空间向量知识点归纳总结(经典).pdf
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1、学习必备欢迎下载 空间向量与立体几何知识点归纳总结 一知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注: (1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 OBOAABab;BAOAOBab; ()OPaR 运算律:加法交换律: abba 加法结合律:)()(cbacba 数乘分配律: baba)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合
2、,那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量,a平行于b,记作ba /。 (2)共线向量定理: 空间任意两个向量a、b(b0) ,a/b存在实数 ,使a b。 (3)三点共线: A、B、C 三点共线 ACAB ) 1(yxOByOAxOC其中 (4)与a共线的单位向量为 a a 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量 ,a b不共线,p与向量,a b共面的条件是存在实数 , x y使pxayb。 (3)四点共面:若A、B、C、P 四点共面 ACyABxAP )1(zyxOCzOByOAxOP其
3、中 5. 空间向量基本定理:如果三个向量 , ,a b c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存 在一个唯一的有序实数组, ,x y z,使pxaybzc。 学习必备欢迎下载 若三向量, ,ab c不共面,我们把 , , a b c叫做空间的一个基底, ,a b c 叫做基向量, 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设,O A B C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数 , ,x y z,使OPxOAyOBzOC。 6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 Oxyz中,对空间任一点 A,存在唯一的有序实数组 (
4、, , )x y z , 使zkyixiOA,有序实数组( , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标, 记作( , , )A x y z,x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。 注:点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为 (x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为 (x,y,-z). 即点关于什么轴 /平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为 (0,y,0),在平面 yOz中的点设为 (0,y,z) (2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底, 用 , , i j k表示。空间中任一向量kzjyi xa=(x,
5、y,z) (3)空间向量的直角坐标运算律: 若 123 (,)aa aa, 123 ( ,)bb b b,则 112233 (,)abab ab ab, 112233 (,)abab ab ab, 123 (,)()aaaaR, 1 1223 3 a ba ba ba b, 112233 /,()abab ab abR, 1 12233 0aba ba ba b。 若 111 (,)A xy z, 222 (,)B xyz,则 212121 (,)ABxxyyzz。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标。 定 比 分 点公 式 : 若 111 (,
6、)A xy z, 222 (,)B xyz,PBAP, 则 点 P 坐 标 为 ) 1 , 1 , 1 ( 212121 zzyyxx 。推导:设P(x,y,z)则 ),(),( 22211, 1 zzyyxxzzyyxx ,显然,当 P 为 AB 中点 学习必备欢迎下载 时, ) 2 , 2 , 2 ( 212121 zzyyxx P ),(),(, 333222111 zyxCzyxB)zy,A(xABC中,三角形重心P 坐标 为 ) 2 , 2 , 3 ( 321321321 zzzyyyxxx P ABC的五心: 内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点。 )( AC AC AB AB
7、AP (单位向量) 外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。 PCPBPA 垂心 P:高的交点: PCPBPCPAPBPA (移项,内积为0,则垂直) 重心 P:中线的交点,三等分点(中位线比) )( 3 1 ACABAP 中心:正三角形的所有心的合一。 (4)模长公式:若 123 (,)aa a a, 123 ( ,)bb b b, 则 222 123 |aa aaaa, 222 123|bb bbbb (5)夹角公式: 1 12233 222222 123123 cos | | aba ba ba b a b ab aaabbb 。 ABC中0ACABA为锐角0ACABA为钝角,钝角 (6)
8、两点间的距离公式:若 111 (,)A xy z, 222 (,)B xyz, 则 2 222 212121 |()()()ABABxxyyzz, 或 222 ,212121 ()()() A B dxxyyzz 7. 空间向量的数量积。 (1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 ,a b,在空间任取一点O,作 ,OAa OBb , 则AOB叫 做 向 量a与b的 夹 角 , 记 作,a b; 且 规 定 0,a b , 显然有 ,a bb a ; 若 , 2 a b, 则称a与b互相垂直,记作:ab。 (2)向量的模: 设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模, 记作:|a。
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