2020版高考数学一轮复习课时规范练43空间几何中的向量方法理北师大版.doc
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1、课时规范练43空间几何中的向量方法基础巩固组1.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论:直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.42.两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.B.C.D.33.(2018辽宁本溪二模,7)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PD=,平面ABCD平面PAD,
2、M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是()A.B.C.D.4.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为()A.45B.135C.45或135D.905.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.6.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:APBC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.7.在
3、直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.综合提升组8.(2018安徽定远调研,10)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,中心为O,BF=BC,A1E=A1A,则四面体OEBF的体积为()A.B.C.D.9.设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记=.当APC为锐角时,的取值范围是.10.(2019四川成都一模,19)在如图所示的几何体中,EA平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,AD=AE=1,ABC=60,EFAC.(1)证明
4、:ABCF;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.11.(2018河北衡水模拟二,18)如图所示,CC1平面ABC,平面ABB1A1平面ABC,四边形ABB1A1为正方形,ABC=60,BC=CC1=AB=2,点E在棱BB1上.(1)若F为A1B1的中点,E为BB1的中点,证明:平面EC1F平面A1CB;(2)设=,是否存在,使得平面A1EC1平面A1EC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.12.(2018河北衡水中学适应性考试,18)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1C1CA为菱形,B1A1A=C1A1A=60,AC=4,AB=2,平面ACC1A1平面ABB1A1,Q在线段A
5、C上移动,P为棱AA1的中点.(1)若Q为线段AC的中点,H为BQ中点,延长AH交BC于D,求证:AD平面B1PQ;(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为,求点P到平面BQB1的距离.创新应用组13.(2018江西南昌七模,18)如图,四棱锥P-ABCD中,AB=AD=2BC=2,BCAD,ABAD,PBD为正三角形.若PA=2,且PA与底面ABCD所成角的正切值为.(1)证明:平面PAB平面PBC;(2)E是线段CD上一点,记=(01),是否存在实数,使二面角P-AE-C的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.14.(2018河南信阳二模,19)在三棱锥A-BCD中,A
6、B=AD=BD=2,BC=DC=,AC=2.(1)求证:BDAC;(2)点P为AC上一动点,设为直线BP与平面ACD所形成的角,求sin 的最大值.参考答案课时规范练43空间几何中的向量方法1.CDD1AA1,=(0,0,1),故正确;BC1AD1,=(0,1,1),故正确;直线AD平面ABB1A1,=(0,1,0),故正确;点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故错.2.B两平面的一个单位法向量n0=,故两平面间的距离d=|n0|=.3.D以O为原点,以、和为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.由题可知O(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(
7、-1,2,0),则=(0,0,2),=(-1,2,0),M是PC的中点,M-,1,1,=-,-1,1.设平面PCO的法向量n=(x,y,z),直线BM与平面PCO所成角为,则可取n=(2,1,0),sin =|cos|=.故选D.4.C两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角与相等或互补,cos=,故=45.故两平面所成的二面角为45或135,故选C.5.30如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面PAC的法
8、向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=.=60,直线BC与平面PAC所成角为90-60=30.6.证明 (1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),=(0,3,4)(-8,0,0)=0,即APBC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,=,又=(-4,-5,0),=+=,则=(0,3,4)=0,即APBM,又根据(1)的结论知APBC,AP平面BMC,于是AM平面BMC.又AM平面AMC,故
9、平面AMC平面BCM.7.(1)证明 连接AB1交A1B于点E,连接DE.可知E为AB1的中点,D是AC的中点,DEB1C.又DE平面A1BD,B1C平面A1BD,B1C平面A1BD.(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),即n=(3,0,1).故所求距离为d=.8.D如图所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则O, , ,B(1,1,0),E1,0, ,F,1,0,则|=,|=,|
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