全国高中数学联赛试题及详细解析.pdf
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1、2012年全国高中数学联赛 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共 64分把答案填在题中的横线上 1. 设P是函数 2 yx x (0x)的图 像上任意一点,过点P分别向 直线yx和y轴作垂线,垂足分别为,A B,则PA PB的值是 _. 6. 设( )f x是定义在 R上的奇函数,且当0x 时,( )fxx 若对任意的 ,2xa a, 不等式()2 ( )f xaf x恒成立,则实数a的取值范围是_. 7满 足 11 sin 43n 的所有正整数n的和是 _. 8某情报站有,A B C D四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从 上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种
2、设第1周使用种密码,那么第7周也使 用A种密码的概率是_. (用最简分数表示) 二、 解答题:本大题共小题,共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤 9(本小题满分16分)已知函数 131 ( )sincos2,0 22 fxaxxaaR a a (1)若对任意 xR,都有 ( )0f x,求a的取值范围; (2)若 2a ,且存在 xR,使 得( )0f x ,求a的取值范围 10(本小题满分分)已知数列 n a的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n, 都有 2333 1212 () nn aaaaaa (1)当3n时,求所有满足条件的三项组成的数列 123 ,a aa; (2)是否存在
3、满足条件的无穷数列 n a,使得 2013 2012?a若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由 11(本小题满分 20分) 如图 5,在平面直角坐标系XOY中,菱形ABCD的边长为4,且6OBOD (1)求证:| |OAOC为定值; (2)当点 A在半 圆 22 (2)4xy(24x)上运动时,求 点C的轨迹 三、(本题满分50 分) 设 012 , n P P PP是平面上1n个点,它们两两间的距离的最小值为(0)d d 求证: 01020 ()(1)! 3 n n d P PP PP Pn 四、(本题满分50 分) 设 11 1 2 n S n ,n是正整数证明:对
4、满足01ab的任意实数,a b,数列 nn SS中有无穷多项属于( , )a b这里, x表示不超过实数x的最大整数 来源 :21 世纪教育网 2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题:本大题共小题,每小题分,共分把答案填在题中的横线上 设P是函数 2 yx x (0x)的图像上任意一点,过点P分别向直线yx和y 轴作垂线,垂 足分别为,A B,则PA PB的值是 设ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,且满足 3 coscos 5 aBbAc, 则 tan tan A B 的值是 . 【答案】 4 来源 :21 世纪教育网
5、 设, ,0,1x y z,则|Mxyyzzx的最大值 是 . 【答案】2121 世纪教育网 【解析】 不妨设01,xyz则.Myxzyzx 因为2()()2().yxzyyxzyzx 所以2()(21)21.Mzxzxzx 当且仅当 1 ,0,1, 2 yxzy xzy时上式等号同时成立. 故 max 21.M 4. 抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F,准线为,,A B是抛物线上的两个动点,且满足 3 AFB设线段的中点M在上的投影为N,则 | | MN AB 的最大值 是 . 【答案】 121 世纪教育网 【解析】 由抛物线的定义及梯形的中位线定理得. 2 AFBF MN 在AFB中
6、, 由余弦定理得 222 2cos 3 ABAFBFAFBF 2 ()3AFBFAFBF 22 ()3() 2 AFBF AFBF 2 2 (). 2 AFBF MN 当且仅当 AFBF 时等号成立 . 故 MN AB 的最大值为 1. 5设同底的两个正三棱锥 PABC和QABC内接于同一个球 若正三棱锥PABC的 侧面与底面所成的角为45,则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值 是 6. 设( )f x是定义在 R上的奇函数, 且当0x 时,( )f xx 若对任意的 ,2xa a, 不等式()2 ( )f xaf x恒成立,则实数a的取值范围是 【答案】2,). 满足 11 sin
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