2020版高考数学(江苏专用)一轮教师用书(PDF):第十九章§19.2 二项式定理 .pdf
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1、第十九章 计数原理 二项式定理 对应学生用书起始页码 考 点二项式定理 二项式定理 () () 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做() 的二 项展开式,其中系数 (,)叫做第 项的二项式 系数式中的 叫做二项展开式的第 项(通项),用 表示,即展开式的第 项; 二项展开式形式上的特点 ()项数为 ()各项的次数都等于二项式的幂指数 ,即 与 的指数 的和为 ()字母 按降幂排列,从第一项起,次数由 逐项减 直到 零;字母 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项加 直到 ()二项式的系数从 , ,一直到 , 二项式系数的性质 ()在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项 式系数相等
2、()若二项式的幂指数是偶数,则中间项的二项式系数最 大;若二项式的幂指数是奇数,则中间两项的二项式系数相等并 且最大 ()二项式系数的和等于 ,即 ()二项式展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和,即 二项式的通项易误认为是第 项,实质上是第( )项 () 与() 虽然相同,但具体到它们展开式的 某一项时是不相同的,所以公式中的第一个量 与第二个量 的位置不能颠倒 易混淆二项式中的“项” “项的系数” “项的二项式系 数”等概念,注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含符 号,二项式系数仅指 (,) 对应学生用书起始页码 一、展开式中特定项或特定项系数的求法 求二项展开式
3、的特定项问题,实质是考查通项 的特点,一般需要建立方程求 ,再将 的值代回通项求解,注意 的取值范围(,) 常见题型及求解方法: ()求第 项:此时 ,直接代入通项; ()求常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂 指数为 建立方程; ()求有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方 法求解 ()在二项式 的展开式中,前三项的系数 成等差数列,展开式中的有理项是 ,二项式系 数最大的项是 () 的展开式的中间项是 ()在二项式() 的展开式中,系数最小的项的系数 是 解析 () 二项展开式的前三项的系数分别是 , , (), (
4、), 解得 或 (不合题意,舍去), () , 当 时,为有理项 且 , , 符合要求 故有理项有 项,分别是 , , , 展开式中共 项,中间一项即第 项的二项式系 数最大,且 () ( ) , 展开式的中间项为 ( ) () () 要使项的系数最小,则 必为奇数,且使 最大,由此得 ,从而可知系数最小项的系数为 () 答案 () , , ; () () 归纳总结 一般地: 当 为奇数时,() 的展开式的中间项是 和 ; 年高考年模拟 版(教师用书) 当 为偶数时,() 的展开式的中间项是 ( 天津理, 分) () 的展开式中 的 系数为 (用数字作答) 答案 解析 () () ,令 , 得
5、 ,所以 的系数为() 已知 的展开式中 的系数为 ,常数 的值为 答案 解析 () () , 令 ,得 ,依题意,得 () , 解得 若二项式 () ()的展开式中各项的系数 和为 ,则该展开式中含 项的系数为 答案 解析 令 ,得 () 的展开式中各项的系数和为 ,即 ,所以 () 的展开式的通项为 ( ) () ,令 ,得 ,所以该展开式中含 项的系数为 ( 课标全国改编, 分)() 的展开 式中,的系数为 答案 解析 () () 的展开式中只有 ( ) 中含 ,易知 的系数为 的展开式中系数最大的项是 答案 , 解析 的展开式的通项为 () () 要求系数最大的项,则有 () () ,
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