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1、第 12 讲与相交有关概念及平行线的判定 考点方法破译 1了解在平面内,两条直线的两种位置关系:相交与平行. 2掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用 图形或几何符号表示它们. 3掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关 系. 经典考题赏析 【 例 1】如图,三条直线AB、CD、EF 相交于点O,一共构成哪 几对对顶角?一共构成哪几对邻补角? 【 解法指导 】 对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. 对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两 边的反向延长线. 邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线. 有 6 对对顶角 . 1
2、2对邻补角 . 【 变式题组 】 01如右图所示,直线AB、 CD、EF 相交于 P、Q、R,则: ARC的 对 顶 角 是 . 邻 补 角 是 .中有几对对顶角,几对邻补角? 02当两条直线相交于一点时,共有2 对对顶角; 当三条直线相交于一点时,共有6 对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有12 对对顶角 . 问: 当有 100 条直线相交于一点时共有对顶角 . 【 例 】如图所示,点O 是直线 AB 上一点, OE、OF 分别平分 BOC、 AOC 求 EOF 的度数; 写出 BOE 的余角及补角. 【 解法指导 】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的 定义,以及各角的数量关系,把
3、它们转化为代数式从而求解; 【 解】 OE、OF 平分 BOC、 AOC EOC 2 1 BOC, FOC 2 1 AOC EOF EOC FOC 2 1 BOC 2 1 AOC AOCBOC 2 1 又 BOC AOC180 EOF 2 1 180 90 BOE 的余角是: COF 、 AOF; BOE 的补角是:AOE. 【变式题组 】 01如图,已知直线AB、CD 相交于点O, OA 平分 EOC,且 EOC100, 则 BOD 的度数是() A20B 40C50D80 02 (杭州) 已知 1 2 362,则 4 . 【例 】如图,直线l1、l2相交于点O,A、B 分别是l1、l2上
4、的点,试用三角尺完成下列作图: 经过点A 画直线 l2的垂线 . 画出表示点B 到直线 l1的垂线 段. 【解法指导 】垂线是一条直线, 垂线段是一条线段. 【变式题组 】 01P 为直线 l 外一点, A、B、 C 是直线 l 上三点, 且 PA4cm, PB5cm,PC6cm,则点 P 到直线 l 的距离为() A4cmB5cmC 不大于 4cmD 不小于 6cm 02 如图,一辆汽车在直线形的公路AB 上由 A 向 B 行驶, M、 N 为位于公路两侧的村庄; 设汽车行驶到路AB 上点 P 的位置时距离村庄M 最近 .行 驶到 AB 上点 Q 的位置时, 距离村庄N 最近,请在图中的公路
5、 A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A A C D O (第 1 题图) 1 4 3 2 (第 2 题图) A B O l2 l1 上分别画出点P、Q 的位置 . 当汽车从A 出发向 B 行驶的过程中,在的路上距离M 村越 来越近 在 的路上距离村庄N 越来越近,而距离村庄越来越远 . 【 例 】如图,直线AB、CD 相交于点O, OECD,OF AB, DOF 65,求 BOE 和 AOC 的度数 . 【 解法指导 】图形的定义现可以作为判定图形的依 据,也可以作为该图形具备的性质,由图可得:AOF 90, OFAB 【 变式题组 】 0
6、1 如图,若 EOAB 于 O, 直线 CD 过点 O, EOD EOB 13, 求 AOC、 AOE 的度数 . 02 如图,O 为直线 AB 上一点,BOC3AOC, OC 平分 AOD 求 AOC 的度数; 试说明OD 与 AB 的位置关系 . 03如图,已知AB BC 于 B,DBEB 于 B,并且 CBE ABD12,请 作出 CBE 的对顶角,并求其度数. 【例 】如图,指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的, 并说出它们的名称: 1 和 2: 1 和 3: 1 和 6: 2 和 6: 2 和 4: 3 和 5: 3 和 4: 【解法指导 】正确辩认同位角、内错角、同旁
7、内角的思路是: 首先弄清所判断的是哪两个角,其次是找到这两个角公共边所在的 直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线,最后确 定它们的名称. 【变式题组 】 01如图, 平行直线AB、CD 与相交直线EF, GH 相交,图中的同旁内角共有() A4 对B8 对C 12 对 F B A O C D E C D B A E O B A C D O A B A E D C F E B A D 1 4 2 3 6 5 A B D C H E F D16 对 02如图,找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. 03如图,按各组角的位置判断错误的是() A 1 和 2 是同旁内角 B 3
8、和 4 是内错角 C 5 和 6 是同旁内角 D 5 和 7 是同旁内角 【 例 】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行?并说明理由? CBD ADB; BCD ADC180 ACD BAC 【 解法指导 】图中有即 即 有 同 旁内 角,有“”即有内错角. 【 解法指导 】由 CBD ADB,可推得ADBC;根据内错角相等,两 直线平行 . 由 BCD ADC180,可推得 AD BC;根据同旁内角互补,两直线平行. 由 ACD BAC 可推得 AB DC; 根据 内错角相等,两直线平行. 【变式题组 】 01如图,推理填空. A(已知) AC ED() C(已知) ACED () A(
9、已知) ABDF () 02如图, AD 平分 BAC,EF 平分 DEC,且 1 2,试说明DE 与 AB 的位置关系 . 解: AD 是 BAC 的平分线(已知) BAC21(角平分线定义) 又 EF 平分 DEC (已知) () 又 1 2(已知) () ABDE () 03如图,已知AE 平分 CAB,CE 平分 ACDCAE ACE 90,求证: ABCD 04如图,已知ABC ACB,BE 平分 ABC, CD 平分 ACB, EBF EFB ,求证: CD EF. 7 1 5 6 8 4 1 2 乙 丙 3 2 3 4 5 6 1 2 3 4 甲 1 A B C 2 3 4 5
10、6 7 A B C D O A B D E F C A B C D E A B C D E F 1 2 A B C D E F 【 例 】如图, 平面内有六条两两不平行的直线,试证: 在所有的交角中, 至 少 有 一 个 角小于 31. 【 解法指导 】如图, 我们可以将所有的直线移动后,使它们相交于同一点, 此时的图形为图. 证明:假设图中的12 个角中的每一个角都不小于31 则 1231 372 360 这与一周角等于360矛盾 所以这 12 个角中至少有一个角小于31 【 变式题组 】 01平面内有18 条两两不平行的直线,试证:在所有的交角中至少有一个角小 于 11. 02在同一平面内
11、有2010 条直线a1, a2, , a2010, 如果 a1a2, a2a3,a3a4, a4 a5那么 a1与 a2010的位置关系是 . 03已知n(n2)个点P1,P2,P3Pn. 在同一平面内没有任何三点在同一直 线上,设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数,显然: S21,S33,S46, S510则 Sn . 演练巩固反馈提高 01如图, EAC ADB 90. 下列说法正确的是() A的余角只有BB的邻补角是DAC C ACF 是 的余角D与 ACF 互补 02如图,已知直线AB、CD 被直线EF所截,则 EMB的同位角为 () A AMFB BMF C ENC
12、D END 03下列语句中正确的是() A在同一平面内,一条直线只有一条垂线 B过直线上一点的直线只有一条 C过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D垂线段就是点到直线的距离 04 如图,BAC90,ADBC 于 D,则下列结论中, 正确的个数有 () ABAC AD 与 AC 互相垂直点 C 到 AB 的垂线段是线段AB 线段 AB 的长度是点B 到 AC 的距离垂线段BA 是点 B 到 AC 的距离AD BD A0 B2 C4 D6 05点 A、B、C 是直线 l 上的三点,点P 是直线 l 外一点,且PA4cm,PB 5cm,PC6cm,则点 P 到直线 l 的距离是() A4
13、cmB5cmC小于 4cmD不大于4cm 06 将一副直角三角板按图所示的方法旋转(直角顶点重合) , 则 AOB DOC . l1 l2 l3 l4 l5 l6 图 l1 l2 l3l4 l5 l6 图 A E B C F D A B C D F E M N 第 1 题图第 2 题图 A B D C 第 4 题图 07如图,矩形ABCD 沿 EF 对折,且 DEF 72,则 AEG . 08在同一平面内,若直线a1a2, a2a3, a3a4, 则 a1a10. (a1与 a10 不重合) 09如图所示,直线a、 b 被直线 c 所截,现给出下列四个条件:1 5, 1 7, 2 3180,
14、4 7,其中能判断ab 的条件的 序号是 . 10在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11如图,已知BE 平分 ABD,DE 平分 CDB ,且 E ABE EDC试 说明 ABCD? 12如图,已知BE 平分 ABC,CF 平分 BCD, 1 2,那么直线AB 与 CD 的位置关系如何? 13如图,推理填空: A(已知) ACED () 2(已知) ACED () A180(已知) ABFD 14如图,请你填上一个适当的条件使 AD BC 培优升级奥赛检测 01平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是() A1, 3 B0, 1,3 C0,2,3 D0,1,2,3 02平面上有10 条直线
15、,其中4 条是互相平行的, 那么这 10 条直线最多能把平面分成()部分 . A60 B55 C 50 D45 03平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来的 A B C D O A B C D E F G H a b c 第 6 题图 第 7 题图第 9 题图 1 2 3 4 5 6 7 8 1 A C D E B A B C D E F 1 2 A B C D E F 第 14题图 A B C D E F A D 6 个点之外,这些直线最多还有()个交点 . A35 B40 C45 D 55 04 如 图 , 图 上 有6个 点 , 作 两 两 连 线 时 , 圆 内 最 多 有
16、_交点 . 05如图是某施工队一张破损的图纸,已知a、b 是一个角的两边,现在要在图 纸上画一条与这个角的平分线平行的直线,请你帮助这个施工队画出这条平 行线,并证明你的正确性. 06 平面上三条直线相互间的交点的个数是() A3 B1 或 3 C1 或 2 或 3 D不一定是1,2,3 07请你在平面上画出6 条直线(没有三条共点)使得它们中的每条直线都恰好 与另三条直线相交,并简单说明画法? 08平面上有10 条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31 个交点,怎么 安排才能办到? 09如图,在一个正方体的2 个面上画了两条对角线AB、 AC,那么两条对角线的夹角等于() A60B75
17、C 90 D135 10在同一平面内有9 条直线如何安排才能满足下面的两 个条件? 任意两条直线都有交点; 总共有29 个交点 . 第 13 讲平行线的性质及其应用 考点方法破译 1掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联 系; 2初步了解命题,命题的构成,真假命题、定理; 3灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直 线的位置关系,感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典考题赏析 【例 】如图,四边形 ABCD 中,ABCD, BCAD,A38, 求 C 的度数 . 【解法指导 】 两条直线平行,同位角相等; 两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行,
18、同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征,看 清截线,识别角的关系式关键. 【解】: ABCDBCAD A B180B C180 (两条直线平行,同旁内角互补) A C A38 C38 【变式题组 】 01如图,已知ADBC,点 E 在 BD 的延长线上,若ADE 155 ,则 DBC 的度数为() A155B50C45D25 3 2 1 l1 l2 (第 2 题图)(第 1 题图) E D C B A a b A B C 02 (安徽)如图,直线l1 l2, 155 , 265 ,则 3 为() A50B55C60D65 03如图,已知FC ABDE,
19、: D: B2: 3: 4, 试求 、 D、 B 的度数 . 【 例 】如图,已知ABCDEF, GCCF , B60 , EFC 45 , 求 BCG 的度数 . 【 解法指导 】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 分线相结合,可求各种位置的角的度数,但注意看清角的位置. 【 解 】 AB CD EF B BCD F FCD (两条直线平行,内错角相等)又 B60 EFC 45 BCD 60FCD 45又 GC CF GCF 90 (垂直定理) GCD90 45 45 BCG 60 45 15 【 变式题组 】 01如图,已知AF BC, 且 AF 平分 EAB , B48 ,则 C
20、的的度数 _ 02. 如图 , 已知 ABC ACB120, BO、CO 分别 ABC、ACB,DE 过点 O 与 BC 平行,则 BOC _ 03如图,已知AB MPCD, MN 平分 AMD , A 40, D50,求 NMP 的度数 . 【例 】如图,已知1 2, C D求证: A F. 【解法指导 】 因果转化,综合运用. 逆向思维:要证明A F,即要证明DF AC 要证明 DF AC, 即要证明 D DBC180, 即: C DBC180;要证明C DBC 180即要证明DB EC要证明 DBEC 即要 证明 1 3. 证明: 1 2, 2 3(对顶角相等)所以1 3 DBEC(同位
21、角相等?两直线平行) DBC C180(两直线 平行,同旁内角互补)C D DBC D 180 DF AC(同旁内角,互补两直线平行)A F(两直线平行,内 错角相等) 【变式题组 】 01如图,已知ACFG, 1 2,求证: DEFG 02如图,已知1 2180, 3 B求证: AED ACB A B C D O E F A E B C (第 1 题图) (第 2 题图) E A B D 1 2 C F (第 3 题图) E A F G D C B B A M C D N P (第 3 题图) C D A B E F 1 3 2 G 3 C A 1 D 2 E (第 1 题图) A 2 C
22、F 3 E D 1 B (第 2 题图) D A 2 E 1 B C B F E A C D 03如图,两平面镜、 的夹角 ,入射光线AO 平行 于 入射到 上,经两次反射后的出射光线O B平行 于 ,则角 等于 _. 【 例 】如图,已知EGBC, ADBC, 1 3. 求证: AD 平分 BAC 【 解法指导 】抓住题中给出的条件的目的,仔细分析 条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论 的条件,要准确把握住这些条件的意图. (题目中的: 1 3) 证明: EGBC,ADBC EGC ADC 90 (垂直定义)EGAD(同位角相等,两条直线平行) 1 3 3 BAD(两条直线平行,内
23、错角相等) AD 平分 BAC(角平分线定义) 【 变式题组 】 01如图,若AEBC 于 E, 1 2,求证: DCBC 02 如图,在 ABC 中, CEAB 于 E,DF AB 于 F, ACED , CE 平分 ACB求 证: EDF BDF. 3已知如图, AB CD, B40,CN 是 BCE 的平分线 . CMCN,求: BCM 的度数 . 【例 】已知,如图,ABEF ,求证: ABC BCF CFE 360 【解法指导 】从考虑360 这个特殊角入手展开联想,分析类比, 联想周角 .构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点 C 作 CDAB 即把已知条件ABEF 联系起
24、来, 这是关键 . 【证明】:过点 C 作 CDABCD AB 1 ABC180 (两直线平行,同旁内角互补) 又 ABEF, CD EF(平行 于同一条直线的两直线平行) 2 CFE 180 (两直线平行, 同旁内角互补) ABC 1 2 CFE 180 180 360 即 ABC BCF CFE 360 【变式题组 】 01如图,已知,ABCD,分别探究下面四个图形中APC 和 PAB、 PCD A D M C N E B O / O B 3 1 A B G D C E F E D 2 1 A B C P B CD A P 3 2 1 4 D E B C A F H D B C A F E
25、 B A B C A A l B C D B C A 的关系, 请你从所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性. 结论:_ _ _ _ 【 例 】如图,已知,ABCD,则 、 、 、 之间的关系是 180 【 解法指导 】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形,运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作 EH AB过点 F 作 FG AB ABEH 1(两直线平行,内错角相等)又FG AB EH FG(平行于同一条直线的 两直线平行)2 3 又 ABCDFG CD(平行于同一条直线的两 直线平行) 4180 (两直线平行,同旁内角互补) 1 3 412 4 180 【 变式题
26、组 】 01如图,ABEF , C90,则 、 、 的关系是() A B 180 C 90D 90 02如图,已知, ABCD,ABE 和 CDE 的平分线相交于点F,E140, 求 BFD 的度数 . 【例 】如图,平移三角形ABC,设点A 移动到点A / ,画出平移后的三角 形 A / B / C / . 【解法指导 】抓住平移作图的“四部曲”定,找,移,连. 定:确定平移的方向和距离. 找:找出图形的关键点. 移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对 应点 . 连 : 按原图形顺次连接对应点. 【解】连接 AA / 过点 B 作 AA / 的平行线l 在 l 截取 BB / AA
27、/ , 则点 B / 就是的 B 对应点,用同样的方法 作出点 C 的对应点C /. 连接 A/ B / ,B / C / ,C / A / 就得到平移后的三角形A / B / C / . 【变式题组 】 01如图,把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm,作出平移后的图形. 02如图 , 已知三角形ABC 中,C90 , BC 4,AC 4,现将 ABC 沿 CB 方向平移到A / B / C / 的位置,若平移距离为3, 求 ABC 与 A / B / C / 的重叠部分的面积. B B / A A / C C / B A P C A CCD A A P C B D P B P D
28、B D 西B 30 A 北 东 南 03原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的 距离,就得到此图形,求阴影部分的面积. (单位:厘米) 演练巩固反馈提高 01如图,由A 测 B 得方向是() A南偏东30B南偏东60 C北偏西30D北偏西60 02命题:对顶角相等;相等的角是对顶角;垂直于同一条直线的两直线 平行;平行于同一条直线的两直线垂直. 其中的真命题的有() A1 个B2 个C3 个D4 个 03一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相 同,两次拐弯的角度可能是() A第一次向左拐30 ,第二次向右拐30B第一次向右拐50 ,第
29、二次 向左拐 130 C第一次向左拐50 ,第二次向右拐130D第一次向左拐60 ,第二次 向左拐 120 04下列命题中,正确的是() A对顶角相等B 同位角相等C内错角相等D 同 旁内角互补 05学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是 通过折一张半透明的纸得到的 如图 从图中可知,小敏画平行线的依据有() 两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;同位角相等, 两直线平行;内错角相等,两直线平行. ABCD 06在 A、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从A 地测得 B 地的走向是南 偏东 52.现 A、B 两地要同时开工,若干天后,公路准确对接,则B
30、 地所 修公路的走向应该是() A北偏东52B南偏东52C西偏北52D北偏西38 07下列几种运动中属于平移的有() 水平运输带上的砖的运动;笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动(忽略 车轮的转动) ;升降机上下做机械运动;足球场上足球的运动. A1 种B2 种C 3 种D4 种 08如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置. 平移这个图案,使它 正好位于左上角的位置(不能出格) P. P. P.P. D 5 3 8 A F C B E 150 120 D B C E 湖 4 3 2 1 A B E F C D 4 P 2 3 1 A B E F C D 09观察图,哪个图是由图平移而得到的
31、() 10如图, AD BC,ABCD,AEBC,现将 ABE 进行平移 . 平移方向为射 线 AD 的方向 . 平移距离为线段BC 的长,则平移得到的三角形是图中() 图的阴影部分. 11判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例. 对顶角是相等的角;相等的角是对顶角; 两个锐角的和是钝角;同旁内角互补,两直线平行. 12把下列命题改写成“如果那么”的形式,并指出命题的真假. 互补的角是邻补角; 两个锐角的和是锐角; 直角都相等. 13如图,在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处A 120 ,第二个拐弯处B 150 ,第三个拐弯处C,这时道路CE 恰好和道路AD 平行,问 C 是
32、多 少度?并说明理由. 14如图,一条河流两岸是平行的,当小船行驶到河中E 点时,与两岸码头B、 D 成 64角 . 当小船行驶到河中F 点时,看 B 点和 D 点的视线FB 、FD 恰 好有 1 2,3 4 的关系 . 你能说出此时点F 与码头 B、D 所形成的 角 BFD 的度数吗? 15如图, ABCD, 1 2,试说明 E 和 F 的关系 . D E A B C E D B C E D A B C E D A B C E D A BC F E BA C G D 培优升级奥赛检测 01如图,等边 ABC 各边都被分成五等分,这样在 ABC 内能与 DEF完成重合的小三角形共有 25 个,
33、那么在ABC 内由 DEF 平移得到的三 角形共有()个 02如图, 一足球运动员在球场上点A 处看到足球从 B 点沿着 BO 方向匀速滚来,运动员立即从A 处 以匀速直线奔跑前去拦截足球. 若足球滚动的速 度与该运动员奔跑的速度相同,请标出运动员的平移方向及最快能截住足球 的位置 . (运动员奔跑于足球滚动视为点的平移) 03如图,长方体的长AB 4cm,宽 BC3cm, 高 AA12cm. 将 AC 平移到 A1C1的位置上 时,平移的距离是_,平移的方向 是 _. 04如图是图形的操作过程(五个矩形水平方向 的边长均为a,竖直方向的边长为b) ;将线 段 A1A2向右平移1 个单位得到B
34、1B2,得到 封闭图形A1A2B2B1 即阴影部分如图; 将折现 A1A2 A3向右平移1 个单位得到B1B2B3, 得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 即阴影部分如图; 在图中,请你类似地画出一条有两个折点的直线,同样的向右平移1 个 单位,从而得到1 个封闭图形,并画出阴影. 请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1 _, S2_, S3 _. 联想与探究:如图,在一矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路在 任 何 地 方 的 水 平 宽 度 都 是1 个 单 位 ) , 请 你 猜 想 空 白 部 分 草 地 面 积 是 多少? 05一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进一半,然后原地逆时
35、针旋转 ( 0 180 ) , 被称为一次操作, 若 5次后发现赛车回到出发点,则 角为 () A720B108或 144C144D 720 或 144 06两条直线a、b 互相平行,直线a 上顺次有10 个点 A1、A2、 A10,直线 b上顺次有 10 个点 B1、 B2、 B9,将 a 上每一点与b上每 一点相连可得线段. 若没有三条线段相交于同一点,则这些选段的交点 个数是() A90 B1620 C6480 D2006 07如图,已知AB CD, B100 ,EF 平分 BEC, EGEF . 求 BEG 和 DEG . 08 如图,ABCD, BAE 30 , DCE 60 , E
36、F、EG 三等分 AEC问: EF 与 EG 中有没有 F E B A C G D 100 A2 B2 A3 B3 B4A4 A1B1 草地 草地 A1 B2 B1 A2B2 A1 B1 A3B3 A2 C B1 A A1 C1 D1 B D . B . O . A F A D E C B B D C F A E 与 AB 平行的直线?为什么? 09如图,已知直线CBOA, C OAB100 ,E、F 在 CB 上,且满足 FOB AOB, OE 平分 COF . 求 EOB 的度数; 若平行移动AB,那么 OBC: OFC 的值是否随之发生变化?若变化, 找出变化规律;若不变,求出这个比值.
37、 在平行移动AB 的过程中,是否存在某种情况,使OEC OBA?若存 在,求出其度数;若不存在,说明理由. 10平面上有5 条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5 条直线两两相交所 成的角中,至少有一个角不超过36 , 请说明理由 . 11如图, 正方形 ABCD 的边长为5, 把它的对角线AC 分成 n 段,以每一小段为 对角线作小正方形,这n 个小正方形的周长之和为多少? 12如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起,用添补法如 何求出阴影部分面积? 第 06 讲实数 考点方法破译 1平方根与立方根: 若 2 xa(a 0)则 x 叫做 a 的平方根,记 为: a 的平方
38、根为xa,其中 a 的平方根为xa叫做 a 的算术平方根 若 x 3a,则 x 叫做 a 的立方根记为: a 的立方根为x 3 a 2无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数实数与数轴上 的点一一对应任何有理数都可以表示为分数 p q (p、q是两个互质的整数,且q 0)的形式 3 非负数: 实数的绝对值,实数的偶次幂,非负数的算术平方根(或偶次方根)都是非 负数即a0, 2n a0(n 为正整数),a0(a0) 经典考题赏析 【例 1】若 2m4 与 3m1 是同一个数的平方根,求m 的值 【解法指导】 一个正数的平方根有两个,并且这两个数互为相反数2m - 4 与 3m- l 是同
39、一个数的平方根,2m- 4 3m- l0,5m5,ml 【变式题组】 FE B A C O A B CD 01一个数的立方根与它的算术平方根相等,则这个数是_ 02已知 m 是小于152的最大整数,则m 的平方根是 _ 039的立方根是 _ 04如图,有一个数值转化器,当输入的x 为 64 时,输出的y 是_ 【例2 】 (全国竞赛) 已知非零实数a 、b满足 2 242342ababa,则 ab 等于 ( ) A 1 B 0 C1 D 2 【解法指导】若 2 3ab有意义, a、b 为非零实数,b 20a30 a3 2 242342ababa 2 242342ababa, 2 230bab
40、2 20 30 b ab , 3 2 a b ,故选 C 【变式题组】 0l在实数范围内,等式223aab0 成立,则 a b _ 02若 2 930ab,则 a b 的平方根是 _ 03 (天津)若x、y 为实数,且220xy,则 2009 x y 的值为() A1 B 1 C 2 D 2 04已知 x 是实数,则 1x xx的值是 ( ) A 1 1B 1 1C 1 1D无法确定 【例 3】若 a、b都为有理效,且满足12 3abb求 ab 的平方 根 【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)还是有理数, 但 两 个 无 理 数 的 和 、 差 、 积 、 商 ( 除 数
41、不 为0) 不 一 定 是 无 理 数 12 3abb, 1 2 3 ab b 即 1 12 ab b , 13 12 a b , a b12 1325 ab 的平方根为:255ab 【变式题组】 01 (西安市竞赛题)已知m、n 是有理数,且(52)m (325)n70 求 m、n 02(希望杯试题) 设 x、 y 都是有理数, 且满足方程 ( 1 23 ) x ( 1 32 ) y-4- 0,则 x- y_ 输入 x 取算术平方根输出 y 是无理数 是有理数 【例 4】若 a 为17- 2 的整数部分, b- 1 是 9 的平方根,且abba,求 a b 的值 【解法指导】 一个实数由小数
42、部分与整数部分组成,17- 2整数部分小 数部分整数部分估算可得2,则小数部分17-2 -217- 4a2,b- 1 3 , b2 或 4 abba aaBab C abDba 06现有四个无理数5,6,7,8,其中在21 与31 之间的有 ( ) A 1 个B2个C 3 个D 4 个 07设 m 是9的平方根, n 2 3则 m,n 的关系是 ( ) A. mnB.mnC .mnD.mn 08 (烟台)如图,数轴上A、B 两点表示的数分别为1 和3,点 B 关于点 A 的对称点C,则点 C 所表示的数为( ) A 23B 13C 2 3Dl 3 09点 A 在数轴上和原点相距5个单位,点B
43、在数轴上和原点相距3 个单位, 且点 B 在点 A 左边,则A、B 之间的距离为_ 10用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数:1, 1 2 , 1 3 , 1 19 , 1 20 如果从中选出若干个数,使它的和大于3,那么至少要选_个数 11对于任意不相等的两个数a、b,定义一种运算如下:ab ab ab ,如 32 32 32 5那么 12.4_ 12 (长沙中考题)已知a、b 为两个连续整数,且a7b,则 ab_ 13对实数a、b,定义运算“* ” ,如下 a*b 2 2 a bab aba b ,已知 3*m36, 则实数 m_ 14设 a 是大于 1 的实数 若 a, 2 3 a , 21 3 a 在数轴上对应的点分别是A、B、 C,则三点在数轴上从左自右的顺序是_ 15.如图,直径为1 的圆与数轴有唯一的公共点P点 P 表示的实数为1如果 该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P , 那么点 P 所表示的数是 _ 16已知整数x、y 满足x2y50,求 x、y 17已知 2a- 1 的平方根是3,3ab- 1 的算术平
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