2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练:第7章 7.2 排 列 Word版含解析.doc
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1、72排_列第一课时排列与排列数公式及简单应用读教材填要点1排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列用符号A表示排列的个数时,有An(n1)(n2)(nm1)2排列数的相关公式n!123n,0!1.An(n1)(n2)(nm1).小问题大思维1北京上海,上海北京的车票是同一个排列吗?提示:由于北京上海、上海北京的车票都与顺序有关,所以不是同一个排列2如何判断一个具体问题是不是排列问题?提示:判断一个具体问题是不是排列问题,就是看从n个不同元素中取出m(mn)个元素时是有序还是无序,有序就是排列,无序就不是排列3你认为“排列
2、”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数排列的概念例1判断下列问题是否是排列问题:(1)某班共有50名同学,现要投票选举正、副班长各一人,共有多少种可能的选举结果?(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数,有多少不同对数值?(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?(4)从集合M1,2,9中,任取相异
3、的两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程1?解(1)是选出的2人,担任正、副班长任意,与顺序有关,所以该问题是排列问题(2)是显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系,与顺序有关(3)是任取两个数组成点的坐标,横、纵坐标的顺序不同,即为不同的坐标,与顺序有关(4)不是焦点在x轴上的椭圆,方程中的a、b必有ab,a、b的大小一定排列的特点是“先取后排”,即先从n个不同的元素中取出m个元素,再按一定顺序把这m个元素排成一列因此,判断一个问题是否为排列问题,只需考察与顺序是否有关,有关则是排列问题,无关则不是排列问题1判断下列问题是不是排列问题,并说明理由(1)从1,2,3,4四个
4、数字中,任选两个做加法,有多少种不同的结果?(2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法,有多少种不同的结果?(3)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法?若选出3个座位安排3位客人入座,又有多少种方法?解:(1)不是排列问题;(2)是排列问题理由:由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法时,与两元素的位置无关,但做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样,此时与位置有关,故做加法不是排列问题,做除法是排列问题(3)第一问不是,第二问是理由:由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法求结果时,与两个元素的位置无关,但列除法算式时,两个元素谁作除数,谁作被除数不一样,此
5、时与位置有关选出3个座位与顺序无关,“入座”问题同“排队”,与顺序有关,故选3个座位安排3位客人入座是排列问题用列举法求简单的排列问题例2(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数,一共可以组成多少个?(2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列解(1)由题意作“树形图”,如下故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个(2)由题意作“树形图”,如下故所有的排列为:abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb
6、,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.“树形图”是解决简单排列问题的有效方法,特别是元素较少时在具体操作中,先将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素在首位为分类标准,进行分类,在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素,依次一直进行到完成一个排列2写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法解:如图所示的树形图:故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种与排列数公式有关的计算或证明问题例3(1)计算;(2)求证:AmAA.解(1)1.(2)证明:AmAm
7、 A.若A(55n)(56n)(69n)(nN且n55),求q的值解:55n,56n,69n中的最大数为69n,且共有69n(55n)115个,(55n)(56n)(69n)A,p69n,q15.对排列数公式的理解应注意以下两点:(1)排列数公式中连乘积的特点是:第一个因数是n,后面每一个因数都比它前面一个因数少1,最后一个因数是nm1,共有m个因数相乘(2)一般来说,在直接进行具体计算时,选用连乘积形式较好;当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时,采用阶乘形式较好3(1)用A的形式表示(x2,xN);(2)解关于x的方程A140A.(3)解不等式:A6A.解:(1)(x1)x(x
8、1)A.(2)由A140A得(2x1)2x(2x1)(2x2)140x(x1)(x2),由题意知x3,所以可变形为(2x1)(2x1)35(x2),整理得4x235x690,解之得x13,x2(舍去),所以x3.(3)由排列数公式,得6,化简得1,即x219x840,所以7x12.又因为xN,0x8,0x28,所以26A.解:(1)法一:Ax(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)(x6)(x5)(x6)A,89.A0,(x5)(x6)90.故x4(舍去),x15.法二:由89,得A90A,即90.x!0,(x5)(x6)90.解得x4(舍去),x15.(2)原不等式即,由排列数定义知2x9,
9、xN.化简得(11x)(10x)6,x221x1040,即(x8)(x13)0,x13.又2x9,xN,2x8,xN.故x2,3,4,5,6,7.第二课时排列数的综合应用特殊元素(或位置)的排列问题例13名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端;(2)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端;(3)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端;(4)全体站成两排,前排3人,后排4人,其中女生甲和女生乙排在前排,另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排解(1)(特殊元素优先法)先考虑甲有A种方案,再考虑其余六人全排列,故NAA2 160(种
10、)(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A种方案,再安排其余5人全排列,故NAA240(种)(3)法一:(特殊元素优先法):按甲是否在最右端分两类:第一类甲在最右端有N1A(种),第二类甲不在最右端时,甲有A个位置可选,而乙也有A个位置,而其余全排列A,有N2AAA,故NN1N2AAAA3 720(种)法二:(间接法):无限制条件的排列数共有A,而甲在左端或乙在右端的排法都有A,且甲在左端且乙在右端的排法有A,故NA2AA3 720(种)法三:(特殊位置优先法):按最左端优先安排分步对于左端除甲外有A种排法,余下六个位置全排有A,但减去乙在最右端的排法AA种,故NAAAA3 720(种)(4)
11、将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置,男生丙、丁要排在后4个位置,因此先排女生甲、乙有A种方法,再排男生丙、丁有A种方法,最后把剩余的3名同学排好有A种方法故NAAA432(种)排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不能排在某个位置上或某个位置不排某些元素,解决该类问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置总的来说,解决这类问题有直接法和间接法两种,具体分析时可以按位置来分析,也可以先考虑特殊元素,各种方法可以相互验证1用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字?(1)六
12、位奇数;(2)个位数字不是5的六位数;(3)不大于4 310的四位偶数解:(1)第一步,排个位,有A种排法;第二步,排十万位,有A种排法;第三步,排其他位,有A种排法故共有AAA288个六位奇数(2)法一:(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类第一类,当个位排0时,有A个;第二类,当个位不排0时,有AAA个故符合题意的六位数共有AAAA504(个)法二:(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数,这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况故符合题意的六位数共有A2AA504(个)(3)分三种情况,具体如下:当千位上排1,3时,有AAA个当千位
13、上排2时,有AA个当千位上排4时,形如40,42的各有A个;形如41的有AA个;形如43的只有4 310和4 302这两个数故共有AAAAA2AAA2110(个)捆绑法处理相邻问题例23名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排,男、女各站在一起;(2)全体站成一排,男生必须排在一起;(3)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人解(1)男生必须站在一起,是男生的全排列,有A种排法,女生必须站在一起,是女生的全排列,有A种排法,全体男生、女生各视为一个元素,有A种排法,由分步乘法计数原理知,共有NAAA288(种)排法(2)把所有男生视为一个元素,与4名女生组
14、成5个元素全排列,故NAA720(种)(3)任取2人与甲、乙组成一个整体,与余下3个元素全排列,故N(AA)A960(种)保持例题条件不变,若全体站成一排,则男生甲与男生乙之间至少有3人的方法有多少种?解:甲、乙两人中间无人的排法种数N1AA1 440(种),甲、乙两人中间有1人的排法种数N2(AA)A1 200(种),甲、乙两人中间有2人的排法种数N3(AA)A960(种)故甲、乙两人中间至少有3人的排法种数NAN1N2N31 440(种)对于某些元素“相邻”的排列问题,一般采用“捆绑法”,即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再将这若干个元素内部全排列2张、王两家
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