2019-2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义:第一章 1.2 基本不等式 Word版含解析.doc
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1、12基本不等式 读教材填要点1定理1设a,bR,则a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立2定理2(基本不等式或平均值不等式)如果a,b为正数,则,当且仅当ab时,等号成立即:两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均3定理3(三个正数的算术几何平均值不等式)如果a,b,c为正数,则,当且仅当abc时,等号成立4定理4(一般形式的算术几何平均值不等式)如果a1,a2,an为n个正数,则 并且当且仅当a1a2an时,等号成立小问题大思维1在基本不等式中,为什么要求a,b(0,)? 提示:对于不等式,如果a,b中有两个或一个为0,虽然不等式仍成立,但是研究的意义不大,而且a,b至少有一
2、个为0时,不能称为几何平均(或等比中项),因此规定a,b(0,)2满足不等式成立的a,b,c的范围是什么?提示:a,b,c的范围为a0,b0,c0.利用基本不等式证明不等式例1已知a,b,c为正实数,且abc1求证:(ab)(bc)(ca)8.思路点拨本题考查基本不等式在证明不等式中的应用,解答本题需要分析不等式的特点,先对ab,bc,ca分别使用基本不等式,再把它们相乘精解详析a,b,c为正实数,ab20,bc20,ca20,由上面三式相乘可得(ab)(bc)(ca)88abc.即(ab)(bc)(ca)8.(1)用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之
3、具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明(2)本题证明过程中多次用到基本不等式,然后利用同向不等式的可加性得出所证的不等式1已知a,b(0,),求证:(ab)4.证明:a0,b0,ab20,当且仅当ab时取等号20,当且仅当,即ab时取等号,得(ab)224,当且仅当ab时取等号(ab)4.利用算术几何平均值不等式证明不等式例2(1)已知a,b,cR,求证:a2b2c226.(2)设a1,a2,a3均为正数,且a1a2a3m,求证:.思路点拨本题考查平均不等式的应用解答(1)题时可重复使用均值不等式,(2)题需要先观察求证式子的结构,然后通过变形转化为用平均不等
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