第4讲--利用轴对称破解最短路径问题..pdf
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1、第一章平移、对称与旋转 第 4 讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与 作图转化为“两点之间,线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题(对称背景图)中有关最短路径(线段之差最大值)问题借 助轴对称转化为两点之间,线段最短问题分析与求解。 二、基础知识轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离,我们有下面几个相应的结论: (1)在连接两点的所有线中,线段最短(两点之间,线段最短); (2)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; (3)在三角形中,大角对大边,小角对小边。 (4)垂直平分线上
2、的点到线段两端点的距离相等; 【精讲 】一般说来,线段和最短的问题,往往把几条线段连接成一条线段,利用“两点 之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明,关键是找相关点关于直线的 对称点实现“折”转“直”。另外,在平移线段的时候,一般要用到平行四边形的判定和性 质。 (判定: 如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形;性质: 平行四边形的对边相等。) 三、重难疑点轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题,自然离不开构建与转化“两点之间,线段最短”的 数学公理, 通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点,从而运用两点之间,线 段最短解决实际
3、问题在日常生活、工作中,经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路 径问题”的原型来自于“饮马问题”、 “造桥选址问题” ,出题通常以直线、角、等腰(边) 三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 (1) “一线同侧两点”问题 例 1 如图,点A、B在直线 m的同侧,点B是点 B关于 m的对称点, AB 交 m于点 P (1)AB 与 AP+PB相等吗?为什么? (2)在 m上再取一点N,并连接 AN与 NB ,比较 AN+NB 与 AP+PB的大小,并说明理由 解析: ( 1)点 B是点 B关于 m的对称点, PB=PB , AB =AP+PB , AB =AP+PB (2)如图:连接A
4、N,BN ,BN, AB =AP+PB , AN+NB=AN+NB AB, AN+NB AP+PB 点评:两条线段之和最短,往往利用对称的思想,把两条线段的和变为一条线段来研究, 利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力,关键是利 用轴对称、“两点之间,线段最短”及三角形三边的关系等 变式 1 需要在高速公路旁边修建一个飞机场,使飞机场 到 A,B两个城市的距离之和最小,请作出机场的位置 (2) “两点两线(平行) ”问题 例 2 如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座小桥,桥的方向与河 流垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从A到 B的距
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