通用版2020版高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换学案理新人教A版.docx
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1、第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2:sin 2=.(2)公式C2:cos 2=.(3)公式T2:tan 2=.2.常用的部分三角公式 (1)1-cos =,1+cos =.(升幂公式)(2)1sin =.(升幂公式)(3)sin2=,cos2=,tan2=.(降幂公式)(4)sin =2tan21+tan22,cos =,tan =.(万能公式)(5)asin +bcos =,其中sin =ba2+b2,cos =aa2+b2.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式.(3)常数代
2、换:如1=sin2+cos2=tan4.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.常用结论半角公式:sin 2=1-cos2,cos 2=1+cos2,tan 2=1-cos1+cos=1-cossin=sin1+cos.题组一常识题1.教材改编 sin 15-3cos 15的值是.2.教材改编 已知f(x)=sin2x-12(xR),则f(x)的最小正周期是.3.教材改编 已知cos(+)=13,cos(-)=15,则tan tan 的值为.4.教材改编 已知sin =35,为第二象限角,则sin 2的值为.题组二常错题索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不
3、清致误;asin +bcos =a2+b2sin(+)中值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定).5.已知sin6-=13,则cos3-2=.6.已知,均为锐角,且tan =7,tan =43,则+=.7.sin -cos =2sin(+)中的=.8.已知sin 2=34,20,2,则sin -cos =.探究点一三角函数式的化简例1 2018东莞考前冲刺 化简:cos2x-12+sin2x+12=()A.1+12cos 2xB.1+12sin 2xC.1+cos 2xD.1+sin 2x(2)化简:tan +1tan4+2=()A.cos B.sin C.1cosD
4、.1sin总结反思 (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用.变式题 1+sin6+1-sin6=()A.2sin 3B.-2sin 3C.2cos 3D.-2cos 3探究点二三角函数式的求值角度1给值求值例2 (1)已知sin(-)cos -cos(-)sin =35,则cos 2的值为()A.725B.1825C.-725D.-1825(2)2018厦门外国语学校月考 已知tan +1tan=4,则cos2+4=()A.15B.14C.13D.12总结反思 给值求值是指已
5、知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.变式题 (1)2018菏泽模拟 已知32,2,sin2+=13,则tan(+2)=()A.427B.225C.427D.225(2)2018广州七校联考 若sin6-=13,则cos23+2的值为()A.-13B.-79C.13D.79角度2给角求值例3 2019重庆南州中学月考 2cos10sin70-tan 20=()A.1B.3-12C.3D.32总结反思 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,
6、最后得到具体的值.变式题 tan 70cos 10(3tan 20-1)=()A.1B.2C.-1D.-2角度3给值求角例4 若sin 2=55,sin(-)=1010,且4,32,则+的值是()A.74B.94C.54或74D.54或94总结反思 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:已知正切函数值,则选正切函数.已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,2,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,),则选余弦较好;若角的范围为-2,2,则选正弦较好.变式题 已知,(0,),且tan(-)=12,tan =-17,则2-的值为.探究点三三角恒等变换的综合应用例5
7、 已知函数f(x)=4cos xsinx-6+a的最大值为3.(1)求a的值及f(x)的单调递减区间;(2)若0,2,f2=115,求cos 的值.总结反思 (1)求三角函数解析式y=Asin(x+)(A0,0)时要注意的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.变式题 设函数f(x)=sin x+3cos x+1.(1)求函数f(x)的值域和单调递增区间;(2)当f()=135,且623时,求sin2+23的值.第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换考试说明 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的恒等变
8、换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)2sin cos (2)cos2-sin22cos2-11-2sin2(3)2tan1-tan22.(1)2sin222cos22(2)sin2cos22(3)1-cos221+cos221-cos21+cos2(4)1-tan221+tan222tan21-tan22(5)a2+b2sin(+)对点演练1.-2解析 sin 15-3cos 15=212sin 15-32cos 15=2(sin 30sin 15-cos 30cos 15)=-2cos(30+15)=-2cos 45=-2.
9、2.解析 f(x)=sin2x-12=-cos2x2,故f(x)的最小正周期T=22=.3.-14解析 由cos(+)=13,cos(-)=15,得coscos-sinsin=13,coscos+sinsin=15, 解得coscos=415,sinsin=-115, 所以tan tan =sinsincoscos=-14.4.-2425解析 sin =35,为第二象限角,cos =-45,sin 2=2sin cos =235-45=-2425.5.79解析 由题意知,cos3-2=1-2sin26-=1-29=79.6.34解析 tan(+)=tan+tan1-tantan=7+431-7
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