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1、- 1 - 机械臂运动的轨迹规划 摘 要 空间机械臂是一个机、电、热、控一体化的高集成的空间机械系统。随着科 技的发展, 特别是航空飞机、 机器人等的诞生得到了广泛的应用,空间机械臂作 为在轨迹的支持、服务等以备受人们的关注。本文将以空间机械臂为研究对象, 针对空间机械臂的直线运动、 关节的规划、 空间直线以及弧线的轨迹规划几个方 面进行研究, 对机械臂运动和工作空间进行了分析,同时对机械臂的轨迹规划进 行了验证,利用 MATLAB 软件对机械臂的轨迹进行仿真,验证算法的正确性和 可行性,同时此路径规划方法可以提高机械臂的作业效率,为机械臂操作提高理 论指导,为机器人更复杂的运动仿真与路径规划
2、打下基础。 本文一共分为四章: 第一章,首先总结了机械臂运动控制与轨迹规划问题的研究现状及研究方 法,归纳了各种轨迹规划的算法及其优化方法,阐述了机械臂的研究背景和主要 内容。 第二章,对机械臂的空间运动进行分析研究,采用抽样求解数值法蒙特卡 洛方法,进行机械臂工作空间求解,同时在MATLAB 中进行仿真,直观展示机 械臂工作范围,为下一章的轨迹规划提供理论基础;同时通过D-H 参数法对机 械臂的正、逆运动分析求解,分析两者的区别和联系。 第三章,主要针对轨迹规划的一般性问题进行分析,利用笛卡尔空间的轨迹 规划方法对机械臂进行轨迹规划,同时利用MATLAB 对空间直线和空间圆弧进 行轨迹规划,
3、通过仿真验证算法的正确性和可行性。 第四章,总结全文,分析本文应用到机械臂中的控制算法,通过MATLAB 结果可以得出本文所建立的算法正确性,能够对机械臂运动提供有效的路径,而 且改进了其他应用于空间机械臂的路径规划问题。 【关键词】 运动分析工作空间算法研究轨迹规划 - 2 - ABSTRACT Space manipulator is a machine, electricity, heat, charged with high integration of space mechanical system integration. With the development of scien
4、ce and technology, especially the birth of aviation aircraft, a robot has been widely used, the trajectory of space manipulator as the support and services to peoples attention. This article will space manipulator as the research object, according to the linear motion of the space manipulator, joint
5、 planning, space of the straight line and curve, the trajectory planning of several aspects of mechanical arm movement and working space are analyzed, and the trajectory planning of manipulator is verified, the trajectory of manipulator is to make use of MATLAB software simulation, verify the correc
6、tness and feasibility of the algorithm, at the same time this path planning method can improve the efficiency of mechanical arm, improve the theoretical guidance for mechanical arm operation, simulation and path planning for robot more complicated movement. This article is divided into four chapters
7、 altogether: The first chapter, first summarizes the mechanical arm motion control and path planning problem research status and research methods, summarizes the variety of trajectory planning algorithm and the method of optimization, and expounds the research background and main content of mechanic
8、al arm. The second chapter, the paper studied the space motion of mechanical arm, the numerical method, monte carlo method are deduced with the method of sampling, the workspace for mechanical arm is, at the same time the simulation in MATLAB, intuitive display mechanical arm work scope, providing t
9、heoretical basis for the next chapter of trajectory planning. At the same time through d-h method of positive and inverse kinematic analysis of the mechanical arm, analyze the difference and contact. The third chapter, mainly aims at the general problem of trajectory planning is analyzed, using cart
10、esian space trajectory planning method for trajectory planning, mechanical arm at the same time, MATLAB is used to analyse the spatial straight line and arc trajectory planning, through the simulation verify the correctness and - 3 - feasibility of the algorithm. The fourth chapter, summarizes the f
11、ull text, analysis of the control algorithm is applied to the mechanical arm in this paper, through the MATLAB results can be concluded that the correctness of algorithm, can provide effective path of mechanical arm movement, and improved the other used in space manipulator path planning problem. ke
12、y words motion analysis,work space,trajectory planning,algorithm research - 4 - 目录 摘 要. - 1 - ABSTRACT - 2 - 第一章 绪论. - 5 - 第一节 研究背景及意义 - 5 - 第二节 国内外发展现状 - 6 - 一、国内现状 . - 6 - 二、国外现状 . - 6 - 第二章 机械臂的运动分析 . - 8 - 第一节 机械臂的正运动学分析 - 8 - 第二节 机械臂的逆运动学求解 - 10 - 第三章 五轴机械臂轨迹规划与仿真. - 11 - 第一节 轨迹规划一般问题 - 11 - 第二
13、节 关节空间的轨迹规划 - 12 - 一、三次多项式插值法 . - 12 - 二、五次多项式插值 . - 15 - 第三节 笛卡尔空间的轨迹规划 - 17 - 一、空间直线轨迹规划 . - 18 - 二、空间圆弧的轨迹规划 . - 21 - 三、一般空间轨迹规划 . - 25 - 第四章 总结与展望 . - 30 - 参考文献 . - 31 - - 5 - 第一章绪论 第一节研究背景及意义 随着宇宙空间的开发, 70 年代美国提出了在宇宙空间利用机器人系统的概 念,并且在航天飞机上实施。 当初的空间机器人是由航天飞机舱内的宇航员通过 电视画面操纵的。随着空间技术的进一步发展使得未来空间操作任务
14、急剧增加, 空间站的建立、维修,卫星的回收、释放等工作会越来越多。如果所有这些工作 都依靠宇航员来完成, 其成本将十分高昂, 也是十分危险的, 因为恶劣的太空环 境会给宇航员的空间作业带来巨大的威胁。宇航员的舱外作业需要庞大而复杂的 环境控制系统、生命保障系统、物质供给系统、救生系统等的支持,这些系统不 但具有很高的技术难度, 而且成本巨大。 用空间机器人代替宇航员进行太空作业 不仅可以使宇航员避免在恶劣太空环境中工作时可能受到的伤害,还可以降低成 本,提高空间探索的效益。 空间机械臂是空间机器人的一种,已被考虑在未来的 空间活动中承担大型空间站的在轨安装及对失效飞行器的的捕捉与维修,土壤和
15、岩石的取样等;并期望其在无人状态下承担未来空间实验室或工厂的日常工作。 根据空间作业的需要, 空间机器人上一般都安装了一个或多个模仿人手臂的多自 由度机器臂。 随着我国国民经济与国防工业技术的迅速发展,对航天器的需求量 日益增加, 对其能力的要求日臻提高。 特别是空间站在轨服务、 深空探测等空间 技术领域的迅速发展, 对于空间机械臂技术的需求越来越迫切,而且对其工作能 力和性能要求越来越高, 对其安全性、 寿命等方面也提出了越来越高的要求。此 外,受国外在高技术领域的技术限制与封锁,使得我们必须坚持自力更生、独立 自主的高技术研发道路, 坚持自主创新的思想, 加速并加强空间机械臂技术的研 发工
16、作 1 。 将机器人用于空间服务, 一项关键技术就是路径规划。 路径规划研究是机器 人研究领域中的一个重要分支,是机器人导航中最重要的任务之一。对已知静态 环境中机器人路径规划的研究已经进行了将近40 年, 路径规划问题的研究有很 大的价值。多年的研究工作在取得进展的同时,愈加证明了路径规划是一个复杂 的难题。路径规划算法的计算量取决于任务、环境的复杂性以及对规划路径质量 - 6 - 的要求,一个好的路径规划算法应该兼顾对规划速度和路径质量的期望。随着研 究的深入,各种新的路径规划方法层出不穷,使路径规划研究一直活跃在机器人 学领域。 目前国内对空间机械臂研究还处于起步阶段,因此开展空间机械臂
17、相关领域 的研究将极大促进我国空间科学试验、空间维护与建设、 深空探测等空间技术的 发展。本论文根据课题的技术要求,将空间机械臂路径规划作为切入点,研究路 径规划问题,其研究成果具有重要的理论指导意义和工程应用价值。 第二节国内外发展现状 一、国内现状 我国的工业机器人从80 年代“七五”科技攻关开始起步,目前已基本掌握 了机器人操作机的设计制造技术、控制系统硬件和软件设计技术、 运动学和轨迹 规划技术,生产了部分机器人关键元件,开发出喷漆、弧焊、点焊、装配、搬运 等机器人;但总的来看,我国工业机器人技术及其工程应用的水平和国外比还是 有一定的距离,如:可靠性低于国外产品;机器人应用工程起步较
18、晚,应用领域 窄,生产线系统技术与国外比有差距。 我国的智能机器人和特种机器人在“863”计划的支持下, 也取得不少成果。 其中最突出的是水下机器人,6000 米水下无缆机器人的成果居世界领先水平, 还开发出直接遥控机器人、 双臂协调控制机器人、 爬壁机器人、 管道机器人等机 种;在机器人视觉、 力觉、触觉、声觉等基础技术的开发应用上开展了不少工作, 有一定的发展基础。 但是在多传感器信息融合控制技术、遥控加局部自主系统遥 控机器人、 只能装配机器人、 机器人化机械等的开发应用方面则刚刚起步,与国 外先进水平差距较大。 二、国外现状 美国是机器人的诞生地,早在1962 年就研制出世界上第一台工
19、业机器人, 比起号称“机器人王国”的日本起步至少早五六了年。1971 年,通用汽车公司 又第一次用机器人进行点焊。 西欧时仅次于日美机器人的生产基地,也是日美机器人的重要市场。早在 1966年,美国 Unimation 公司的尤尼曼特机器人和AMF 公司的沃莎特兰机器人 - 7 - 就进入英国市场。接着,英国Hall Automation 公司研制出自己的机器人RAMP。 德国工业机器人的总数占世界第三。德国对于一些有危险、 有毒、有害的工作岗 位,必须以机器人替代普通人的劳动。同时提出了1985 年以后要向高级的、带 感觉的智能型机器人转移目标。 1954年:美国人戴沃尔制造了世界第一台可编
20、程的机械手。 1959年:戴沃尔与美国发明家英格伯格联手制造出第一台工业机器人。 1962年:美国 AFM 公司生产出万能搬运机器人,与Unimation 公司生产的 万能伙伴机器人一样成为真正商业化的工业机器人。 1967 年:日本川崎重工公司与丰田公司分别从美国购买了工业机器人 Unimat 和 Verstran的生产许可,开始对机器人的研究和制造。 1968年:美国斯坦福研究所公布他们研制的机器人Shakey 。 1973年:世界上机器人和小型计算机第一次携手合作,诞生了机器人T3。 1979年:日本山梨大学发明了平面关节机器人SCARA。 1984 年:英格伯格在此推出机器人Helpm
21、ate,这种机器人能在医院为病人 送饭送药和送邮件。 1996 年:本田公司推出仿人型机器人P2,双足行走机器人的研究达到了一 个新的高度。 2002 年:美国 iRobot 公司推出了吸尘器机器人Roombar,为世界上商业化 最成功的家用机器人。 2006年:微软公司推出Microsoft Robitics Studio 机器人,从此机器人模块 化平台同一化的趋势越来越明显。 在工业机器人技术方面,工业机器人有操作机(机械本体 )、控制器、伺服驱 动系统和检测传感器装置构成,是一种仿人操作、自动控制、可重复编程、能在 三维空间完成各种作业的机电一体化自动化生产设备。 - 8 - 第二章机械
22、臂的运动分析 机械臂的运动是其轨迹出现的直接原因。所以轨迹规划的前提是机械臂的运 动分析 1 。本文通过对机械臂的正运动学和逆运动学进行求解,分析两者的区别 和联系。通过对五轴机械臂关于坐标系几何关系,针对常见轨迹规划方案中起始 和终止阶段进行研究,分析研究结果。 第一节机械臂的正运动学分析 机械臂从关节空间到末端笛卡尔空间的变换是正向运动学描述。由坐标系中 已知的各个关节角度, 求解机械臂末端相对应于原点坐标系的位置和位姿。设矩 阵 A 表示机械臂连杆的齐次变换: ),()0 ,0,(),0 ,(),( 1iniiii XRotaTransldTransZRotA 1000 coscossi
23、ncossinsin sinsincoscoscossin 0sincos 1111 1111 1 iiiiiii iiiiiii iii d d a (2-1) 由于机械臂全是旋转关节。对于文中采用的机械臂而言有五个其次变换矩 阵,则末端连杆坐标系相对于基坐标系的齐次变换矩阵 1000 333231 232221 131211 54321 0 5 z y x prrr prrr prrr AAAAAT(2-2) 式即为机械臂的运动方程,它反应各关节变量与机械臂末端位姿之间的关 系,上式左边的五个矩阵含有五个关节变量 T q, 54321 。方程右边为描 述机械臂末端关节位置和姿态的齐次矩阵,
24、由刚体姿态的描述可知 11 r , 12 r , 13 r , 21r ,22r,23r ,31r ,32r ,33r 分别为机械臂末关节坐标系的三个坐标轴与机械臂基 - 9 - 坐标系三个坐标轴的方向余弦, x p , y p , z p 为机械臂末关节的坐标原点在机械 臂基坐标系中的三维坐标。 机械臂正运动学求解就是已知各连杆的关节变量求解末端连杆的位姿矩阵。 即已知关节变量 T q, 54321 ,求解上式机械臂运动学方程中等式右边矩 阵各元素的值 10 。 将上式中的机械臂五个关节的齐次变换矩阵带入,即计算出T 0 5 中各元素值 为: 1000 333231 232221 13121
25、1 0 5 z y x prrr prrr prrr T(2-3) 其中: 515234111 sscccr 515234112 cssccr 4231423113 cscsccr 515234121 scccsr 515234122 ccscsr 4231423123 cssscsr 523431 csr 523432 ssr 23411 cr 11212213231 acldsaccaccpx 11212213231 asldcacsacspy 122323 ldasaspz 其中, 11 cosc, 11 sins,)cos( 432234 c,)sin( 432234 s。 - 10
26、- 第二节机械臂的逆运动学求解 机械臂的逆运动学解是对其运动学正解的反解,因而已知量和求解量相反, 即已知机械臂末端的位置姿态对机械臂进行驱动,使各个关节从此刻的姿态运动 到与末端位姿相对应的位置,进而得到关节变量 11。 机械臂的运动学正、 逆求解实质是机械臂关节空间与工作空间之间的非线性 映射关系,两者可相互转换。关系图如下所示。 杆件参数 运动学正解末端执行器位姿 运动学逆解逆解选取 关节角量 关节角量 杆件参数 图 1 关节空间与工作空间的关系 机械臂的逆运动学问题,指已知机械臂的末端位姿,即已知齐次变换矩阵 T 0 5 ,求解各转动关节的角度 i。 机械臂的逆运行学问题,可以理解为通
27、过运动学方程: )()()()()( 5 4 54 3 43 2 32 1 21 0 1 0 5 TTTTTT(2-4) 求解 i。 整理式,将含有 1的部分移到方程的左边 )()()()()( 5 4 54 3 43 2 32 1 2 0 5 1 1 0 1 TTTTTT(2-5) 将 T 0 1 转置,上式可以表达成为: T drrr prrr prrr d cs sc y x 1 5 1333231 232221 131211 1 11 11 10001000 100 00 00 (2-6) 假设上式的两边元素和式相等,得到: 0 11yx pcps(2-7) - 11 - 可以得出 1
28、的解。 第三章五轴机械臂轨迹规划与仿真 目前关于空间轨迹规划的方法主要有三种,三次多项式插值, 高阶多项式插 值以及样条曲线等方法。 主要讨论轨迹在关节空间中的位移、速度与加速度等变 量的关系。 规划实质是根据需求, 计算出预定的轨迹曲线, 在轨迹规划时可以再 运动学与动力学的基础上进行规划,所以规划是建立在运动学和动力学基础上 的。 图 2 机械臂的matlab 生成 第一节轨迹规划一般问题 轨迹规划的一般方法是在机械臂末端的初始和目标位置之间用多项式函数 “内插”来抵近给定的路径, 并沿着时间轴产生一系列的可供操作机使用的“控 制设定点” 3 。其中关节坐标和笛卡尔坐标都可以对路径端点进行
29、给出。一般是 在笛卡尔坐标中给出, 由于在笛卡尔坐标中机械臂末端形态更容易观察。所以通 常采用笛卡尔方法。 在给定的两端之间, 常有多条可能路径。 可以沿着直线和光滑多项式曲线运 动。本文将讨论插值法,研究满足路径约束的简单轨迹规划 3 。 - 12 - 第二节关节空间的轨迹规划 机械臂关节空间的轨迹规划解决机械臂从起始位姿到终止位姿去取放物体 的问题 .机械臂末端移动的过程并不重要,只要求运动是平滑的且没有碰撞产生. 在关节空间中进行轨迹规划时,算法简单、 工具移动效率高、 关节空间与直角坐 标空间连续的对应关系是不存在的,因此机构的奇异性问题一般不会发生。对于 无路径的要求,应尽量在关节空
30、间进行轨迹规划。 一、三次多项式插值法 三次多项式与其一阶导数函数, 总计有四个待定系数, 对起始点和目标点两 者的角度、角角速度同时给出约束条件,本文采用的是三次多项式插值法 5 。可 以对通过空间的 n个点进行分析并进行轨迹规划,让速度和加速度在运动过程中 保持轨迹平滑。本文算法可以实现对)1(n段中的每一段三次多项式系数求解, 为了方便,对其进行归一化处理。 (1)时间标准化算法 根据三次多项式轨迹规划流程,对每个关节进行轨迹规划时需要对)1(n段 的轨迹进行设计,为了能对)1(n个轨迹规划方程进行同样处理,本文首先设计 了时间标准化算法将时间进行处理,经过处理后的时间 1 ,0t。 首
31、先定义: t :标准化时间变量, 1 ,0t; :未标准化时间,单位为秒; i:第 i 段轨迹规划结束的未标准化时间,1iii ; 机械臂执行第i 段轨迹所需要的实际时间:)/()( 11iii t,其中 1 , 0, 1 t ii 。 时间归一化后的三次多项式为: 3 3 2 210 tAtAtAAy (2)机械臂轨迹规划算法实现过程 - 13 - 已知初始位置为 1; 给定初始速度为0; 已知第一个中间点位置 2,它也是第一运动段三次多项式轨迹的终点; 为了保证运动的连续性, 需要设定 2所在点为三次多项式轨迹的起点, 以 确保运动的连续; 为了保证 2处速度连续,三次多项式在2处一阶可导
32、; 为了保证 2处加速度连续,三次多项式在2处二阶可导; 以此类推,每一个中间点的位置 i )1(2(ni, 都一定要在其原运动段 轨迹的终点,并且也是它后运动段的起点。 1i 的速度保持连续; 1i 的加速度保持连续; 点位置 n。给定终点速度,设其为 0。 (3)约束条件 第一个三次曲线为: 3 13 2 121110 )(tatataat 第二个三次曲线为: 3 23 2 222120 )(tatataat 第三个三次曲线为: 3 33 2 323130 )(tatataat 第)1(n个三次曲线为: 3 3)1( 2 2)1(1)1(0)1( )(tatataat nnnn 在同一时间
33、段内,三次曲线每次的起始时刻0t,停止时刻 n tt,其中 ni.1。 在标准化时间0t处,设定 1为第一条三次多项式运动段的起点, 可以得 出: 101 ; 在标准化时间0t处,三次多项式运动段第一条的初始速度是已知变量, 所以得出:0 111 a; - 14 - 第一中间点位置 2与第一条三次多项式运动段在标准化时间n tt时的终 点相同,所以可以得出: 3 113 2 112111102fff tatataa; 第一中间点位置 2与第一运动段在标准化时间 0t时起点相同,所以得 出: 202 a ; 三次多项式在 2处一阶可导, 因此可得出:21 2 113112112 32atataa
34、 ff ; 三次多项式在 2处二阶可导,因此可得出:22113122 262ataa f ; 第二个空间点的位置 3与第二运动段在标准化时间12 t时的终点相同,所 以有: 3 223 2 222221203fff tatataa; 第二个中间点的位置 3应与第三运动段在标准化时间 0t时起点相同, 所以有: 303 a; 三次多项式在 3处一阶可导,从而有:31 2 223222213 32atataa ff ; 三次多项式在 3处二阶可导,从而有:32223223 262ataa f ; ? 第)2(n个中间点位置 1n 和第)1(n运动段在标准化时间 )2(nf t时的终 点相同,所以有
35、: 3 )2(3)2( 2 )2(2)2()2(1)2(0)2(1nfnnfnnfnnn tatataa。 ? 第)2(n个中间点位置 1n 应与下一运动段在标准化时间0t时的起点 位置相同,所以有 0)1(1nn a; ? 三次多项式在第)2(n个中间点处一阶可导,从而: 1)1( 2 )2(3)2()2(2)2(1)2()1( 32 nnfnnfnnn atataa(3-1) ? 三次多项式在第)2(n个中间点处二阶可导,从而: 2)1()2(3)2(2)2()1( 262 nnfnnn ataa(3-2) ? 因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间 n t 时的位置 n为: - 15 -
36、3 3)1( 2 2)1(1)1(0)1(fnnfnnfnnnn tatataa(3-3) ? 因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间 n t 时的速度 n为: 2 3)1(2)1(1)1( 32 fnnfnnnn tataa(3-4) 以上公式改写为矩阵为: 1 MC。由该矩阵计算 1 M可以求出轨迹 规划的全部参数, (由五轴机械臂运动学逆解求出)于是求得)1(n段的运动方 程,从而使五轴机械臂末端执行器经过所给定的位置坐标。 通过以上分析可以确定机械臂在满足速度要求的两个位姿之间运动时各个 关节轴的角度变化曲线。如下图3 所示是 MATLAB 仿真分析三次多项式插值: 机械臂某关节角在4
37、秒内由初始点 A 经过中间点 B 到达终点 C 的变化情况。三 个位置点的速度和角速度如下所示: 203020 406030 CBA CBA 图中实线为角度变化曲线, 虚线为角速度变化曲线。 关节角度曲线平滑, 而 速度曲线在中间点B 处出现突变。 00.511.522.533.54 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 时 间 (s) 角 度 ( d e g ) 图 3 三次多项式插值法 二、五次多项式插值 五次多项式共有六个待定系数, 要想六个系数得到确定, 至少需要六个条件。 五次多项式可以看作是关节角度的时间函数,因此其一阶可导和二阶可导分别可 - 16
38、 - 以看作是关节角速度和关节角加速度的时间函数。五次多项式及一阶、 二阶导数 公式如下: 5 5 4 4 3 3 2 210)( tCtCtCtCtCC t (3-5) 4 5 3 4 2 321)( 5432tCtCtCtCC t (3-6) 3 5 2 432)( 201262tCtCtCC t (3-7) 为了求得待定系数 543210 ,CCCCCC,对起始点和目标点同时给出关于角度 和角加速度的约束条件: 5 05 4 04 3 03 2 02010)( 0 tCtCtCtCtCC t (3-8) 5 5 4 4 3 3 2 210)(ffffft tCtCtCtCtCC f (3
39、-9) 4 05 3 04 2 03021)( 5432 0 tCtCtCtCC t (3-10) 4 5 3 4 2 321)( 5432 fffft tCtCtCtCC f (3-11) 3 05 2 04032)( 201262 0 tCtCtCC t (3-12) 3 5 2 432)( 201262 ffft tCtCtCC f (3-13) 式中 )( 0 t 、 )( f t 分别表示起始点和目标点的关节角, )( 0 t 、 )( f t 分别表示起 始点和目标点的关节角速度, )( 0 t 、 )( f t 分别表示起始点和目标点的关节角加速 度。将起始时间设为0,即0 0
40、t得到解为: 5 2 000 5 4 2 000 4 3 2 000 3 0 2 01 00 2 )()66(1212 2 )23()1614(3030 2 )3()128(2020 2 f fffff f fffff f fffff t tt C t tt C t tt C C C C (3-14) 为了对比三次多项式关节插值算法和五次多项式插值算法的效果,同样要求 - 17 - 机械臂从起始点开始运动, 经过 4 秒到达终点,仿真时起始点和目标点的关节角 速度为 0。中间点的关节角加速度还可以对相邻两段轨迹角加速度进行平均值求 解,使该值为中间点的瞬时加速度 12 。利用 MATLAB 对
41、五次多项式插值进行仿 真,将结果与三次多项式插值进行对比,发现三个位置点的速度、 角速度两种方 法相同,同时增加角加速度约束: 242 203020 406030 CBA CBA CBA 仿真结果如图 4 所示,图中实线和虚线分别表示角度变化曲线、角速度变化 曲线。 点线则表示角加速度曲线。 其中关节角度和角速度曲线显示的都相对平滑, 而角加速度曲线在中间点B 处变化稍大。结果分析得出,多项式插值法虽然计 算量有所增加, 但是其关节空间轨迹平滑、 运动稳定, 且阶数越高满足的约束项 越多。 00.511.522.533.54 -150 -100 -50 0 50 100 Time(s) J o
42、 in t ( d e g ) 图 4 五次多项式插值法 第三节笛卡尔空间的轨迹规划 在机械臂的笛卡尔空间轨迹规划中, 中间点即插补点的坐标可以通过插补算 法得到。得到中间点后, 在把中间点的位姿转换成相应的关节角,再通过对关节 角的控制,使得机械臂的末端能按照预先规划的路径运动。机械臂的笛卡尔空间 - 18 - 轨迹规划位姿控制过程大致如下所示: 机械臂 轨迹规 划器 (插补 算法 ) 机械臂 轨运动 学逆解 求解 机械臂 关节角 控制 机械臂 按照规 划的轨 迹运动 轨迹上几 个给定点 的位姿 轨迹中 插补点 的位姿 各关 节角 图 5 机械臂笛卡尔空间轨迹规划控制过程 空间直线和空间弧线
43、的轨迹规划是笛卡尔空间中不可或缺的两部分。因为空 间的曲线可以分割为许多直线和弧线;但是也有会出现直线或弧线连接处尖角问 题,为了使运动轨迹连续平滑, 本文采用圆弧过度来平滑尖角。 在笛卡尔空间中, 空间直线和空间弧线的轨迹规划是最常见的两部分,其他空间曲线可以通过这两 者来逼近。 一、空间直线轨迹规划 所谓空间直线插补就是在该直线起始点位姿已知的情况下,对轨迹中间点 (插补点 )的位姿坐标进行求解 6 。 直线插补法: 设已知起始点的位置坐标分别为:),( 0000 zyxp,),( ffff zyxp, 0 p 和 f p 为相对基础坐标系计算其长度: 2 0 2 0 2 0)()()(f
44、ffzzyyxxL(3-15) 求间隔内行程,需要分匀速、加速、减速三种情况进行讨论: 匀速:设速度为 v,则插补周期 s T 内行程为 s vTd1; 加速:设加速度为a ,起始点速度为 0 v ,则在插补周期内的行程为: 2 02 2 1 ss aTTvd;整个加速度的路程为: 2 0 2 1 v a s,时间记为 6 : a v t 0 2 ; 计算总时间: 321 tttt; 计算插补点数: s T t N; 对插补点所在段进行判断(匀速段、加速段、减速段 ),使各轴的增量得到 确定,对各插补点坐标进行实时计算。 - 19 - 根据坐标值,通过运动学逆解求出各关节角。 利用五次多项式插
45、值法对关节角的插值计算。 从以上各式分析可以看出, 机械臂完成一个空间轨迹的过程,是实现估计 离散点的过程。让其尽量逼近,使机械臂轨迹尽可能的符合规划好的运动轨迹, 本次采用定时插补法。 为了使机械臂的性能更好, 让末端执行器的轨迹更平滑, 在相邻两个插值 点的关节角间选取插补函数使关节轴运动更加稳定。此方法将笛卡尔空间、 关节 空间相结合。 如:工具末端沿着一个直线运动,通过上面的计算把直线段上插补 199 次即整体直线轨迹分为200个点,每个坐标点进行逆运动学求解得到200 组 关节角度值。最后通过关节空间轨迹规划的方法将相邻的两组关节角之间进行角 度插补,从而使工具末端的轨迹平滑且能很好
46、的控制每个关节的角速度和角加速 度 8 。 在 MATLAB 中利用上述直线插补方法对机械臂进行正方形轨迹规划仿真, 机械臂的末端由起始点A,经过 B 点、C 点、D 点返回 A 点。其中点 A、B、C、 D 的位姿分别用齐次变换矩阵表示为: 1000 180100 60010 410001 A T 1000 180100 60010 290001 B T(3-16) 1000 180100 60010 290001 C T 1000 180100 60010 410001 D T(3-17) 正方形的每个边长为120mm,每个边上插补 30 步,总仿真时间为 120s。正 方形轨迹的仿真结果
47、如图6 所示, 通过运动学求解得到五个关节角的位移数据并 生成相关的数据曲线,如图7 所示。 - 20 - 00.511.522.53 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 时 间 t/s 关 节 变 量 值 / o 位 姿 1时 关 节 角 1轨 迹 规 划 曲 线 图 6 关节角位移轨迹曲线 00.511.522.53 -20 -10 0 10 20 30 40 50 时 间 t/s 关 节 角 1 的 关 节 速 度 0 / s 关 节 角 1时 关 节 角 1速 度 轨 迹 曲 线 - 21 - 00.511.522.53 -30 -20 -10
48、0 10 20 30 40 50 60 时 间 t/s 关 节 角 1 的 加 速 度 0 / s 2 位 姿 1时 关 节 角 1加 速 度 轨 迹 曲 线 图 7 关节角速度与加速度轨迹仿真图 由上述仿真图可以看出, 每个关节角度曲线均可划分为4 段,每段关节角度 变化平稳光滑, 只在正方形四个顶点出变化最大,故还需要对顶点附近的关节角 进行空间轨迹规划。 二、空间圆弧的轨迹规划 在笛卡尔空间圆弧轨迹规划中,为了计算方便, 运用坐标变换, 即先在圆弧 所在平面建立一个新的直角坐标系, 在这个直角坐标系中计算圆弧的各插补点在 新坐标系中的值。 然后再将这些值返回到原来的坐标系中,算出各插补点
49、在原来 坐标系中的值。 圆弧插补的位移曲线也是采用抛物线过度的线性函数,归一化因 子的求解与上述一样 8 。 三点确定一段弧。设机械臂末端执行器从起始位置 1 P经过中间点 2 P到达终点 3 P ,如果这三点不共线,就一定存在从起始点 1 P 经过中间点 2 P 到达终点 3 P 的圆 弧轨迹规划算法。具体算法如下: 先求得圆弧的圆心),( 0000 zyxP和半径 r 。 ),( 1111 zyxP、),( 2222 zyxP和),( 3333 zyxP三点确定平面 M,其方程为: - 22 - 0 323232 313131 333 zzyyxx zzyyxx zzyyxx (3-18) 将其展开可得: 0)()()( )()()( )()()( 331323231 332313132 331323231 zzyyxxyyxx yyzzxxzzxx xxzzyyzzyy (3-19) X Y Z O M P1 P2 P3 P0 TS W V U 图 8 空间圆弧插补示意图 过 21P P的中点且与 21P P垂直的平面
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