2020版高考数学（江苏专用）一轮课件：第五章§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算 .pptx

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1、第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理及坐标运算,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 与 的夹角 为,且tan =7, 与 的夹角为45.若 =m +n (m,nR),则m+n= .,答案 3,解析 本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识. 解法一:tan =7,0, cos = ,sin = , 与 的夹角为, = , =m +n ,| |=| |=1,| |= , = , 又 与 的夹角为45, = = , 又cosA

2、OB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 = - =- , =| | |cosAOB=- , 将其代入得m- n= , - m+n=1, 两式相加得 m+ n= , 所以m+n=3. 解法二:过C作CMOB,CNOA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N, 则 =m , =n , 由正弦定理得 = = , | |= ,由解法一知,sin = ,cos = , | |= = = , | |= = = ,又 =m +n = + ,| |=| |=1, m= ,n= , m+n=3.,方法总结 对于所给出的向量等式的处理可以从以下三个方面进行:一是通过向量的平行四 边形法

3、则,转化为三角形中的边角的关系,应用正弦定理、余弦定理来加以解决;二是通过向量 的线性运算来进行求解;三是通过乘相同的向量,从而将向量等式转化为数量等式来加以解决.,2.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为 .,答案 -3,解析 由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得 解得 从而m-n=-3.,名师点睛 明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等,其实质为平面向量基本定理的 应用.向量共线的充要条件的坐标表示:若a=(x1,y

4、1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.向量垂直的充 要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 向量的线性运算与几何意义,1.(2018课标全国理改编,6,5分)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确 的是 . = - ; = - ; = + ; = + .,答案 ,解析 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. E是AD的中点, =- , = + =- + ,又D为BC的中点, = ( + ),因此 =- ( + )+ = - .,题型归纳 平面向量线性运算问

5、题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.,2.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - (R),且 =-4,则的值为 .,答案,解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算. 由 =2

6、 得 = + , 所以 = ( - )= - + - , 又 =32cos 60=3, =9, =4, 所以 =-3+ -2= -5=-4, 解得= .,思路分析 根据 =2 得 = + ,利用 =-4以及向量的数量积建立关于的 方程,从而求得的值.,一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2, BAC=60,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D ,所以 = ,而 = - = (1, )-(3,0)=(-3, ),因此 = (-3)+ = -5=-4,解得= .,3.(2017课标全国文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|

7、=|a-b|,则下列正确的是 . ab;|a|=|b|;ab;|a|b|.,答案 ,解析 本题考查向量加法的几何意义,向量模的概念. 解法一:由向量加法的几何意义知,|a+b|=|a-b|等价于以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线 相等,则该平行四边形是矩形,所以ab. 解法二:由|a+b|=|a-b|得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,则ab.,4.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .,答案 4;2,解析 本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不 等式

8、求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2, 且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, |a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4. = = , |a+b|+|a-b|2 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时ab=0. 故当ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2 . 解法二:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3. 设y=|a-b|,同理,1y3. 而x2+y2=2a2+2b2=10,

9、故可设x= cos , cos ,y= sin , sin . 设1,2为锐角,且sin 1= ,sin 2= , 则有12,又01 2 , 则x+y= (cos +sin )=2 sin , 1+ + 2+ ,而 1+ 2+ , 故当+ = ,即= 时,x=y,此时|a+b|=|a-b|, 所以当ab时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2 . 又sin =sin = = , 故当=1或=2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时ab, x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4. 解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1. 则|a+b|+|a-b|= +,= + = +

10、 = = , 0x21,故当x=0,即ab时, |a+b|+|a-b|有最大值2 , 当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|有最小值4. 解法四:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3.设y=|a-b|,同理可得1y3. 又x2+y2=2a2+2b2=10. 故可转化为线性规划问题“已知 求x+y的最大值和最小值.” 其可行域为图中弧AB,平移直线x+y=0,显然过A、B点时,x+y有最小值4. 与圆弧相切时,切点为C( , ),x+y有最大值2 ,则|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2 .,5.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足

11、=2 , = .若 =x +y ,则x= ,y= .,答案 ;-,解析 由 =2 知M为AC上靠近C的三等分点,由 = 知N为BC的中点,作出草图如下: 则有 = ( + ),所以 = - = ( + )- = - , 又因为 =x +y ,所以x= ,y=- .,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,1.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B 上方,M为抛物线上一点, = +(-2) ,则= .,答案 3,解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由 = +(-2) 得(x,y)=(1,2)+(-2

12、) (1,-2)=(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3.,2.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1 +2 +3 +4 +5 +6 |的最小值是 ,最大值是 .,答案 0;2,解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以 此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0), =(0,1), =(-1,0), =(0,-1), =(1,1), =(-1,

13、1), 故|1 +2 +3 +4 +5 +6 | =|(1-3+5-6,2-4+5+6)| = .(*) 显然(*)式中第一个括号中的1,3与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的 取值情况即可, 当5与6同号时,不妨取5=1,6=1,则(*)式即为 , 1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(如1=1,3=-1),2- 4=2(2=1,4=-1)时,(*)式取最大值2 , 当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为 . 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2 , 综上,最小值为0,最大值为2 .,解题关键

14、 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正 方形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1和-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求 解本题的突破口.,3.(2018课标全国理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= .,答案,解析 本题考查向量的坐标运算. 由已知得2a+b=(4,2).因为c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得= .,4.(2017课标全国理改编,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上.若 = + ,则+的

15、最大值为 .,答案 3,解析 本题考查向量的运算. 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为 圆心且与BD相切的圆上,可设P . 则 =(0,-1), =(-2,0), = . 又 = + , =- sin +1,=- cos +1, +=2- sin - cos =2-sin(+), 其中tan = ,(+)max=3.,方法指导 研究平面向量问题有两种基本策略:一是找基底,通过向量的加、减法法则将所求 向量用基底的形式表示出来;二是坐标法,将所要研究的向量用坐标的形式表示出来.一般地, 若问题中有点在某条曲线上,则宜采用

16、坐标法加以研究.,5.(2016课标全国,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m= .,答案 -6,解析 因为ab,所以 = ,解得m=-6.,易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.,考点一 向量的线性运算与几何意义,C组 教师专用题组,1.(2014课标全国,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若 = ( + ),则 与 的夹角 为 .,答案 90,解析 由 = ( + )可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为 直角,所以BAC=90,所以 与 的夹角为90.,2.(2014课标全国改编,6,5分)设D,E,F分别为ABC的

17、三边BC,CA,AB的中点,则 + = .,答案,解析 设 =a, =b,则 =- b+a, =- a+b,从而 + = + = (a+b)= .,3.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD= AB,BE= BC.若 =1 +2 (1,2为实数),则1+2的值为 .,答案,解析 = + = + = + ( - )=- + , =1 +2 , 1=- ,2= , 故1+2= .,4.(2011课标全国,12,5分)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=- ,=60,则|c|的最大值等于 .,答案 2,解析 由ab=- 得=120, 如图,设 =a, =

18、b, =c, 则AOB=120, =a-c, =b-c, =60,ACB=60, O、A、C、B四点共圆.|c|的最大值应为圆的直径2R, 在AOB中,OA=OB=1,AOB=120, 所以AB= , 由正弦定理得2R= =2.,评析 本题主要考查向量的基本运算和数形结合的思想方法.得到O、A、C、B四点共圆是 解题关键,属难题.,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,1.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= .,答案 -3,解析 本题考查向量平行的条件. a=(2,6),b=(-1,),ab, 2-6(-1)=0, =-3.,2.(2015课标全国

19、,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= .,答案,解析 向量a+b与向量a+2b平行, 存在实数k使得a+b=k(a+2b), 即(-k)a+(1-2k)b=0, a,b不平行, k= ,= . 故答案为 .,思路分析 由向量a+b与a+2b平行知存在实数k使得a+b=k(a+2b),整理得(-k)a+(1-2k)b=0,再 利用平面向量基本定理列方程组,由此可得出值.,3.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|= .,答案,解析 a+b=0,即a=-b,|a|=|b|. |a|=1,|b|= ,|= .

20、,4.(2014陕西,13,5分)设0 ,向量a=(sin 2,cos ),b=(cos ,1),若ab,则tan = .,答案,解析 ab,sin 21-cos2=0, 2sin cos -cos2=0, 00,2sin =cos , tan = .,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 向量的线性运算与几何意义,1.(2019无锡期末,7)在四边形ABCD中,已知 =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,其中a,b是不共线 的向量,则四边形ABCD的形状是 .,答案 梯形,解析 = + + =a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b),所

21、以 =2 ,即ADBC,且AD= 2BC,又 、 不共线,所以四边形ABCD是梯形.,2.(2019无锡期中,11)在ABC中,点D是线段BC上任意一点,M是线段AD的中点,且 = + ,则+= .,答案 -, +=- . 解法二:(特殊位置法)当D与B重合时, =- ,=- ,=0,+=- .,3.(2019泰州期末,12)已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点,且满足 + +2 =0, + + =0,则= .,答案 -,解析 因为 + +2 =0, 所以 + +2( + )=0,即 + +2( + )=0, 即 + +2( + - )=0, 所以3 - +2 =0,即 - + =0,

22、 所以= ,=- ,则=- .,4.(2019海安高级中学期中,11)设x0,y0,向量a=(1-x,4),b=(x,-y),若ab,则x+y的最小值为 .,答案 9,解析 因为ab,所以4x+(1-x)y=0, 又x0,y0,所以 + =1, 故x+y= (x+y)=5+ + 9. 当且仅当x=3,y=6时,等号成立. 则(x+y)min=9.,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,1.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,5)已知向量a=(1,2),b=(m-1,m)且ab,则m= .,答案 2,解析 ab,1m-2(m-1)=0,解得m=2.,2.(2019扬州中学检测,5)已知向量 =(k,

23、12), =(4,5), =(10,k),当A,B,C三点共线时,实数k的 值为 .,答案 -2或11,解析 由题意可得 =(4-k,-7), =(6,k-5),由于 和 共线,故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11 或k=-2.,3.(2017扬州期中,7)已知向量a=(1,m+1),b=(m,2),则ab的充要条件是m= .,答案 -2或1,解析 因为ab,所以2=m(m+1),解得m=1或-2.,易错警示 本题很容易将m=1舍去,误认为两个向量相等时它们不平行.,4.(2019扬州中学检测,15)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0. (1)若ab,求

24、|a-b|的值; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求,的值.,解析 (1)由题意得(a-b)2=a2-2ab+b2=2, 故|a-b|= . (2)a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1), 由此得cos =cos(-),由0,= ,= .,5.(2018无锡期中,15)已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P为平面ABC上的一点, = + ,且 =0, =3. (1)求 ; (2)求+的值.,解析 (1)因为 =(2,1), =(1,2), 所以 =2+2=4. (2)因为 =0,所以 . 因为 =(2,1),所以可设 =(a,-2a), 因为 =3

25、,所以(a,-2a)(1,2)=3, 所以a-4a=3,所以a=-1,所以 =(-1,2), 因为 = + , 所以(-1,2)=(2,1)+(1,2)=(2+,+2), 所以 解得 所以+= .,一、填空题(每小题5分,共25分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：35分钟 分值：55分),1.(2019七大市三模,11)如图,正六边形ABCDEF中,若 = + (,R),则+的值为 .,答案,解析 连接CE交AD于G点,易得 = = ( + )= ( + ),+= .,一题多解 以AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立直角坐标系,设AB=1,则A(0,0),B(1,

26、0),E (0, ),C ,D(1, ), = + , (1, )= +(0, ), 故+= .,2.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,14)在平面四边形ABCD中,已知 ABC的面积是ACD的面积的3倍,若存在正实数x,y使得 = + 成立,则x+y 的最小值为 .,答案,解析 如图,分别过点B,D作BGAC,DFAC,垂足分别为G,F, SABC=3SACD,BG=3DF, 易得BGE与DFE相似, = = , = + , 又 = + , 1- =3 ,即 + =10, x+y= (x+y) = (4+2 )= ,当且仅当x= ,y= 时,取“=”.,3.(2019淮安

27、五校联考,11)ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若 + + =0,且| |=| |, 则 等于 .,答案 3,解析 因为 + + =0,所以 + =0,故O为BC中点,由O为ABC的外接圆的圆心得OA =OB=OC=1,所以ABC为直角三角形,又| |=| |,所以ABO为等边三角形,所以 =| | |cos C=| |2=3.,解题关键 将 + + =0转化为 + =0,得到O为BC中点是解题关键.,4.(2018泰州中学期初,11)在ABC中,AB=BC=2,AC=3,设O是ABC的内心,若 =p +q , 则 的值为 .,答案,解析 如图,因为O为ABC的内心,AB=BC,取AC的中

28、点D,则O在线段BD上. 从而cosDAO=cosBAO= = , 由余弦定理得cosBAC= = , 由 =p +q 得 =p +q , 所以| | |cosBAO=p +q| | |cosBAC, 故3=4p+ q, 同理 =p +q ,所以 = p+9q,联立可求得p= ,q= ,从而 = .,一题多解 如图,设D为AC的中点, ABC为等腰三角形, O在BD上,AO为A的平分线, = = , = + = + , p= ,q= , = .,5.(2018泰州中学期中,13)在ABC中,过BC边的中线AD上一点E作直线分别交AB,AC于M,N两 点,且 =2 ,设 =x , =y (xy0

29、),则9x+y的最小值为 .,答案,解析 因为D是BC的中点, =2 ,所以 = = ( + ),又 = , = ,所 以 = + ,因为M,E,N三点共线,所以 + =1,从而(9x+y) = (10+6)= ,当且仅当y=3x时等号成立.,二、解答题(共30分) 6.(2019泰州期末,15)已知向量a=(sin x,1),b= ,其中x(0,). (1)若ab,求x的值; (2)若tan x=-2,求|a+b|的值.,解析 (1)因为ab,所以sin xcos x= ,即sin 2x=1, 因为x(0,),所以x= . (2)因为tan x= =-2,所以sin x=-2cos x, 又

30、因为a+b= , 所以|a+b|= = = .,评析 本题考查向量平行的概念及运算,利用坐标求向量的模,难度不大.,7.(2018南通调研,15)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos ,sin ),b=(-sin ,cos ),c= . (1)若|a+b|=|c|,求sin(-)的值; (2)设= ,0,且a(b+c),求的值.,解析 (1)因为a=(cos ,sin ),b=(-sin ,cos ),c= , 所以|a|=|b|=|c|=1, 且ab=-cos sin +sin cos =sin(-). (2分) 因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+2ab+b2=1, (4分) 所以1+2sin(-)+1=1,即sin(-)=- . (6分) (2)因为= ,所以a= . 依题意得b+c= . (8分) 因为a(b+c),所以- - =0. (10分) 化简得 sin - cos = ,所以sin = . (12分) 因为0, 所以- - .,所以- = ,所以= . (15分),