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1、2019年河南省中考数学模试卷(一) 一、选择题(本大题共10 小题,每小题3 分,共 30 分) 1 3 的绝对值是() A 3 B 3 C D 2中国的陆地面积和领水面积共约9970000km 2, 9970000 这个数用科学记数法可表示为 () A9.97 10 5 B99.7 10 5 C9.97 10 6 D0.997 10 7 3如图是由棱长为1 的正方体搭成的某几何体三视图,则图中棱长为1 的正方体的个数是 () A9 B 8 C 7 D6 4一次函数y=3x+b 和 y=kx+1 的图象如图所示,其交点为P (3,4) ,则不等式kx+1 3x+b 的解集在数轴上表示正确的是
2、() A BC D 5某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人射击10 次, 然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙的成绩分析如表所示, 丁的成绩如图所示 甲乙丙 平均数7.9 7.9 8.0 方差3.29 0.49 1.8 根据以上图表信息,参赛选手应选() A甲B 乙C 丙D丁 6如图,四边形ABCD 内接于 O,F 是上一点,且=,连接 CF并延长交AD的延长 线于点 E,连接 AC,若 ABC=105 , BAC=25 ,则 E的度数为() A45 B 50 C55 D60 7如图, 菱形 OABC 的一边 OA在 x 轴上, 将菱形
3、OABC 绕原点 O顺时针旋转75至 OA B C的位置,若OB=, C=120 ,则点B的坐标为() A ( 3,) B ( 3,)C (,)D (,) 8如图,在 ?ABCD 中, AC与 BD相交于点O,E为 OD的中点,连接AE并延长交DC于点 F, 则 S DEF:SAOB的值为() A1:3 B 1:5 C1:6 D1: 11 9如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2 经过平移得到抛物线y=ax 2+bx,其对称轴与 两段抛物线所围成的阴影部分的面积为,则 a、b 的值分别为() A,B,C,D, 10在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C
4、2D2、D2E3E4B3按如图所示的方 式放置,其中点B1在 y 轴上,点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 轴上,已知正方形A1B1C1D1 的边长为l , B1C1O=60 , B1C1B2C2B3C3,则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是() A () 2016 B () 2017 C () 2016 D () 2017 二、填空题(本小题共5 小题,每小题3 分,共 15 分) 11计算: + (2) 0+( 1)2017= 12已知关于x 的一元二次方程ax 2( a+2)x+2=0 有两个不相等的正整数根时,整数 a 的 值是 13如图,已知第一
5、象限内的点A在反比例函数y=上,第二象限的点B在反比例函数y= 上,且 OA OB , tanA=,则 k 的值为 14如图,扇形OAB中, AOB=60 ,扇形半径为4,点 C在上, CD OA ,垂足为点D, 当 OCD 的面积最大时,图中阴影部分的面积为 15如图,在矩形ABCD 中, AB=5 ,BC=3 ,点 E 为射线 BC上一动点,将ABE沿 AE折叠, 得到 AB E若 B恰好落在射线CD上,则 BE的长为 三、解答题(本题共8 小题,共75 分 ) 16先化简,再求值:,其中 m是方程 x 2+2x3=0 的根 17在信息快速发展的社会,“信息消费”已成为人们生活的重要组成部
6、分某高校组织课 外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭,调查每月用于信息消费的金额,根据数据整 理成如图所示的不完整统计表和统计图已知A,B两组户数频数直方图的高度比为1:5 月信息消费额分组统计表 组别消费额(元) A 10 x100 B 100 x200 C 20 x300 D 300 x400 E x 400 请结合图表中相关数据解答下列问题: (1)这次接受调查的有户; (2)在扇形统计图中, “E”所对应的圆心角的度数是; (3)请你补全频数直方图; (4)若该社区有2000 户住户,请估计月信息消费额不少于200 元的户数是多少? 18如图, AB是半圆 O的直径, 点 P是半圆
7、上不与点A、B重合的一个动点,延长 BP到点 C, 使 PC=PB ,D是 AC的中点,连接PD 、PO (1)求证: CDP POB ; (2)填空: 若 AB=4 ,则四边形AOPD 的最大面积为; 连接 OD ,当 PBA的度数为时,四边形BPDO 是菱形 19如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD ,CD=4米,坡角 DCE=30 ,小红在斜坡下的点 C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45,其中点 A 、C、 E在同一直线上 (1)求斜坡CD的高度 DE ; (2)求大楼AB的高度(结果保留根号) 20同庆中学为丰富学生的校园生活,准备从军跃体育用品商店一次性
8、购买若干个足球和篮 球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同) ,若购买 3 个足球和2 个篮球共需310 元, 购买 2 个足球和5 个篮球共需500 元 (1)购买一个足球、一个篮球各需多少元? (2)根据同庆中学的实际情况,需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96 个,要 求购买足球和篮球的总费用不超过5720 元,这所中学最多可以购买多少个篮球? 21根据下列要求,解答相关问题: (1)请补全以下求不等式2x 24x 0 的解集的过程 构造函数,画出图象: 根据不等式特征构造二次函数y=2x 24x;抛物线的对称轴 x=1,开口向下, 顶点( 1, 2)与 x 轴的交点是(0,
9、0) , ( 2,0) ,用三点法画出二次函数y=2x 2 4x 的图象如图 1 所示; 数形结合,求得界点: 当 y=0 时,求得方程2x 24x=0 的解为 ; 借助图象,写出解集: 由图象可得不等式2x 24x 0的解集为 (2)利用( 1)中求不等式解集的方法步骤,求不等式x 22x+1 4 的解集 构造函数,画出图象; 数形结合,求得界点; 借助图象,写出解集 (3)参照以上两个求不等式解集的过程,借助一元二次方程的求根公式,直接写出关于x 的不等式ax 2+bx+c0(a0)的解集 22 (1)问题发现: (1)如图 1,在正方形ABCD中,点 E、F 分别是边BC 、AB上的点,
10、且CE=BF ,连接 DE ,过 点 E作 EG DE ,使 EG=DE ,连接 FG ,FC,请判断: FG与 CE的数量关系是,位置关 系是 (2)拓展探究: 如图 2,若点 E、 F 分别是 CB 、BA延长线上的点, 其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立? 请出判断判断予以证明; (3)类比延伸: 如图 3,若点 E、 F 分别是 BC 、AB延长线上的点, 其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立? 请直接写出你的判断 23如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴的交点为 A、D(A在 D的右侧),与 y 轴的交 点为 C,且 A(4, 0) ,C( 0, 3) ,对称
11、轴是直线x=1 (1)求二次函数的解析式; (2)若 M是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为m ,设四边形OCMA 的面积为s请写出 s 与 m之间的函数关系式,并求出当m为何值时,四边形OCMA 的面积最大; (3)设点 B是 x 轴上的点, P是抛物线上的点,是否存在点P,使得以A,B、 C,P四点为 顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10 小题,每小题3 分,共 30 分) 1 3 的绝对值是() A 3 B 3 C D 【考点】 15:绝对值 【分析】 计算绝对值要根据绝对值的定义求解第一步列出绝对值的表
12、达式;第二步根据绝 对值定义去掉这个绝对值的符号 【解答】 解: | 3|=3 故 3 的绝对值是3 故选: B 2中国的陆地面积和领水面积共约9970000km 2, 9970000 这个数用科学记数法可表示为 () A9.97 10 5 B99.7 10 5 C9.97 10 6 D0.997 10 7 【考点】 科学计数法 【分析】 科学记数法的表示形式为a 10 n 的形式,其中1|a| 10,n 为整数确定n 的 值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同当 原数绝对值 1 时, n 是正数;当原数的绝对值1 时, n 是负数 【解答】 解:
13、9970000=9.97 10 6, 故选: C 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10 n 的形式,其中1 |a| 10, n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值 3如图是由棱长为1 的正方体搭成的某几何体三视图,则图中棱长为1 的正方体的个数是 () A9 B 8 C 7 D6 【考点】 U3 :由三视图判断几何体 【分析】 易得这个几何体共有2 层,由俯视图可得第一层正方体的个数,由主视图和左视图 可得第二层正方体的个数,相加即可 【解答】 解:由俯视图易得最底层有6 个正方体,第二层有2 个正方体,那么共有6+2=8 个正方体组成, 故选 B
14、4一次函数y=3x+b 和 y=kx+1 的图象如图所示,其交点为P (3,4) ,则不等式kx+1 3x+b 的解集在数轴上表示正确的是() A BC D 【考点】 FD :一次函数与一元一次不等式;C4:在数轴上表示不等式的解集 【分析】 观察图象, 直线 y=kx+1 落在直线y=3x+b 上方的部分对应的x 的取值范围即为所 求 【解答】 解:一次函数y=3x+b 和 y=kx+1 的图象交点为P(3,4) , 当 x 3时, kx+1 3x+b, 不等式kx+1 3x+b 的解集为x3, 在数轴上表示为: 故选 B 5某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人
15、射击10 次, 然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙的成绩分析如表所示, 丁的成绩如图所示 甲乙丙 平均数7.9 7.9 8.0 方差3.29 0.49 1.8 根据以上图表信息,参赛选手应选() A甲B 乙C 丙D丁 【考点】 W7 :方差; W1 :算术平均数 【分析】 根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差,根据方差的性质解答即可 【解答】 解:由图可知丁射击10 次的成绩为:8、8、9、7、8、8、9、7、 8、8, 则丁的成绩的平均数为:( 8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8, 丁的成绩的方差为: (88) 2+( 88)2+(89)2+( 87)2
16、+(88)2+(88) 2+(89)2+(8 7)2+(88)2+(88)2=0.4 , 丁的成绩的方差最小, 丁的成绩最稳定, 参赛选手应选丁, 故选: D 6如图,四边形ABCD 内接于 O,F 是上一点,且=,连接 CF并延长交AD的延长 线于点 E,连接 AC,若 ABC=105 , BAC=25 ,则 E的度数为() A45 B 50 C55 D60 【考点】 M6 :圆内接四边形的性质;M4 :圆心角、弧、弦的关系 【分析】 先根据圆内接四边形的性质求出ADC的度数, 再由圆周角定理得出DCE的度数, 根据三角形外角的性质即可得出结论 【解答】 解:四边形ABCD 内接于 O, A
17、BC=105 , ADC=180 ABC=180 105=75 =, BAC=25 , DCE= BAC=25 , E=ADC DCE=75 25=50 故选 B 7如图, 菱形 OABC 的一边 OA在 x 轴上, 将菱形 OABC 绕原点 O顺时针旋转75至 OA B C的位置,若OB=, C=120 ,则点B的坐标为() A ( 3,) B ( 3,)C (,)D (,) 【考点】 R7 :坐标与图形变化旋转;L8:菱形的性质 【分析】 首先根据菱形的性质,即可求得AOB的度数,又由将菱形OABC绕原点 O顺时针 旋转 75至 OA BC的位置,可求得BOA的度数,然后在Rt BOF中,
18、利用三角 函数即可求得OF与 BF 的长,则可得点B的坐标 【解答】 解:过点B作 BE OA于 E,过点 B作 BFOA于 F, BE0= BFO=90 , 四边形OABC 是菱形, OA BC , AOB= AOC , AOC+ C=180, C=120 , AOC=60 , AOB=30 , 菱形 OABC 绕原点 O顺时针旋转75至 OA BC的位置, BOB =75, OB =OB=2, BOF=45 , 在 RtBOF中, OF=OB ?cos45=2=, BF=, 点 B的坐标为: (,) 故选 D 8如图,在 ?ABCD 中, AC与 BD相交于点O,E为 OD的中点,连接AE
19、并延长交DC于点 F, 则 S DEF:SAOB的值为() A1:3 B 1:5 C1:6 D1: 11 【考点】 S9:相似三角形的判定与性质;L5:平行四边形的性质 【分析】 根据平行四边形的性质可知BO=DO ,又因为 E为 OD的中点,所以DE :BE=1:3,根 据相似三角形的性质可求出SDEF: SBAE然后根据=,即可得到结论 【解答】 解: O为平行四边形ABCD对角线的交点, DO=BO , 又 E为 OD的中点, DE= DB , DE:EB=1 :3, 又 AB DC , DFE BAE , =() 2= , S DEF=SBAE, =, S AOB=SBAE, S DE
20、F:SAOB=1: 6, 故选 C 9如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2 经过平移得到抛物线y=ax 2+bx,其对称轴与 两段抛物线所围成的阴影部分的面积为,则 a、b 的值分别为() A,B,C,D, 【考点】 H6 :二次函数图象与几何变换 【分析】 确定出抛物线y=ax 2+bx 的顶点坐标,然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点 坐标,从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积,再根据三角形的面积公式列式计算即 可得解 【解答】 解:如图, y=ax 2+bx= x 2+bx= (x+) 2 , 平移后抛物线的顶点坐标为(,) ,对称轴为直线x=, 当 x=时, y=, 平移后
21、阴影部分的面积等于如图三角形的面积, (+)()= 解得 b=, 故选: C 10在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3按如图所示的方 式放置,其中点B1在 y 轴上,点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 轴上,已知正方形A1B1C1D1 的边长为l , B1C1O=60 , B1C1B2C2B3C3,则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是() A () 2016 B () 2017 C () 2016 D () 2017 【考点】 D2 :规律型:点的坐标 【分析】 利用正方形的性质结合锐角三角函
22、数关系得出正方形的边长,进而得出变化规律即 可得出答案 【解答】 解:正方形A1B1C1D1的边长为1, B1C1O=60 , B1C1B2C2 B3C3, D1E1=B2E2, D2E3=B3E4, D1C1E1=C2B2E2=C3B3E4=30, D1E1=C1D1sin30 =, 则 B2C2=() 1, 同理可得: B3C3=() 2, 故正方形AnBnCnDn的边长是:() n1, 则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为:() 2016, 故选: C 二、填空题(本小题共5 小题,每小题3 分,共 15 分) 11计算: + (2) 0+( 1)2017= 2 【考
23、点】 2C :实数的运算;6E:零指数幂 【分析】 直接利用零指数幂的性质以及立方根的定义分别化简进而求出答案 【解答】 原式 =2+11 =2 故答案为: 2 12已知关于x 的一元二次方程ax 2( a+2)x+2=0 有两个不相等的正整数根时,整数 a 的 值是a=1 【考点】 AA :根的判别式 【分析】 由一元二次方程的定义可得出a 0,再利用根的判别式=b 24ac,套入数据即可 得出 =(a2) 20,可得出 a2 且 a0,设方程的两个根分别为x1、x2,利用根与系数 的关系可得出x1?x2=,再根据x1、x2均为正整数, a 为整数,即可得出结论 【解答】 解:方程ax 2(
24、 a+2) x+2=0 是关于 x 的一元二次方程, a0 =(a+2) 2 4a2=(a2)20, 当 a=2 时,方程有两个相等的实数根, 当 a2 且 a0 时,方程有两个不相等的实数根 方程有两个不相等的正整数根, a2 且 a0 设方程的两个根分别为x1、x2, x1?x2=, x1、x2均为正整数, 为正整数, a 为整数, a 2 且 a 0, a=1, 故答案为: a=1 13如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=上,第二象限的点B在反比例函数y= 上,且 OA OB , tanA=,则 k 的值为 【考点】 G6 :反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 作 AC x 轴
25、于点 C,作 BD x 轴于点 D,易证 OBD AOC ,则面积的比等于相似 比的平方,即tanA 的平方,然后根据反比例函数中比例系数k 的几何意义即可求解 【解答】 解:作 AC x 轴于点 C ,作 BD x 轴于点 D 则 BDO= ACO=90 , 则 BOD+ OBD=90 , OA OB , BOD+ AOC=90 , BOD= AOC , OBD AOC , =() 2=(tanA )2= , 又 SAOC=2=1, S OBD=, k= 故答案为: 14如图,扇形OAB中, AOB=60 ,扇形半径为4,点 C在上, CD OA ,垂足为点D, 当 OCD 的面积最大时,图
26、中阴影部分的面积为24 【考点】 MO :扇形面积的计算;H7:二次函数的最值;KQ :勾股定理 【分析】 由 OC=4 ,点 C在上, CD OA ,求得 DC=,运用 S OCD=OD ?,求得 OD=2时 OCD 的面积最大, 运用阴影部分的面积=扇形 AOC的面积 OCD 的面积求解 【解答】 解: OC=4 ,点 C在上, CD OA , DC= S OCD=OD ? =OD 2 ? (16OD 2)= OD 4+4OD2= (OD 28)2+16 当 OD 2=8,即 OD=2 时 OCD 的面积最大, DC=2, COA=45 , 阴影部分的面积=扇形 AOC 的面积 OCD 的
27、面积 = 22=2 4, 故答案为: 24 15如图,在矩形ABCD 中, AB=5 ,BC=3 ,点 E 为射线 BC上一动点,将ABE沿 AE折叠, 得到 AB E若 B恰好落在射线CD上,则 BE的长为或 15 【考点】 PB :翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质 【分析】 如图 1,根据折叠的性质得到AB =AB=5,BE=BE ,根据勾股定理得到BE 2=(3 BE ) 2+12, 于是得到BE= ,如图 2,根据折叠的性质得到AB =AB=5 ,求得 AB=BF=5 ,根据勾股定理得 到 CF=4根据相似三角形的性质列方程得到CE=12 ,即可得到结论 【解答】 解:如图1,将
28、 ABE沿 AE折叠,得到AB E, AB=AB=5 ,B E=BE , CE=3 BE , AD=3 , DB =4, BC=1, BE 2=CE2+BC2, BE 2=( 3BE )2+12, BE=, 如图 2,将 ABE沿 AE折叠,得到AB E, AB=AB=5 , CD AB , 1=3, 1=2, 2=3, AE垂直平分BB , AB=BF=5 , CF=4, CFAB , CEF ABE , , 即=, CE=12 , BE=15, 综上所述: BE的长为:或 15, 故答案为:或 15 三、解答题(本题共8 小题,共75 分 ) 16先化简,再求值:,其中 m是方程 x 2+
29、2x3=0 的根 【考点】 6D :分式的化简求值;A8:解一元二次方程因式分解法 【分析】 首先根据运算顺序和分式的化简方法,化简,然后应用因 数分解法解一元二次方程,求出 m的值是多少; 最后把求出的m的值代入化简后的算式,求 出算式的值是多少即可 【解答】 解: = = x 2+2x3=0, ( x+3) (x1) =0, 解得 x1=3,x2=1, m是方程 x 2+2x3=0 的根, m1=3,m2=1, m+3 0, m 3, m=1 , 所以原式 = = = 17在信息快速发展的社会,“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分某高校组织课 外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭,
30、调查每月用于信息消费的金额,根据数据整 理成如图所示的不完整统计表和统计图已知A,B两组户数频数直方图的高度比为1:5 月信息消费额分组统计表 组别消费额(元) A 10 x100 B 100 x200 C 20 x300 D 300 x400 E x 400 请结合图表中相关数据解答下列问题: (1)这次接受调查的有50 户; (2)在扇形统计图中, “E”所对应的圆心角的度数是28.8 ; (3)请你补全频数直方图; (4)若该社区有2000 户住户,请估计月信息消费额不少于200 元的户数是多少? 【考点】 VB :扇形统计图;V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;V8:频数(率
31、) 分布直方图 【分析】(1)根据 A 、B两组户数直方图的高度比为1:5,即两组的频数的比是1:5,据此 即可求得A组的频数;利用A和 B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数; (2)用“ E”组百分比乘以360可得; (3)利用总数乘以百分比即可求得C组的频数,从而补全统计图; (4)利用总数2000 乘以 C、D、 E的百分比即可 【解答】 解: (1) A组的频数是:10=2; 这次接受调查的有(2+10)( 18% 28% 40% )=50(户), 故答案为: 50; (2) “E”所对应的圆心角的度数是360 8%=28.8, 故答案为: 28.8 ; (3)C组的频数是
32、: 5040%=20 ,如图, (4)2000( 28%+8%+40%)=1520(户) , 答:估计月信息消费额不少于200 元的约有 1520 户 18如图, AB是半圆 O的直径, 点 P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长 BP到点 C, 使 PC=PB ,D是 AC的中点,连接PD 、PO (1)求证: CDP POB ; (2)填空: 若 AB=4 ,则四边形AOPD 的最大面积为4 ; 连接 OD ,当 PBA的度数为60时,四边形BPDO 是菱形 【考点】 L9:菱形的判定;KD :全等三角形的判定与性质 【分析】(1)根据中位线的性质得到DP AB , DP= AB ,由
33、 SAS可证 CDP POB ; (2)当四边形AOPD 的 AO边上的高等于半径时有最大面积,依此即可求解; 根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形,可得四边形BPDO 是平行四边形, 再根据邻边相等的平行四边形是菱形,以及等边三角形的判定和性质即可求解 【解答】(1)证明: PC=PB ,D是 AC的中点, DPAB , DP= AB , CPD= PBO , BO= AB , DP=BO , 在 CDP与 POB中, CDP POB ( SAS ) ; (2)解:当四边形AOPD 的 AO边上的高等于半径时有最大面积, (42)( 42) =2 2 =4; 如图: DPAB ,D
34、P=BO , 四边形BPDO 是平行四边形, 四边形BPDO 是菱形, PB=BO , PO=BO , PB=BO=PO, PBO是等边三角形, PBA的度数为60 故答案为: 4;60 19如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD ,CD=4米,坡角 DCE=30 ,小红在斜坡下的点 C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45,其中点 A 、C、 E在同一直线上 (1)求斜坡CD的高度 DE ; (2)求大楼AB的高度(结果保留根号) 【考点】 TA:解直角三角形的应用仰角俯角问题;T9:解直角三角形的应用坡度坡角问 题 【分析】(1)在直角三角形DCE中,利用锐角三角函
35、数定义求出DE的长即可; (2) 过 D作 DF垂直于 AB , 交 AB于点 F, 可得出三角形BDF为等腰直角三角形,设 BF=DF=x , 表示出 BC ,BD,DC ,由题意得到三角形BCD为直角三角形,利用勾股定理列出关于x 的方 程,求出方程的解得到x 的值,即可确定出AB的长 【解答】 解: (1)在 RtDCE中, DC=4米, DCE=30 , DEC=90 , DE= DC=2米; (2)过 D作 DFAB ,交 AB于点 F, BFD=90 , BDF=45 , BFD=45 ,即 BFD为等腰直角三角形, 设 BF=DF=x米, 四边形DEAF为矩形, AF=DE=2米
36、,即 AB= (x+2)米, 在 RtABC中, ABC=30 , BC=米, BD=BF=x 米, DC=4米, DCE=30 , ACB=60 , DCB=90 , 在 RtBCD中,根据勾股定理得:2x 2= +16, 解得: x=4+4, 则 AB= ( 6+4)米 20同庆中学为丰富学生的校园生活,准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮 球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同) ,若购买 3 个足球和2 个篮球共需310 元, 购买 2 个足球和5 个篮球共需500 元 (1)购买一个足球、一个篮球各需多少元? (2)根据同庆中学的实际情况,需从军跃体育用品商店一次性购买
37、足球和篮球共96 个,要 求购买足球和篮球的总费用不超过5720 元,这所中学最多可以购买多少个篮球? 【考点】 C9 :一元一次不等式的应用;9A:二元一次方程组的应用 【分析】 (1)根据费用可得等量关系为:购买 3 个足球和2 个篮球共需310 元;购买 2个足 球和 5 个篮球共需500 元,把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价; (2)不等关系为: 购买足球和篮球的总费用不超过5720 元,列式求得解集后得到相应整数 解,从而求解 【解答】(1)解:设购买一个足球需要x 元,购买一个篮球需要y 元, 根据题意得, 解得, 购买一个足球需要50 元,购买一个篮球需要80 元 (2
38、)方法一: 解:设购买a 个篮球,则购买(96a)个足球 80a+50(96a) 5720, a30 a 为正整数, a 最多可以购买30 个篮球 这所学校最多可以购买30 个篮球 方法二: 解:设购买n 个足球,则购买(96n)个篮球 50n+80(96n) 5720, n65 n 为整数, n 最少是 66 96 66=30 个 这所学校最多可以购买30 个篮球 21根据下列要求,解答相关问题: (1)请补全以下求不等式2x 24x 0 的解集的过程 构造函数,画出图象: 根据不等式特征构造二次函数y=2x 24x;抛物线的对称轴 x=1,开口向下, 顶点( 1, 2)与 x 轴的交点是(
39、0,0) , ( 2,0) ,用三点法画出二次函数y=2x 2 4x 的图象如图 1 所示; 数形结合,求得界点: 当 y=0 时,求得方程2x 24x=0 的解为 x1=0,x2=2 ; 借助图象,写出解集: 由图象可得不等式2x 24x 0的解集为 2x0 (2)利用( 1)中求不等式解集的方法步骤,求不等式x 22x+1 4 的解集 构造函数,画出图象; 数形结合,求得界点; 借助图象,写出解集 (3)参照以上两个求不等式解集的过程,借助一元二次方程的求根公式,直接写出关于x 的不等式ax 2+bx+c0(a0)的解集 【考点】 HC :二次函数与不等式(组);H2:二次函数的图象;H3
40、:二次函数的性质 【分析】(1)直接解方程进而利用函数图象得出不等式2x 2 4x0 的解集; (2)首先画出y=x 22x+1 的函数图象, 再利用当 y=4 时,方程 x 22x+1=4 的解, 得出不等 式 x 22x+14 的解集; (3)利用 ax 2+bx+c=0 的解集,利用函数图象分析得出答案 【解答】 解: (1)方程 2x 24x=0 的解为: x 1=0,x2= 2; 不等式 2x 2 4x0 的解集为: 2x0; (2)构造函数,画出图象,如图2, : 构造函数y=x 22x+1,抛物线的对称轴 x=1, 且开口向上,顶点坐标(1,0) , 关于对称轴x=1 对称的一对
41、点(0,1) , (2,1) , 用三点法画出图象如图2 所示: ; 数形结合,求得界点: 当 y=4 时,方程x 22x+1=4 的解为: x 1=1,x2=3; 借助图象,写出解集: 由图 2 知,不等式x 22x+14 的解集是: 1x3; (3)解:当b 24ac0 时,关于 x 的不等式 ax 2+bx+c0(a0) 的解集是x或 x 当 b 24ac=0 时,关于 x 的不等式ax 2+bx+c0(a0)的解集是: x; 当 b 24ac0 时,关于 x 的不等式ax 2+bx+c 0(a0)的解集是全体实数 22 (1)问题发现: (1)如图 1,在正方形ABCD中,点 E、F
42、分别是边BC 、AB上的点,且CE=BF ,连接 DE ,过 点 E作 EG DE ,使 EG=DE ,连接 FG ,FC,请判断: FG与 CE的数量关系是FG=CE ,位置 关系是FG CE (2)拓展探究: 如图 2,若点 E、 F 分别是 CB 、BA延长线上的点, 其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立? 请出判断判断予以证明; (3)类比延伸: 如图 3,若点 E、 F 分别是 BC 、AB延长线上的点, 其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立? 请直接写出你的判断 【考点】 LO :四边形综合题 【分析】 (1)构造辅助线后证明HGE CED ,利用对应边相等求证四边形GHBF是
43、矩形后, 利用等量代换即可求出FG=CE ,FG CE ; (2)构造辅助线后证明HGE CED ,利用对应边相等求证四边形GHBF 是矩形后, 利用等 量代换即可求出FG=CE , FG CE ; (3)证明 CBF DCE ,即可证明四边形CEGF 是平行四边形,即可得出结论 【解答】 解: (1) FG=CE , FG CE ;理由如下: 过点 G作 GH CB的延长线于点H,如图 1 所示: 则 GH BF , GHE=90 , EG DE , GEH+ DEC=90 , GEH+ HGE=90 , DEC= HGE , 在 HGE与 CED中, HGE CED ( AAS ) , G
44、H=CE ,HE=CD , CE=BF , GH=BF , GH BF, 四边形GHBF 是矩形, GF=BH ,FG CH FGCE , 四边形ABCD 是正方形, CD=BC , HE=BC , HE+EB=BC+EB, BH=EC , FG=EC ; 故答案为: FG=CE ,FG CE; (2)FG=CE ,FG CE仍然成立;理由如下: 过点 G作 GH CB的延长线于点H,如图 2 所示: EG DE , GEH+ DEC=90 , GEH+ HGE=90 , DEC= HGE , 在 HGE与 CED中, HGE CED ( AAS ) , GH=CE ,HE=CD , CE=B
45、F , GH=BF , GH BF, 四边形GHBF 是矩形, GF=BH ,FG CH FGCE , 四边形ABCD 是正方形, CD=BC , HE=BC , HE+EB=BC+EB, BH=EC , FG=EC ; (3)FG=CE ,FG CE仍然成立理由如下: 四边形ABCD 是正方形, BC=CD , FBC= ECD=90 , 在 CBF与 DCE中, CBF DCE ( SAS ) , BCF= CDE ,CF=DE , EG=DE , CF=EG , DEEG DEC+ CEG=90 CDE+ DEC=90 CDE= CEG , BCF= CEG , CFEG , 四边形CEGF 平行四边形, FGCE ,FG=CE 23如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴的交点为 A、D(A在 D的右侧),与 y 轴的交 点为 C,且 A(4, 0) ,C( 0, 3) ,对称轴是直线x=1 (1)求二次函数的解析式; (2)若 M是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为m ,设四边形OCMA 的面积为s请写出 s 与 m之间的函数关系式,并求出当m为何值时,四边形OCMA 的面积最大; (3)设点 B是 x 轴上的点, P是抛物线上的点,是否存在点P,使得以A,B、 C,P四点为 顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,
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