般曲线不一定正确 变式训练变式训练 已知函数 已知函数 f(x)x3x16. (1)求曲线求曲线 yf(x)在点在点(2
11、,6)处的切线的方程;处的切线的方程; (2)直线直线 l 为曲线为曲线 yf(x)的切线,且经过原点,求直线的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及的方程及 切点坐标切点坐标 解:解:(1)因为因为 f(2)232166, 所以点所以点(2,6)在曲线上在曲线上 因为因为 f(x)(x3x16)3x21, 所以在点所以在点(2,6)处的切线的斜率为处的切线的斜率为 kf(2)322113, 所以切线的方程为所以切线的方程为 y13(x2)(6), 即即 y13x32. (2)设切点坐标为设切点坐标为(x0,y0), 则直线则直线 l 的斜率为的斜率为 f(x0)3x 1, 2 0 所以直线所
12、以直线 l 的方程为的方程为 y(3x 1)(xx0)x x016. 2 03 0 又因为直线又因为直线 l 过点过点(0,0), 所以所以 0(3x 1)(x0)x x016, 2 03 0 整理得整理得 x 8, 3 0 所以所以 x02,y0(2)3(2)1626, 所以所以 k3(2)2113, 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 y13x,切点坐标为,切点坐标为(2,26) 专题二 导数在研究函数单调性中的应用专题二 导数在研究函数单调性中的应用 利用导数的符号判断函数的单调性,进而求出函数的单调区间, 是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用,体现了数形 结合思想这类问
13、题要注意的是 利用导数的符号判断函数的单调性,进而求出函数的单调区间, 是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用,体现了数形 结合思想这类问题要注意的是 f(x)为增函数为增函数f(x)0 且且 f(x)0 的根有有限个,的根有有限个,f(x)为减函数为减函数f0 且且 f(x)0 的根有有限个的根有有限个 例例 2 (2016北京卷北京卷)设函数设函数 f(x)xea x bx, 曲线, 曲线 yf(x)在点在点(2, f(2)处的切线方程为处的切线方程为 y(e1)x4. (1)求求 a,b 的值;的值; (2)求求 f(x)的单调区间的单调区间 解:解:(1)因为因为 f(x)x
14、ea x bx, 所以所以 f(x)(1x)ea x b. 依题设,知即依题设,知即 f( (2) )2e e2, f f( (2) )e e1,) 2 2e ea a 2 2b2e e2, e ea a 2 be e1.) 解得解得 a2,be. (2)由由(1)知知 f(x)xe2 x ex. 由由 f(x)e2 x(1 xex 1)及 及 e2 x0 知, 知, f(x)与与 1xex 1同号 同号 令令 g(x)1xex 1,则 ,则 g(x)1ex 1. 所以,当所以,当 x(,1)时,时,g(x)0,g(x)在区间在区间(1,)上单调递增上单调递增 故故 g(1)1 是是 g(x)
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