2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量的均值与方差正态分布教学案含解析.doc
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1、第六节离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲传真1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义1离散型随机变量的分布列、均值与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值:称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差:称D(X) xiE(X)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度
2、,其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a,b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)pD(X)p(1p)XB(n,p)E(X)npD(X)np(1p)4.正态分布(1)正态曲线的特点:曲线位于x轴上方,与x轴不相交;曲线是单峰的,它关于直线x对称;曲线在x处达到峰值;曲线与x轴之间的面积为1;当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移;当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散(2)正态分布的三个常用
3、数据P(X)0.682_6;P(2X2)0.954_4;P(3X3)0.997_4.1均值与方差的关系:D(X)E(X2)E2(X)2超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X).基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( )(2)若XN(,2),则,2分别表示正态分布的均值和方差( )(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小. ( )答案(1)(2)(3)(4)2
4、(教材改编)已知X的分布列为X101Pa设Y2X3,则E(Y)的值为( )A. B4 C1 D1A由概率分布列的性质可知:a1,a.E(X)(1)01.E(Y)32E(X)3.3已知随机变量X8,若XB(10,0.6),则随机变量的均值E()及方差D()分别是( )A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6B设随机变量X的均值及方差分别为E(X),D(X),因为XB(10,0.6),所以E(X)100.66,D(X)100.6(10.6)2.4,故E()E(8X)8E(X)2,D()D(8X)D(X)2.4,故选B.4已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)0.8,则P(04
5、)_.06由P(4)0.8,得P(4)0.2.又正态曲线关于x2对称则P(0)P(4)0.2,P(04)1P(0)P(4)0.6.5随机变量X的分布列为P(Xk),k1,2,3,C为常数,则P(0.5X2.5)_.由P(X1)P(X2)P(X3)1,得1,解得C.所以P(0.5X2.5)P(X1)P(X2).求离散型随机变量的均值、方差【例1】(1)(2017全国卷改编)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)( )A1.96 B1.98 C2 D2.02(2)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜,
6、一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响求甲获胜的概率;求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望(1)A依题意,XB(100,0.02),所以D(X)1000.02(10.02)1.96.(2)解设Ak,Bk分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”,则P(Ak),P(Bk),其中k1,2,3.记“甲获胜”为事件C,由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(C)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P()P()P(A2)P()P()P()P()P(A3).的所有可能取值为1,2,3,且P(1)P(A1)P(B1),P(2)P(A2)
7、P(B2),P(3)P().综上知,的分布列为123P所以E()123.规律方法求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.(2)求X取每个值时的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X). 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分(1)当a3,b2,c1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数若E(),D(
8、),求abc.解(1)由题意得2,3,4,5,6,故P(2),P(3),P(4),P(5),P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E(),D()222,化简得解得a3c,b2c,故abc321.均值与方差在决策中的应用【例2】根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流每年最高水位X(单位:米)的频率分布直方图如图:将河流最高水位落入各组的频率视为概率,并假设每年河流最高水位相互独立(1)求在未来三年里,至多有一年河流最高水位X27,31)的概率(结果用分数表示);(2)该河流对沿河A企业影响如下:当X23,27)时,不会造成影响;当X27,31)时,损失10
9、000元;当X31,35时,损失60 000元为减少损失,现有三种应对方案:方案一:防御35米的最高水位,每年需要工程费用3 800元;方案二:防御31米的最高水位,每年需要工程费用2 000元;方案三:不采取措施试比较上述三种方案,哪种方案好,并请说明理由解(1)由题意得P(27X31)0.25.设在未来3年里,河流最高水位x27,31)发生的年数为Y,则YN.设事件“在未来三年里,至多有一年河流最高水位X27,31)”为事件A,则P(A)P(Y0)P(Y1)CC2.所以在未来三年里,至多有一年河流最高水位X27,31)的概率为.(2)方案二好,理由如下:由题意得P(23X27)0.74,P
10、(31X35)0.01,用X1,X2,X3分别表示方案一、方案二、方案三的损失,由题意得X13 800,X2的分布列为X22 00062 000P0.990.01所以E(X2)62 0000.012 0000.992 600.X3的分布列为X3010 00060 000P0.740.250.01所以E(X3)00.7460 0000.0110 0000.253 100.因为三种方案中方案二的平均损失最小,所以采取方案二好规律方法利用均值、方差进行决策的两个方略(1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断.(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研
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