2020版数学人教B版选修2-1课件:第三章 3.2.3~3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量 .pptx
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1、3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量,第三章 3.2 直线的方向向量与直线的向量方程,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解斜线和平面所成的角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性. 2.会求直线与平面的夹角. 3.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角. 4.掌握求二面角的基本方法、步骤.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 直线与平面所成的角 1.直线与平面所成的角,90,0,射影,如图,AB,则图中,1,2之间的关系是 _,2.最小角定理,cos cos 1
2、cos 2,射影,最小的角,最小角定理,斜线和它在平面内的_所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中_,知识点二 二面角及理解 1.二面角的概念 (1)二面角的定义:平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面.从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.如图所示,其中,直线l叫做二面角的 ,每个半平面叫做二面角的 ,如图中的,.,两个半平面,棱,面,(2)二面角的记法:棱为l,两个面分别为,的二面角,记作l.如图,A,B,二面角也可以记作AlB,也可记作2l. (3)二面角的平面角:在二面角l的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OAl,OBl,则AOB叫做二面角l的平面
3、角,如图所示.由等角定理知,这个平面角与点O在l上的位置无关. (4)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角. (5)二面角的范围是0,180.,2.用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图,分别在二面角l的面,内,并沿,延伸的方向,作向量n1l,n2l,则_等于该二面角的平面角. (2)如图,设m1,m2,则角_与该二面角大小相等或互补.,n1,n2,m1,m2,1.直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互余.( ) 2.二面角的大小范围是 .( ) 3.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPA
4、NDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,例1 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.,题型一 求直线与平面的夹角,解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,,方法一 取A1B1的中点M,,则MC1AB,MC1AA1. 又ABAA1A, MC1平面ABB1A1. C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.,又直线与平面所成的角在0,90范围内, AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.,设侧面ABB1A1的法向量为n(,y,z),,yz0.故n(,0,0).,又直线与平面所成的角在0,90范围内, AC1与侧面ABB1
5、A1所成的角为30.,反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法,即先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算.,跟踪训练1 如图,在四棱锥PABCD中,底面为直角梯形,ADBC,BAD90,PA底面ABCD,且PAADAB2BC,M,N分别为PC,PB的中点,求BD与平面ADMN所成的角.,解 如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,设BC1, 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)则N(1,0,1),,设平面ADMN的法向量为n(x,y,z),,n(1,0
6、,1),,又090,30.,题型二 求二面角,例2 在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PAAB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角.,解 方法一 如图,以A为原点,分别以AC,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PAABa,ACb,连接BD与AC,交于点O,取AD中点F,连接EF,EO,FO,则C(b,0,0),B(0,a,0),D(b,a,0),P(0,0,a),,EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角.,平面EAC与平面ABCD的夹角为45. 方法二 建系如方法一, PA平面ABCD,,设平面AEC的法向量
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