最新苏教版六年级上册数学单元期末复习-七整理与复习.pdf
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1、一长方体和正方体 一、长方体的认识 1. 认识长方体的面、棱、顶点。 (1)从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只 能同时观察到长方体的三个面。 (2)长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相 交的点叫作长方体的顶点。 2. 长方体的特征。 长方体是由6 个长方形 (也可能有2 个相对的面是 正方形 )围成的立体图形,它有 6 个面、 12 条棱和 8 个顶 点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度 相等。 3. 长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度 , 分别叫作 它的长、宽、高。 4. 长方体的
2、长、 宽、高不是固定不变的,它与长方体 的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中, 通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直 方向的一条棱叫作它的高。 二、正方体的认识 1. 正方体也叫立方体。它是由 6个完全相同的正方 形围成的立体图形。 它的 6 个面是完全相同的正方形,12 条棱的长度都相等,有 8 个顶点。 2. 正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。 3. 长方体和正方体的特征的异同。 相同点 :都有 6 个面、 12 条棱、 8 个顶点 ,相对的 面完全相同 ,相对的棱长度相等。 不同点 :长方体的6 个面都是长方形(也可能有 2 个相对的面是正方形);一般情况下
3、 ,棱有 3 组,每组 4 条棱 长度相等。正方体的6 个面是完全相同的正方形;每条棱 的长度都相等。 三、正方体、长方体的展开图 1. 把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。 正方体的展开图是由6 个完全相同的正方形组成 的,可以通过观察、折叠找到3 组相对的面。 2. 沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有3 组相 对的面 ,相对的面完全相同 , 相对的面完全隔开。 易错点 :误认为一个长方体中 最多有 4条相等的棱。 这是错误的 , 一定要注意长方体的6 个面不一 定都是长方形,也可能有2 个相对 的面是正方形。 当长方体有2 个相 对的面是正方形时,就有 8 条棱长 度相等。 直观图中的
4、实线表示从某个 角度能够看到的棱,虚线表示看不 到的棱。 长方体 12 条棱的长度和叫作 长方体的棱长总和。长方体的棱长 总和 =(长+宽+高 )4 。 易错点 :误认为有6 个面、 12 条棱、 8 个顶点的立体图形不是长 方体就是正方体。这是不正确的, 一定要注意有6 个面、 12 条棱、 8 个顶点并不代表它就是长方体或 正方体 ,要看它是否具备长方体或 正方体的所有特征,如下图 ,这个立 体图形既不是长方体,也不是正方 体。 正方体的棱长总和:棱长 12。 正方体具有长方体的一切特 征,正方体是特殊的长方体。 同一个立体图形,沿不同的棱 剪开 ,得到的展开图不同。 技巧 : 3. 沿着
5、正方体 (或长方体 )的棱将它剪开,可以把正 方体 (或长方体 )展开成一个平面图形,这个平面图形就 是正方体 (或长方体 )的展开图。在展开图中,正方体的6 个面完全相同 (长方体相对的面完全相同),相对的面完 全隔开。 四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法 1. 表面积的意义:长方体 ( 或正方体 ) 6 个面的总面积 , 叫作它的表面积。 2. 长方体和正方体表面积的计算方法。 (1)长方体的表面积 = 长 宽 2+ 长 高 2+ 宽 高 2= ( 长 宽 + 长 高 + 宽 高 ) 2 。 如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示 长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算
6、公式是 S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)2。 (2)正方体的表面积 = 棱长 棱长 6 。 如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长 ,那么 正方体表面积的计算公式是S=6a 2。 五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实 际问题 1. 求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是 要根据实际情况确定好求几个面的面积和。 2. 在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都 有 6 个面 ,如长方体的鱼缸只有5 个面 ,通风管只有4 个 面。因此 ,在计算时要根据实际情况解题。 六、体积和容积的意义 1. 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2. 能盛装其他物体的都可以称为容
7、器,不能盛装其 他物体的都不是容器。 3. 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 4. 有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一 定有容积。 七、体积单位 正方体有6 个相同的面 ,可以 通过观察、折叠找到3 组相对的 面。 长方体有3 组相对的面 ,可以 通过看是否完全隔开,完全隔开的 一组面就是相对的两个面。 当所求的长方体的表面积是6 个面的面积时,先分别求出每组相 对的面中一个面的面积,相加后再 乘 2 较简便。 举例 :大厅里有 8 根高为 5 米 的方柱需要涂油漆,方柱的横截面 是边长为0.5 米的正方形 ,若 1 千 克油漆可以涂5 平方米 ,则涂这 8 根方柱需要多少千克油
8、漆? 错 解:(0.5 0.5 2+0.5 54)8 51=16.8 (千克 ) 答:涂这 8 根方柱需要16.8 千 克油漆。 正 解:0.5 5 4 8 5 1=16(千克 ) 答:涂这 8 根方柱需要16 千克 油漆。 一个容器容积的大小与它所 能盛装物体的多少有关。因为容器 都有一定的厚度,所以一个容器的 体积一般大于它的容积。 1. 棱长是 1 厘米的正方体,体积是 1 立方厘米。 2. 棱长是 1 分米的正方体,体积是 1 立方分米。 3. 棱长是 1 米的正方体 ,体积是 1 立方米。 4. 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米 , 用字母表示分别是 cm 3 、 dm 3
9、 和 m 3 。 八、容积单位 1. 容积单位的使用方法。 计量容积 ,一般就用体积单位。计量液体的体积,如 水、油等 ,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表 示分别为L 和 mL,其中 1 L=1000 mL 。 2. 容积单位的换算。 1 dm 3 =1 L 1 cm 3 =1 mL 高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向 高级单位转换用除法计算。 3. “容积”与“体积”的区别。 (1)意义不同。 体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所 能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容 积。 (2)测量方法不同。 求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高 进行计算 ,
10、而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、 宽、高 ,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说 ,它的 容积要比体积小。 (3)单位名称不完全相同。 体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固 体、 气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位 一般用升、毫升。 九、长方体体积公式的推导 1. 以取 12 个 1 立方厘米的小正方体,摆出不同形状 的长方体为例 ,如下图 : 每个小正方体的体积是1 立方厘米 ,每个长方体是 由 12 个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是12 立方厘米。 并不是只有棱长是1 cm 、 1 dm 、 1 m 的正方体的体积才是1 cm 3、1 dm 3 和
11、 1 m 3。 易错点 :误认为容积就是体积, 这是不对的 ,一定要注意“容积” 与“体积”的不同。如一本书有体 积,却没有容积。 较大容器盛装液体时用“升” 作单位 ,较小容器盛装液体时用 “毫升”作单位。 巧记 : 体积单位常用到,相邻进率是 1000。 高级单位化低级,要把此数乘 1000。 低级单位化高级,除以 1000 把 数算。 转换过程要细心,掌握进率是 关键。 明确摆成不同形状长方体的 长、宽、高分别是多少。 1 立方厘米的小正方体的边长 是 1 厘米。长方体的长、宽、高由 几个小正方体摆成,它的长、宽、 高就分别是几厘米,它的体积正好 等于摆成长方体所需小正方体的 个数。 2
12、. 填写表格。 长 /cm 宽 /cm 高 /cm 小正方体 的个数 体积 /cm 3 长方 体 12111212 长方 体 6211212 长方 体 4311212 长方 体 3221212 3. (1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当 于长方体的长 ;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方 体的高。 (2)长方体所含小正方体(体积单位 )的个数正好等 于长方体长、宽、高的乘积。 4. 长方体体积公式的字母表达式。 如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长 方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成 V=abh。 长方体的体积 = 长 宽 高, 字母公式为 V=abh 。
13、5. 拓展提高。 当长方体的长、 宽、高都扩大到原来的n倍时 ,它的 体积就扩大到原来的n 3(n n n=n3)倍;当长方体的长、 宽、高都缩小到原来的时,它的体积就缩小到原来的 。 十、正方体体积公式的推导 1. 长方体的体积 =长 宽 高 正方体的体积 = 棱长 棱长 棱长 2. 正方体体积的字母公式。 如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱 长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a a a=a 3 。 3. 拓展提高。 举例 :如果一个长方体的长、 宽、高都扩大到原来的2 倍 ,那么 它的体积就扩大到原来的2 3 倍,即 8 倍;反之 ,如果一个长方体的长、 宽、高都缩小到原来
14、的,那么它的 体积就缩小到原来的,即 。 aaa也可以写成“a 3”,即 aaa=a 3,读作“ a的立方” ,表示 3 个a相乘。因此 ,正方体的体积公 式一般写成V=a 3。写 a 3 时 ,“3”要 写在a的右上角 ,且要略小一些。 举例 :如果一个正方体的棱长 扩大到原来的2 倍,那么它的体积 就扩大到原来的8 倍;反之 ,如果一 个正方体的棱长缩小到原来的,那 么它的体积就缩小到原来的。 在有些实际问题中,也可以用 “横截面的面积长”来计算体 积。 当正方体的棱长扩大到原来的n倍时 ,它的体积就 扩大到原来的n 3 倍 ;当正方体的棱长缩小到原来的时, 它的体积就缩小到原来的。 十一
15、、运用体积公式解决实际问题 如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具 备,那么可直接利用公式计算体积。 十二、长方体和正方体体积的通用公式 1. 长方体和正方体底面积的意义。 长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面 接触 ,通常把这个面叫作底面。长方体和正方体底面的面 积 , 叫作它们的底面积。 2. 长方体和正方体底面积的计算方法。 (1)长方体的底面积=长宽。 (2)正方体的底面积=棱长 棱长。 3. 长方体和正方体体积公式的推导。 长方体的体积长宽高 底面积高 正方体的体积棱长棱长棱长 底面积可看作高 长方体 (或正 方体 )的体积 =底面积 高 长方体 ( 或正方体 ) 的体积
16、 = 底面积 高。 如果用 V 表示体积 ,S表示底面积 ,h表示高 ,那么长方体 (或正方体 ) 的体积公式可以写成V=Sh。 十三、容积的计算方法 1. 长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的 计算方法相同 ,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公 式求出物体的容积。 2. 体积和容积的区别与联系。 (1)不同点。 意义不同。 . 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 . 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 测量方法不同。 . 求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、 高或棱长。 运用通用公式进行计算时,一 定要注意单位的统一。如一个长方 体的底面积是8 平方厘米 ,高是 3 分米 ,求
17、体积。 错解 :8 3=24 (立方厘米 ) 正解 :3 分米 =30 厘 米,8 30=240 (立方厘米 ) 计算体积从外面测量长、宽、 高;计算容积从里面测量长、宽、 高。有的物体既有体积,也有容积 , 如箱子、油桶、瓶子等。有的物体 有体积 ,却没有容积 ,如石头、木头 这类实心的物体。 既有体积又有容 积的物体 ,它的体积一定大于它的 容积。只有在容器厚度忽略不计的 情况下 ,容积才可以看作与体积相 等。 巧记 : 容积、体积孪兄弟,只是度量 不统一。 容积心中装物体,体积只想占 空间。 容积尺寸从里测,体积尺寸从 外量。 记住二者不同处,计算才能少 失误。 . 求物体的容积是从容器
18、的内部来测量长、宽、 高或棱长。 单位名称不完全相同。 . 体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。 . 容积一般用体积单位,但在计量液体(如药水、 汽 油等 )的体积时 ,常用升或毫升作单位。 (2)相同点。 计算公式相同。长方体(或正方体 )的体积 (或容积 )= 底面积 高。 二分 数 乘 法 一、分数与整数相乘的意义和计算方法 1. 整数乘法的意义。 求几个相同加数的和的简便运算。 2. (1)分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求 几个相同加数的和的简便运算。 (2)分数与整数相乘的计算方法:用分数的分子和整数相 乘的积作分子 , 分母不变。能约分的要先约分 , 再计算。 二
19、、求一个数的几分之几是多少 1. 求一个数的几分之几是多少 , 用乘法计算。 2. 求一个数的几倍与求一个数的几分之几实质上是相 同的 ,它们都表示两个数的倍比关系。只是在用整数或小数表 示这种倍比关系时,要说成一个数是另一个数的几倍,而在用 分数表示时 ,要说成一个数是另一个数的几分之几。如一个数 的 1.5 倍,也可以表示为一个数的。因此 ,求一个数的几倍是 多少与求一个数的几分之几是多少都可以用乘法计算。 三、分数乘分数的意义和计算方法 1. 分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 2. 分数和分数相乘 , 用分子相乘的积作分子 , 分母相乘的 积作分母。能约分的要先约分 , 再
20、计算。 3. 整数可以看成分母是1 的分数 ,所以分数与整数相乘, 也可以看成是分数与分数相乘,即分数与分数相乘的计算方 法适用于分数与整数相乘。 巧记 : 分数乘整数 ,计算很简单 ; 分子乘整数 ,分母不用变 ; 计算想简便 ,约分要在先 ; 结果要想准 ,分数化最 简。 在解决求一个数的几分 之几是多少的实际问题时,关 键是要弄清哪个量是单位 “1”。 当相乘的两个分数的分 子和分母能够约分时,可以先 约分 ,再计算。 找准每步计算的单位 “ 1” 是解答连续求一个数的几分 之几是多少的实际问题的关 键。 四、连续求一个数的几分之几是多少的解题方法及分数 连乘的计算方法 1. 连续求一个
21、数的几分之几是多少的解题方法:先求出 中间的间接量 ,再求出最后要求的量。 2. 分数连乘的计算方法:分子和分子相乘的积作分子,分 母和分母相乘的积作分母。能约分的要先约分,再计算。 五、积与因数的大小关系 积与因数的大小关系: ab=c(a不为 0),当b1 时,ca;当b1 时 ,ca;当b=1 时,c=a。 六、倒数的意义 1. 意义。 乘积是 1 的两个数互为倒数。 2. 理解“互为倒数”。 “互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,不 能单独说某个数是倒数。 七、求倒数的方法 1. 观察互为倒数的两个数的分子、分母的特点 ,发现互为 倒数的两个数 ,它们分子、分母的位置是互换的
22、。 2. 求一个数的倒数的方法。 (1)求真分数、假分数的倒数 ,可以直接调换这个分数的分 子、分母的位置。 (2)求一个整数 (0 除外 )的倒数 ,先把整数看作分母是1 的 假分数 ,再调换这个分数分子、分母的位置。 (3)求小数的倒数,先把小数化成最简分数,再调换分子、 分母的位置 ,也可以根据倒数的意义来找。 例如 :0.8,所以 0.8 的倒数是,或 0.8 1.25=1 ,所以 0.8 的倒数是1.25 。 (4)求带分数的倒数,先把带分数化成假分数,再调换分 子、分母的位置。 例如 :5,所以 5 的 倒数是。 易错点 :比较积与第一个 因数的大小只考虑按第二个 因数的大小进行判
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