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1、河南省洛阳市八年级(上)期末数学试卷 一、选择题(每小题3 分,共 30 分) 1若分式在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是() Ax 2Bx 2Cx 2Dx 2 2在下列计算中,正确的是() Ab3 ?b 3 b 6 Bx4 ?x 4 x 16 C( 2x2) 2 4x4 D3x2 ?4x 212x2 3如图, AOB30,点 P 在 AOB 的平分线上, PCOB 于点 C,PDOB 交 OA 于点 D、若 PD2,PC() A1B2C3D4 4下列因式分解正确的是() A12a2b 8ac+4a4a(3ab2c) B4x2+1(1+2x)(12x) C 4b2+4b1( 2b1)2
2、 Da 2+ab+b2( a+b)2 5如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离 依序为 2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两 螺丝的距离之最大值为() A5B6C7D10 6计算: a 2( b1)2 结果正确的是() Aa2 b 22b+1 Ba2 b 22b1 Ca2 b 2+2b1 Da2 b 2+2b+1 7分式方程1 的解为() Ax 2Bx 3Cx2Dx3 8如图,已知点B、E、C、F 在同一条直线上,BECF,B DEF ,请你添加一个合适的条件, 使 ABC DEF ,其中不正确条件是()
3、 AABDEBACDFC A DD ACB F 9如图,在RtABC 中, ACB90, CDAB,垂足为 D,AF 平分 CAB,交 CD 于点 E,交 CB 于点 F,则下列结论成立的是() AECEFBFEFCCCECFDCECFEF 10如图,将一张三角形纸片ABC 的一角折叠,使点 A 落在 ABC 外的 A处,折痕为DE如果 A , CEA , BDA ,那么下列式子中正确的是() A 2 +B +2C +D 180 二、填空题(每小题3 分,共 15 分) 11计算:(a3x40.9ax3) ax3 12一个等腰三角形一边长为3cm,另一边长为7cm,那么这个等腰三角形的周长是c
4、m 13将一副三角板如图放置,使点A 在 DE 上, BCDE,则 ACE 的度数为 14化简 15如图, 在 ABC 中,分别以点A 和点 C 为圆心, 大于AC 长为半径画弧, 两弧相交于点M、N, 作直线 MN 分别交 BC、AC 于点 D、E,若 ABC 的周长为23cm,ABD 的周长为 13cm,则 AE 为cm 三、解答题 16( 8 分)解答下列各题: (1)计算:( y2)( y+5)( y+3)( y 3) (2)分解因式:3x212 17( 8 分)化简分式(+),并在 2,3,4,5 这四个数中取一个合适的数 作为 a 的值代入求值 18( 8 分)有一张边长为a 厘米
5、的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b 厘米,木 工师傅设计了如图所示的三种方案: 小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2( a+b) 2, 对于方案一,小明是这样验证的: a2+ab+ab+b2 a 2+2ab+b2( a+b)2 请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程 方案二: 方案三: 19( 10 分)如图,在平面直角坐标系中,ABC 顶点的坐标分别是A( 1,3)、 B( 5,1)、 C( 2, 2) (1)画出 ABC 关于 y 轴对称的 ABC,并写出ABC各顶点的坐标; (2)求出 ABC 的面积 20( 10 分)如图, A B,AEBE,点 D 在
6、 AC 边上, 1 2,AE 和 BD 相交于点 O (1)求证: AEC BED; (2)若 1 40,求 BDE 的度数 21( 10 分)已知:如图,XOY90,点 A、B 分别在射线 OX、OY 上移动(不与点O 重合), BE 是 ABY 的平分线, BE 的反向延长线与OAB 的平分线相交于点C (1)当 OAB40时, ACB度; (2)随点 A、B 的移动,试问ACB 的大小是否变化?如果保持不变,请给出证明;如果发生变 化,请求出变化范围 22( 10 分)某超市预测某饮料会畅销、先用1800 元购进一批这种饮料,面市后果然供不应求, 又用 8100 元购进这种饮料,第二批饮
7、料的数量是第一批的3 倍,但单价比第一批贵2 元 (1)第一批饮料进货单价多少元? (2)若两次进饮料都按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于2700 元,那么销售单价至 少为多少元? 23( 11 分)如图 1,点 C 在线段 AB 上,(点 C 不与 A、B 重合),分别以AC、BC 为边在 AB 同 侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,连接 AE、BD 交于点 P 【观察猜想】 AE 与 BD 的数量关系是; APD 的度数为 【数学思考】 如图 2,当点 C 在线段 AB 外时,( 1)中的结论 、 是否仍然成立?若成立,请给予证明; 若不成立,请你写出正确结论再给予证明;
8、【拓展应用】 如图 3,点 E 为四边形ABCD 内一点,且满足AED BEC 90, AEDE,BECE,对角 线 AC、BD 交于点 P,AC10,则四边形ABCD 的面积为 河南省洛阳市八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题3 分,共 30 分) 1【分析】 直接利用分式有意义的条件分析得出答案 【解答】 解:代数式在实数范围内有意义, x+20, 解得: x 2 故选: D 【点评】 此题主要考查了分式有意义的条件,正确把握定义是解题关键 2【分析】 根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方进行解答 【解答】 解: A、b3?b3b6,正确; B、 x4?
9、x4x8,错误; C、( 2x2) 24x4,错误; D、3x2 ?4x 212x4,错误; 故选: A 【点评】 此题考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方,关键是根据单项式乘单项式、 同底数幂的乘法和积的乘方法则解答 3【分析】 作 PEOA 于 E,根据直角三角形的性质求出PE,根据角平分线的性质求出 PC 【解答】 解:作 PEOA 于 E, PD OB, EDP AOB30, PEPD1, 点 P 在 AOB 的平分线上,PC OB,PEOA, PCPE1, 故选: A 【点评】 本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边 的距离相等是解题的关
10、键 4【分析】 各项分解得到结果,即可作出判断 【解答】 解: A、原式 4a(3ab2c+1),不符合题意; B、原式( 1+2x)( 12x),符合题意; C、原式不能分解,不符合题意; D、原式不能分解,不符合题意, 故选: B 【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 5【分析】 若两个螺丝的距离最大,则此时这个木框的形状为三角形,可根据三条木棍的长来判断 有几种三角形的组合,然后分别找出这些三角形的最长边即可 【解答】 解:已知4 条木棍的四边长为2、3、4、 6; 选 2+3、4、6 作为三角形,则三边长为5、4、6;5465+4,能构
11、成三角形,此时两个螺 丝间的最长距离为6; 选 3+4、6、2 作为三角形,则三边长为2、7、6;6276+2,能构成三角形,此时两个螺 丝间的最大距离为7; 选 4+6、2、3 作为三角形,则三边长为10、2、3; 2+310,不能构成三角形,此种情况不成 立; 选 6+2、3、4 作为三角形,则三边长为8、3、4;而 3+48,不能构成三角形,此种情况不成 立; 综上所述,任两螺丝的距离之最大值为 7 故选: C 【点评】 此题实际考查的是三角形的三边关系定理,能够正确的判断出调整角度后三角形木框的 组合方法是解答的关键 6【分析】 原式利用完全平方公式化简,去括号即可得到结果 【解答】
12、解:原式 a2( b22b+1) a2 b 2+2b1 故选: C 【点评】 此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 7【分析】 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式 方程的解 【解答】 解:去分母得:2x x3, 解得: x 3, 经检验 x 3 是分式方程的解, 故选: B 【点评】 此题考查了分式方程的解,求出分式方程的解是解本题的关键 8【分析】 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可 【解答】 解: BECF, BE+ECEC+CF,即 BCEF,且 ABC DEF , 当 ACDF 时,满足SSA ,无法判定 ABC DE
13、F,故 B 不能; 当 ABDE 时,满足SAS ,可以判定ABC DEF ,故 B 可以; 当 ACB F 时,满足ASA,可以判定 ABC DEF,故 C 可以; 当 A D 时,满足AAS,可以判定ABC DEF ,故 D 可以; 故选: B 【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,即 SSS 、 SAS、ASA、AAS和 HL 9【分析】 求出 CAF BAF,B ACD ,根据三角形外角性质得出CEF CFE,即可得 出答案; 【解答】 解:在RtABC 中, ACB90, CDAB, CDB ACB90, ACD+BCD 90, BCD+B9
14、0, ACD B, AF 平分 CAB, CAE BAF, ACD+CAE B+BAF, CEF CFE , CECF 故选: C 【点评】 本题考查了直角三角形的性质,等腰三角形的判定,正确的识别图形是解题的关键 10【分析】 根据三角形的外角得:BDA A+ AFD, AFD A+CEA,代入已知可得结 论 【解答】 解:由折叠得:A A, BDA A+AFD , AFD A+CEA, A , CEA , BDA , BDA + + 2 + , 故选: A 【点评】 本题考查了三角形外角的性质,熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 是关键 二、填空题(每小题3 分,共 15 分
15、) 11【分析】 直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【解答】 解:(a3x40.9ax3)ax32a2x 故答案为: 2a2x 【点评】 此题主要考查了整式的除法运算,正确掌握运算法则是解题关键 12【分析】 题目给出等腰三角形有两条边长为3cm 和 7cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以 要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】 解:分两种情况: 当腰为 3 时, 3+3 7,所以不能构成三角形; 当腰为 7 时, 3+7 7,所以能构成三角形,周长是:3+7+717 故答案为: 17 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底
16、边的题目一定 要想到两种情况,分类进行讨论, 还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要, 也是解题的关键 13【分析】 根据两直线平行,内错角相等求出BCE E30,然后求出 ACE 的度数 【解答】 解: BCDE , BCE E30, ACE ACB BCE45 30 15, 故答案为: 15 【点评】 本题主要考查了平行线的性质,关键是掌握两直线平行,内错角相等 14【分析】 首先将原式化为,然后进行分式的加减运算 【解答】 解:原式 , 故答案为: 【点评】 此题考查的知识点是粉饰的加减法,关键明确如果是同分母分式,那么分母不变,把分 子直接相加减即可;如果是异分母分式,
17、则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再 相加减 15【分析】 利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题 【解答】 解:由题意可得:MN 是线段 AC 的垂直平分线, 则 AEEC,ADDC, ABC 的周长为23cm, ABD 的周长为13cm, AB+BC+AC 23cm,AB+BDADAB+BD+DC AB+BC13cm, AC231310(cm), AEAC5cm 故答案为: 5 【点评】 本题考查作图基本作图,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握线 段的垂直平分线的性质,属于中考常考题型 三、解答题 16【分析】 (1)根据整式的乘法计算解答即可; (2)根据平方
18、差公式分解因式即可 【解答】 解:( 1)原式 y2+3x10y2+93x 1; (2) 3x212 3(x+2)( x2) 【点评】 此题考查平方差公式,关键是根据平方差公式解答 17【分析】 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,再选取是分式有意义的a 的值代入计 算可得 【解答】 解:原式 ()? ? a+3, a 3、2、3, a 4 或 a 5, 则 a4 时,原式 7 【点评】 本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式 有意义的条件 18【分析】 根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程,本题得以解决 【解答】 解:由题意可得,
19、方案二: a2+ab+(a+b)ba2+ab+ab+b2a2+2ab+b2(a+b)2, 方案三: a2+ a2+2ab+b2( a+b) 2 【点评】 本题考查完全平方公式的几何背景,解答本题的关键是明确题意,写出相应的推导过程 19【分析】 (1)根据网格结构找出点A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1 、B 1 、C 1的位置,然后顺 次连接即可;根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可; (2)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解 【解答】 解:( 1)如图所示,ABC即为所求, 由图知 A( 1,3), B( 5,1), C( 2, 2); (2)AB
20、C的面积为 54 1533249 【点评】 本题考查了利用轴对称变换作图,三角形的面积,熟练掌握网格结构准确找出对应点的 位置是解题的关键 20【分析】 (1)根据全等三角形的判定即可判断AEC BED; (2)由( 1)可知: ECED, C BDE ,根据等腰三角形的性质即可知C 的度数,从而可 求出 BDE 的度数; 【解答】 证明:( 1) AE 和 BD 相交于点 O, AOD BOE 在 AOD 和 BOE 中, A B, BEO 2 又 1 2, 1 BEO, AEC BED 在 AEC 和 BED 中, , AEC BED (ASA) (2) AEC BED, ECED, C
21、BDE 在 EDC 中, ECED, 140, C EDC70, BDE C70 【点评】 本题考查全等三角形,解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定,本题属于中等 题型 21 【分析】 (1)先利用角平分线得出CABOAB, EBAYBA,再利用三角形的外 角的性质即可得出结论; (2)先利用角平分线得出 CAB OAB,EBAYBA,再利用三角形的外角的性质即 可得出结论 【解答】 解:( 1) XOY90, OAB40, ABY130, AC 平分 OAB,BE 平分 YBA, CAB OAB20, EBAYBA65, EBA C+CAB, C EBA CAB45, 故答案为: 45
22、; (2) ACB 的大小不变化 理由: AC 平分 OAB,BE 平分 YBA, CAB OAB, EBA YBA, EBA C+CAB, C EBA CABYBAOAB( YBA OAB), YBA OAB90, C90 45, 即: ACB 的大小不发生变化 【点评】 此题主要考查了角平分线定理,三角形的外角的性质,解本题的关键是得出YBA OAB90 22【分析】 (1)设第一批饮料进货单价为x 元 /瓶,则第二批饮料进货单价为(x+2)元 /瓶,根据 数量总价单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3 倍,即可得出关于x 的分式方程,解 之经检验后即可得出结论; (2)由数量总价单价可
23、得出第一、二批购进饮料的数量,设销售单价为y 元 /瓶,根据利润 销售单价销售数量进货总价结合获利不少于2700 元,即可得出关于y 的一元一次不等式, 解之取其最小值即可得出结论 【解答】 解:( 1)设第一批饮料进货单价为x 元/瓶,则第二批饮料进货单价为(x+2)元 /瓶, 依题意,得:3, 解得:x4, 经检验, x4 是原方程的解,且符合题意 答:第一批饮料进货单价是4 元/瓶 (2)由( 1)可知:第一批购进该种饮料450 瓶,第二批购进该种饮料1350 瓶 设销售单价为y 元/瓶, 依题意,得:(450+1350)y180081002700, 解得: y7 答:销售单价至少为7
24、元/瓶 【点评】 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等 量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式 23【分析】 【观察猜想】:证明ACE DCB(SAS ),可得 AE BD, CAO ODP,由 AOC DOP ,推出 DPO ACO60 【数学思考】:结论成立,证明方法类似 【拓展应用】: 证明 ACBD,可得 S 四边形ABCD ?AC?DP+?AC?PB ?AC?(DP+PB) ?AC?BD 【解答】 解:【观察猜想】:结论:AEBD APD 60 理由:设AE 交 CD 于点 O ADC, ECB 都是
25、等边三角形, CACD, ACD ECB60, CECB, ACE DCB , ACE DCB (SAS), AEBD, CAO ODP, AOC DOP, DPO ACO60, 即 APD60 故答案为AEBD,60 【数学思考】:结论仍然成立 理由:设AC 交 BD 于点 O ADC, ECB 都是等边三角形, CACD, ACD ECB60, CECB, ACE DCB ACE DCB (SAS), AEBD, PAO ODC, AOP DOC, APO DCO60, 即 APD60 【拓展应用】: 设AC交BE于点 O ADC, ECB 都是等腰直角三角形, ED EA, AED BEC90, CEEB, AEC DEB AEC DEB (SAS ), ACBD10, PBO OCE, BOP EOC, BPO CEO90, ACBD, S 四边形ABCD ?AC?DP+?AC?PB?AC?(DP+PB)?AC?BD50 故答案为50 【点评】 本题属于四边形综合题,考查了等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质等知识,解 题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题
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