模糊与概率.ppt
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1、模糊与概率,本章的主要问题:,模糊和概率的基本知识 模糊集合的几何图示 模糊集合的大小的表征 模糊集合的模糊程度的度量 模糊集合间的包含关系 模糊集合间的包含关系与模糊集合的模糊程度之间的关系,一、模糊和概率的基本知识,1.是否不确定性就是随机性?概率的概念是否包含了所有的不确定性的概念? Bayesian camp:概率是一种主观的先验知识,不是一种频率 和客观测量值 Lindley:概率是对不确定性唯一有效并充分的描述,所有其 他方法都是不充分的(直接指向模糊理论) 随机和模糊在概念和理论上都是有区别的 相似:通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性,都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分配
2、律 区别:对待 。经典集合论, 代表概率上不可能的事件。而模糊建立在,考虑两个问题: (1) 总是真的吗?(模糊存在吗) 考虑是否逻辑上或实际中有违背“无矛盾定理”的现象(Aristotle的三个思考定理之一,另外两个是排中定理 ,同一性定理 , 这些都是非黑即白的经典定理。) 模糊(矛盾)的产生,就是西方逻辑的结束 (2)是否可以推导条件概率算子 ? 经典集合论中 (公理) 模糊理论:利用超集 是其子集 的子集程 度来衡量模糊集合A的模糊性,这是模糊集合的特有问题。,2. 随机与模糊:是否与多少 模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性。 例子:明天有20%的几率下小雨(包含复合的
3、不确定性) 冰箱里有一个苹果的概率为50%(Probability) 冰箱里有半个苹果(Fuzzy) 停车位问题 模糊是一种确定的不定性(deterministic uncertainty),是物理 现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的,人们需 要重新审视现实模型。,不精确的椭圆,概率上的椭圆还是模糊的椭圆?没有随机性的问题,所以属于模糊问题。可否 ?概率并不能包括所有的问题。概率论是一种有限测量理论。,二、模糊集合的几何图示:sets as points,将论域X的所有模糊子集的集合模糊幂集合 看成一个超立方体 ,将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。非模糊集对应立方体的顶点。中点
4、离各顶点等距,最大模糊。 也是唯一满足以下特性的点: (多值连续集合理论),模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点,其坐标(匹配值)是(1/3,3/4)。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3,第二个元素x2的程度是3/4。立方体包含了两个元素x1, x2所有可能的模糊子集。四个顶点代表x1, x2的幂集2X。对角线连接了非模糊集合的补集。,越靠近模糊立方体的中点, A就越模糊。当A到达中点时,所有四个点 汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点, A就越确定。当A到达顶点时,全部四个点发散到四个顶点,得到二值幂集合2X。模糊立方体将Aristotelian集合“流放”到顶点处。,Prop
5、osition: A is properly fuzzy iff iff,完善模糊正方形,三、模糊集合的大小基数,A=(1/3,3/4)的基数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。(X, In, M)定义了模糊理论的基本测量空间。M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l1范数)。,两个模糊集合A和B的 距离: 距离就是如上图所示的欧几里德距离。最简单的距离就是 模糊汉明距离 ,它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉 明距离,基数 M可以重写成 距离的形式:,四、模糊集合的模糊程度模糊熵,A的模糊熵E(A),在单位超立方体In中从0到1,其中顶点的熵为0,表明不模糊,中点的熵为1,是最大
6、熵。从顶点到中点,熵逐渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式:,模糊熵定理:,模糊熵定理的几何图示。由对称性,完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。( ),五、模糊集合间的包含关系包含度定理,主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship):,如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9),那么A就是B的一个模糊子集,但B不是A的模糊子集。显然,这种模糊包含度是非模糊的,它是非黑即白的。,1.模糊子集的几何表示 B的所有模糊子集构成集合模糊幂集F(2B),它构
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