最新 北师大版必修五名师精品:1.2.1《等差数列》教案(含答案).doc
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1、最新精品数学资料教学设计21等差数列来源:学科网教学分析本节课将探究一类特殊的数列等差数列本节课安排2课时,第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念,接着归纳出等差数列的通项公式,最后根据这个公式进行有关计算本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力结合本节课特点,宜采用指导自主学习方法,即学生主动观察分析概括师生互动,形成概念启发引导,演绎结论拓展开放,巩固提高在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆猜想,学会探究第2课时主要是让学生明确等差中项的概念,进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式,并能通过通项公式与图像认识等差数列的性质让学生明白一个数列
2、的通项公式是关于正整数n的一次型函数,使学生学会用图像与通项公式的关系解决某些问题在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究在问题探索过程中,先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然后用归纳方法进行试探,提出猜想,最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想在教学过程中,应遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的学会在生活中挖掘数学问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化数列在整个中学数学内容中处
3、于一个知识汇合点的地位,很多知识都与数列有着密切联系,过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用,而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫教材采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系,而数列在将各知识沟通方面发挥了重要作用因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材由于本章所蕴涵的数学思想十分丰富,教材时刻注意从函数的观点去看数列,在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚,方程或方程组的思想也体现得较为充分不少的例题、习题均属这种模式:已知数列满足某某条件,求这个数列,这类问题一般都要通过列出方程
4、或方程组,然后求解三维目标1通过实例理解等差数列的概念,通过生活中的实例抽象出等差数列模型,让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型同时经历由发现几个具体数列的等差关系,归纳出等差数列的定义的过程2探索并掌握等差数列的通项公式,由等差数列的概念,通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式通过与一次函数的图像类比,探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系3通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点,加强理论联系实际,激发学生的学习兴趣重点难点教学重点:等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差中项及性质,会用公式解决
5、一些简单的问题教学难点:概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法,以及从函数、方程的观点看通项公式,并会解决一些相关的问题课时安排2课时第1课时导入新课思路1.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式,可有意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列,如:数列1,2,3,数列0,0,0,数列0,2,4,6,等,然后直接引导学生阅读教材中的3个实例,不知不觉中就已经进入了新课的学习思路2.(类比导入)教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式,使学生明了我们现在要研究的就是一列数由此我们联想:在初中我们学习了实数,研究了它的一些运算与性质,那么我们能不能也像研究实数一
6、样,来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢?由此导入新课推进新课(1)回忆数列的概念,数列都有哪几种表示方法?(2)阅读教材中的(1)(2)(3)3个背景实例,熟悉生活中常见的现象,写出由3个实例所得到的数列.(3)观察数列,它们有什么共同特点?(4)根据数列的特征,每人能再举出2个与其特征相同的数列吗?(5)什么是等差数列?怎样理解等差数列?其中的关键字是什么?(6)数列存在通项公式吗?如果存在,分别是什么?(7)怎样推导等差数列的通项公式?活动:教师引导学生回忆上节课所学的数列的概念、通项公式以及数列的函数特性,然后引导学生阅读教材中的实例模型,指导学生写出这3个模型的数列:来源:Zxx
7、k.Com38,40,42,44,46,;25,24,24,23,23,22,22,21,21;6,10,14.这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列观察这3个数列发现,数列为无穷数列,其变化规律是:从第2项起,每一项与前一项的差都是2;数列为有穷数列,其变化规律是:从第2项起,每一项与前一项的差都是;数列共3项也有类似变化规律也就是,每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数当然这里我们是拿后项减前项,其实前项减后项也是一个常数,为了后面内容的学习方便,这个顺序不能颠倒至此学生会认识到,具备这个特征的数列模型在生活中有很多,如堆放钢管的数列为:100,99,98,97,某体育场一角的
8、看台的座位排列:第一排15个座位,向后依次为17,19,21,23,等等以上这些数列的共同特征是:从第2项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)这就是我们这节课要研究的主要内容教师先让学生试着用自己的语言描述其特征,然后给出等差数列的定义等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母d表示教师引导学生理解这个定义:这里公差d一定是由后项减前项所得,若前项减后项则为d,这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因显然3个模型数列都是等差数列,公差依次为2,4,
9、即数列的公差d2,数列的公差d,数列的公差d4.教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念,能否抓住定义中的关键字,是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件,更是学好数学及其他学科的重要一环因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念,以培养学生分析问题、认识问题的能力)这里“从第2项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分教师进一步引导学生探究数列的通项公式,学生根据已经学过的数列通项公式的定义,观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出:an2n36,ann,an4n2.以上这几个通项公式有共同的特点,无论是在求解方法上,还是在所求的结果方面都
10、存在许多共性教师点拨学生探求,对任意等差数列a1,a2,a3,an,根据等差数列的定义都有:a2a1d,a3a2d,a4a3d,所以a2a1d,a3a2d(a1d)da12d,a4a3d(a12d)da13d.至此规律就呼之欲出了,可让学生自己猜想出等差数列的通项公式是什么,使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用及体验成功的愉悦猜想出等差数列的通项公式为ana1(n1)d后,教师适时点明:我们归纳出的公式只是一个猜想,严格的证明需要用到后面的其他知识教师可就此进一步点拨学生:数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法,后面还要专门探究它数学中有很多著名的猜想,如哥德巴赫猜想常被称为“数学皇冠上的
11、明珠”,对于它的证明中国已处于世界领先地位很多著名的数学结论都是从猜想开始的但要注意,数学猜想仅是一种数学想象,在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式ana1(n1)d是经过严格证明了的,只是现在我们知识受限,无法证明,所以说我们先承认它鼓励学生只要创新探究,独立思考,也会有自己的新发现教师根据教学实际情况,也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法例如:方法一(迭加法):an是等差数列,anan1d,an1an2d,an2an3d,a2a1d.两边分别相加,得ana1(n1)d,ana1(n1)d.方法二(迭代法):an是等差数列,anan1d,a
12、n2ddan22dan3d2dan33da1(n1)d.ana1(n1)d.这就是说:若一个等差数列的首项是a1,公差是d,则这个等差数列的通项公式是.讨论结果:(1)(7)略思路1例1 (1)求等差数列8,5,2,的第20项;(2)401是不是等差数列5,9,13,的项?如果是,是第几项?活动:本例的目的是让学生熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于an,a1,d,n(独立的量有3个)的方程,以便于学生能把方程思想和通项公式相结合,解决等差数列问题本例中的(2)是判断一个数是否是某等差数列的项这个问题可以看作(1)的逆向问题需要向学
13、生说明的是,求出的项数为正整数,所给数就是已知数列中的项;否则,就不是已知数列中的项本例可由学生自己独立解决,也可做板演之用,教师只是对有困难的学生给予恰当点拨解:(1)由a18,d583,n20,得a208(201)(3)49.(2)由a15,d9(5)4,得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1.由题意,知本题是要回答是否存在正整数n,使得4014n1成立解这个关于n的方程,得n100,即401是这个数列的第100项.变式训练1.求等差数列3,7,11,的第4项与第10项活动:根据所给数列的前3项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项解:根据题意可知a13,d734.该数
14、列的通项公式为an3(n1)4,即an4n1(n1,nN)a444115,a10410139.点评:关键是求出等差数列的通项公式2求等差数列10,8,6,的第20项解:根据题意可知a110,d8102.该数列的通项公式为an10(n1)(2),即an2n12.a202201228.点评:要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.例2 判断下面数列是否为等差数列(1)an2n1;(2)an(1)n.活动:教师引导学生探究,要判断一个数列是等差数列,根据定义,需说明从第2项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数只要说明:对于数列an,若an1and(d是与n无关的常数)即可,这是判断一个数列是等差数
15、列的常用方法解:(1)由通项,知该数列为1,3,5,7,由an2n1,nN,知an12(n1)1,于是an1an2(n1)1(2n1)2.由n的任意性知,这个数列是等差数列(2)由通项an(1)n,可知该数列为1,1,1,1,a2a11(1)2,a3a2112.由于a2a1a3a2,所以这个数列不是等差数列点评:教材安排本例的目的是让学生深刻理解等差数列的定义对学生探究时出现的anan1的情况,在对学生给予鼓励的同时,应让学生明确,这里的n2,nN.变式训练已知数列的通项公式an6n1,问这个数列是等差数列吗?若是等差数列,其首项与公差分别是多少?解:an1an6(n1)1(6n1)6(常数)
16、,an是等差数列,其首项为a16115,公差为6.点评:该训练题的目的是进一步熟悉例2的内容需要向学生强调,若用anan1d,则必须强调n2且nN这一前提条件,若用an1and,则可不对n进行限制.例3 已知等差数列an,a11,d,求通项an.活动:教材安排本例的目的主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系本例难度较小,可让学生自己独立完成解:根据等差数列的通项公式直接写出通项即可an1(n1)n1.思路2例1 (1)求等差数列9,5,1,的第10项;(2)已知等差数列an,an4n3,求首项a1和公差d.解:(1)由a19,d594,得an9(n1)(4)134n.当n10时,a
17、101341027.(2)由an4n3知,a14131,且da2a1(423)14,所以等差数列an的首项a11,公差d4.例2 已知在等差数列an中,a520,a2035.试求出数列的通项公式活动:本例是一道概念性很强的基础题,可让学生自己探究,充分发现通项公式与方程之间的联系对有困难的学生,教师给予恰当点拨,指出等差数列的通项公式,其实就是一个关于a1,an,d,n(有3个独立的量)的方程解:设an的通项公式是ana1(n1)d(nN),由a5a14d20,a20a119d35,可得一个以a1和d为未知数的二元一次方程组解这个方程组得a116,d1.故数列an的通项公式为an16(n1)(
18、1)15n.点评:通过本例让学生体会方程思想和通项公式的结合,用方程思想解决数列问题是本章的一大特色.变式训练等差数列an的公差d0,且a2a412,a2a48,则数列an的通项公式是()Aan2n2(nN)Ban2n4(nN)Can2n12(nN)Dan2n10(nN)解析:由已知可得a26,a42,解关于a1,d组成的方程组可得a18,d2.an2n10.答案:D来源:学科网例3 一个等差数列的首项为,公差d0,从第10项起每一项都比1大,求公差d的取值范围活动:教师引导学生观察题意,思考条件“从第10项起每一项都比1大”的含义,应转化为什么数学条件?是否仅是a101呢?d0的条件又说明什
19、么?教师可让学生合作探究,放手让学生讨论,不需怕学生出错解:d0,设等差数列为an,则有a1a2a3a9a10a11.由题意,得即解得d.点评:对于本例,学生很容易解题不完整,解完此题后让学生反思解题过程本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解.变式训练在数列an中,已知a11,(nN),求a50.解:已知条件可化为(nN)由等差数列的定义,知是首项为1,公差为d的等差数列1(501).a50.课本本节练习11,2,3.1先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识?要注意的是什么?都用到了哪些数学思想方法?你在这节课里最大的收获是什么?2教师进一步集中强调,本节学习的重点
20、内容是等差数列的定义及通项公式,等差数列的基本性质是“等差”这是我们研究有关等差数列的主要出发点,是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法,要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的课本习题12A组4,5.本教案设计突出了重点概念的教学,突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应用等差数列是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性,也是本质属性的准确反映和高度概括,准确地把握定义是正确认识等差数列、解决相关问题的前提条件通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨,引导综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学,这是一种非常重要
21、的学习方法;在问题探索求解中,常常是先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然后用归纳方法进行试探,提出猜想,最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想本教案设计突出了发散思维的训练通过一题多解、多题一解的训练,比较优劣,换个角度观察问题,这是数学发散思维的基本素质只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组合、融合,激发好奇心,体验多样性,学懂学透,融会贯通,创新思维才能与日俱增(设计者:朱桂花)第2课时导入新课思路1.(复习导入)上一节课我们研究了数列中的一个重要概念等差数列的定义,让学生回忆这个定义,并举出几个等差数列的例子接着教师引导学生探究自己所举等差数列例子中项与项之间
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