2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义:专题四 第二讲 数列求和及综合应用.docx
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1、第二讲数列求和及综合应用高考考点考点解读求数列的通项公式1.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式;已知等差(比)的某些项或前几项的和,求其通项公式2考查等差(比)数列的概念以及通项公式、前n项和公式等求数列的前n项和1.以等差(比)数列为命题背景,考查等差(比)的前n项和公式、分组求和2以递推数列、等差(比)数列为命题背景,考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法与数列的和有关的综合应用1.等差(比)数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和2常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面:(1)加强对递推数列概
2、念及解析式的理解,掌握递推数列给出数列的方法(2)掌握等差(比)数列求和公式及方法(3)掌握数列分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法(4)掌握与数列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略预测2020年命题热点为:(1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和,求该数列的通项公式(2)已知某数列的递推式或某项的值,求该数列的和(3)已知某个不等式成立,求某参数的值证明某个不等式成立Z 1分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法,其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列2裂项相消法:将数列的通项分成两个代数式子的差,即anf(n1)f
3、(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法形如(其中an是公差d0且各项均不为0的等差数列,c为常数)的数列等3错位相减法:形如anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)的数列求和,一般分三步:巧拆分;构差式;求和4倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法,一般步骤:求通项公式;定和值;倒序相加;求和;回顾反思附:(1)常见的拆项公式(其中nN*).()().若等差数列an的公差为d,则();().()(2)公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式,如123n;135(2n1)n2;122232n2n(n1)(2n1)Y 1公比为字母的等比数列求和时,注意公比是
4、否为1的分类讨论2错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项3裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项4裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性1(2017全国卷,3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( B )A1盏B3盏C5盏D9盏解析设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则由题意知S7381,q2,S7381,解得a13.故选B2(2017全国卷,12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件为激发大家学
5、习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依次类推求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是( A )A440 B330 C220 D110解析设首项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为.由题意知,N100,令100n14且nN*,即N出现在第13组之后第n组的各项和为2n1,前n组所有
6、项的和为n2n12n.设N是第n1组的第k项,若要使前N项和为2的整数幂,则N项的和即第n1组的前k项的和2k1应与2n互为相反数,即2k12n(kN*,n14),klog2(n3)n最小为29,此时k5,则N5440.故选A3(2018江苏卷,14)已知集合Ax|x2n1,nN*,Bx|x2n,nN*将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an记Sn为数列an的前n项和,则使得Sn12an1成立的n的最小值为27.解析B2,4,8,16,32,64,128,与A相比,元素间隔大,所以从Sn中加了几个B中元素考虑,1个:n112 S23,12a3362个:n224 S410,12a5603
7、个:n437 S730,12a81084个:n8412 S1294,12a132045个:n16521 S21318,12a223966个:n32638 S381 150,12a39780发现21n38时Sn12an1与0的大小关系发生变化,以下采用二分法查找:S30687,12a31612,所以所求n应在2229之间,S25462,12a26492,所以所求n应在2529之间,S27546,12a28540,所以所求n应在2527之间,S26503,12a27516,因为S2712a28,而S2612an1成立的n的最小值为27.4(2017全国卷,15)等差数列an的前n项和Sn,a33,
8、S410,则.解析设等差数列an的公差为d,则由得Snn11,2()2(1)2(1).5(2018全国卷,17)等比数列中,a11,a54a3.(1)求an的通项公式(2)记Sn为an的前n项和若Sm63,求m.解析(1)设an的公比为q,由题设得anqn1.由已知得q44q2,解得q0(舍去),q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1,则Sn.由Sm63得(2)m188,此方程没有正整数解若an2n1,则Sn2n1.由Sm63得2m64,解得m6.综上,m6.6(2018北京卷,15)设an是等差数列,且a1ln 2,a2a35ln 2.(1)求an的通项公式(2)求
9、ea1ea2ean.解析(1)由已知,设an的公差为d,则a2a3a1da12d2a13d5ln 2,又a1ln 2,所以dln 2,所以an的通项公式为anln 2(n1)ln 2nln 2(nN*)(2)由(1)及已知,eanenln 2(eln 2)n2n,所以ea1ea2ean21222n2n12(nN*) 例1 (1)已知正项数列an满足a11,(n2)a(n1)aanan10,则它的通项公式为( B )AanBanCan Dann解析由(n2)a(n1)aanan10,得(n2)an1(n1)an(an1an)0,又an0,所以(n2)an1(n1)an,即,an1an,所以ana
10、1a1(n2),所以an(n1适合),于是所求通项公式为an.(2)(2017厦门二模)若数列an的前n项和为Snan,则数列an的通项公式为( B )Aan2n1 Ban(2)n1Can(2)n Dan2n解析由anSnSn1(n2),得ananan1.所以an2an1.又可以得到a11,所以an(2)n1(n2)又a1(2)111,所以an(2)n1.规律总结求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法(2)已知Sn与an的关系,利用an求an.(3)累加法:数列递推关系形如an1anf(n),其中数列f(n)前n项和可求,这种类型的
11、数列求通项公式时,常用累加法(叠加法)(4)累乘法:数列递推关系形如an1g(n)an,其中数列g(n)前n项可求积,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)(5)构造法:递推关系形如an1panq(p,q为常数)可化为an1p(an)(p1)的形式,利用an是以p为公比的等比数列求解;递推关系形如an1(p为非零常数)可化为的形式G 1若数列an满足a10,2an1anan1(n2,nN*),则a2019.解析当n2时,因为2an1anan1,所以(1an1)(1an)1anan1anan1,所以(1an1)(1an)(1an)(1an1),所以1,因为a10,所以1,所以是首项为1,公差为
12、1的等差数列,所以1(n1)n,所以2019,解得a2019.2设数列an满足a11,且an1ann1(nN*),则数列前10项的和为.解析由a11,且an1ann1(nN*)得,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n,则2(),故数列前10项的和S102(1)2(1).(一)分组转化法求和 例2 设数列an满足a12,a2a48,且对任意nN*,函数f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx满足f ()0.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn2(an),求数列bn的前n项和Sn.解析(1)由题设可得f (x)anan1an2an1sinxan2cosx.对
13、任意nN*,f ()anan1an2an10,即an1anan2an1,故an为等差数列由a12,a2a48,解得an的公差d1,所以an21(n1)n1.(2)因为bn2(an)2(n1)2n2,所以Snb1b2bn(222)2(12n)()2n2n23n1.(二)裂项相消法求和 例3 (2017全国卷,17)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和解析(1)因为a13a2(2n1)an2n,故当n2时,a13a2(2n3)an12(n1),两式相减得(2n1)an2,所以an(n2)又由题设可得a12,满足上式,所以an的通项公式为an.(
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