2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---圆锥曲线解答题(二).pdf
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1、2009 年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编 圆锥曲线(二) 71.记平面内动点 M到两条相交于原点 O 的直线 12 l , l的距离分别为 12 ,d d研究满足下列条 件下动点M的轨迹方程C (1)已知直线 12 l , l的方程为: 2 2 yx, (a)若 22 12 6dd ,指出方程 C所表示曲线的形状; (b)若 12 4dd,求方程 C 所表示的曲线所围成区域的面积; (c)若 12 12d d,研究方程C 所表示曲线的性质,写出3 个结论 (2)若 222 12 2ddd,试用 a,b 表示常数d 及直线 12 l , l的方程,使得动点M的轨迹方程C 恰为椭圆的标准
2、方程1 2 2 2 2 b y a x (0ba) 【解】 (1) (a) 22 29xy (b) 22 26 22 xyxy方程 C 所表示的曲线所围成区域为正方形面积为242 (c) 22 236xy,范围: 6,3 2xy;对称性:关于,x y和原点对称;渐近线为: 2 2 yx ( 2 ) 设 直 线 12 l , l的 方 程 为 : bx y a (0ba), 则 由 222 12 2ddd得, 22 2 2222 11 () xy d abab 令 22 ab d ab ,即得椭圆的标准方程1 2 2 2 2 b y a x (0ba) 72. 已 知 椭 圆 22 22 :1(
3、0) xy Cab ab 2 , 2 的离心率为yxb并且直线是 抛 物 线 xy4 2 的一条切线。 (I )求椭圆的方程; ()过点) 3 1 ,0(S的动直线L 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在, 求出点 T的坐标;若不存在,请说明理由。 解: ( I )由 0)42(: 4 22 2 bxbxy xy bxy 得消去 因直线 xybxy4 2 与抛物线相切04)42( 22 bb 1b 22 222 2 21 ,2 22 cab eabca aa ,故所求椭圆方程为.1 2 2 2 y x (II )当 L 与
4、 x 轴平行时,以AB为直径的圆的 方程: 222 ) 3 4 () 3 1 (yx 当 L 与 x 轴平行时,以AB为直径的圆的方程:1 22 yx, 由 1 0 1 ) 3 4 () 3 1 ( 22 222 y x yx yx 解得 即两圆相切于点(0,1) 因此,所求的点T 如果存在,只能是(0,1). 事实上,点T(0,1)就是所求的点,证明如 下。 当直线 L 垂直于 x 轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1) 若直线 L 不垂直于x 轴,可设直线L: 3 1 kxy 由 01612)918(: 1 2 3 1 22 2 2 kxxky y x kxy 得消去 记点),( 11 y
5、xA、 918 16 918 12 ),( 2 21 2 21 22 k xx k k xx yxB则1122 (,1),(,1),TAx yTBxy又因为 12121212 44 (1)(1)()() 33 TA TBx xyyx xkxkx所以 9 16 )( 3 4 )1( 2121 2 xxkxxk0 9 16 918 12 3 4 918 16 )1( 22 2 k k k k k TATB,即以 AB为直径的圆恒过点T(0,1), 故在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满 足条件 . 73.已知点 P (4,4) ,圆 C: 22 ()5(3)xmym与椭圆 E : 22 22 1
6、(0,0) xy ab ab 的 一个公共点为A(3, 1) ,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线 1 PF与圆 C相切。 (1)求 m 的值与椭圆E的方程; (2)设 D 为直线 PF1与圆 C 的切点, 在椭圆 E上是否存在点Q ,使 PDQ是以 PD 为底的等 腰三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由。 74.已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为4,离心率为 2 1 , 21, F F分别为其左右焦 点一动圆过点 2 F,且与直线1x相切 ( ) ()求椭圆 1 C的方程; ( ) 求动圆圆心轨迹C的方程; ( ) 在曲线C上有四个不同的点
7、QPNM,,满足 2 MF与 2 NF共线, 2 PF与 2 QF共 线,且0 22 MFPF,求四边形PMQN面积的最小值 解: ()()由已知可得3 1 2 2 1 42 222 cab c a a c e a , 则所求椭圆方程1 34 : 22 1 yx C. ()由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线C的焦点为)0 ,1 (,准线方程为 1x,则动圆圆心轨迹方程为xyC4: 2 . ()由题设知直线PQMN ,的斜率均存在且不为零 设直线MN的斜率为)0(kk,),(),( 2211 yxNyxM,则直线MN的方程为: ) 1(xky 联立xyC4: 2 消去y可得0)42( 22
8、22 kxkxk 由抛物线定义可知: 22 2 2122 4 42 42 11| kk k xxNFMFMN 同理可得 2 44|kPQ 又32) 1 2(8)44)( 4 4( 2 1 | 2 1 2 22 2 k kk k PQMNSPMQN (当且仅当1k时取到等号 ) 所以四边形PMQN面积的最小值为32. 75.如图, 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 长轴长为4,高心率为 1 . 2 过点(0,2)的直线l交椭 圆于,A B两点、交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点。 (I)求椭圆方程; ( )探究:| |O PO Q是否为常数? 解: (
9、I)由题意得 222 24 1 2 a c a abc 解得 2,3,1abc 所以椭圆方程为 22 1 43 xy ( )直线l方程为2ykx,则P的坐标为 2 (,0) k 设 1122 (,),(,),A x yB xy则 11 (,)C xy, 直线BC方程为 11 2121 , yyxx yyxx 令0y,得Q的横坐标为 12211212 1212 22() ()4 x yx ykx xxx x yyk xx 又 22 1 43 2 xy ykx 得 22 (34)1640.kxkx得 122 122 16 34 4 34 k xx k x x k , 代入 得 22 82 1624
10、 2 164(34)12 kkk xk kk , 得 2 | | |24 pQ OPOQxxk k ,| |OPOQ为常数 4 76. 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点为A, 椭圆C上两点,P Q在x轴上的射影分别 为左焦点 1 F和右焦点 2 F, 直线PQ的斜率为 3 2 , 过点A且与 1 AF垂直的直线与 x轴交于点 B, 1 AF B的外接圆为圆M (1) 求椭圆的离心率; (2) 直线 21 340 4 xya与圆M相交于,E F两点,且 21 2 ME MFa,求椭圆方程; (3) 设点(0,3)N在椭圆 C内部,若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于6
11、 2,求椭圆C的 短轴长的取值范围 解: ( 1)由条件可知 a b cP 2 ,, a b cQ 2 ,因为 2 3 PQk ,所以得:e 1 2 (2)由( 1)可知,cbca3,2,所以,0,3,0,3,0 1 cBcFcA,从而0, cM 半径为 a,因为 21 2 ME MFa,所以120EMF,可得:M到直线距离为 2 a 从而,求出2c,所以椭圆方程为: 22 1 1612 xy ; (3)因为点N在椭圆内部,所以b3 设椭圆上任意一点为yxK,,则 2 222 263yxKN 由条件可以整理得:0189418 22 byy对任意3,bbby恒成立, 所以有: 0189418 9
12、 2 2 bbb b 或者 018949189 9 2 2 b b 解之得: 2 b(6,12 26 77. 已知直线l:2ykx(k为常数)过椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的上顶点B和左焦 点F,直线l被圆 22 4xy截得的弦长为d (1)若2 3d,求k的值; ( 2)若 4 5 5 d,求椭圆离心率e的取值范围 解: ( 1)取弦的中点为M ,连结 OM 由平面几何知识, OM=1 1 1 2 2 k OM得 :3 2 k,3k 直线过F、B ,0k则 3k (2)设弦的中点为M ,连结 OM 则 2 2 1 4 k OM 22 2 44 5 4(4)() 15 d k
13、解得 2 1 4 k 5 4 1 1 ) 2 (4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 k k k a c e 5 52 0e 78.已知可行域 0 320 32 30 y xy xy 的外接圆C 与 x 轴交于点Al 、A2 ,椭圆Cl 以线段 l y x F B O A1A2为长轴,离心率 2 2 e (I)求圆C 及椭圆Cl 的方程; ()设椭圆C1的右焦点为F ,点 P 为圆C 上异于A 1、 A2的动点,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x =22于点 Q ,判断直线PQ 与圆 C的位置关系,并给出证明 解: ( 1)由题意可知,可行域是以 12 ( 2,0),(2,0)AA及点(1
14、, 3)M为顶点的三角形, 12 AMA M, 12 A A M为直角三角形, 外接圆C以原点O为圆心,线段A1A2为直径,故其方程为 22 4xy 2a=4,a=2又 2 2 e,2c,可得2b 所求椭圆C1的方程是 22 1 42 xy (2)直线PQ与圆C相切设 000 (,)(2)P xyx,则 22 00 4yx 当 0 2x时,1),0,22(),2,2( PQOP kkQP,OPPQ; 当 0 2x时, 0 0 OQ 0 0 2 , 2 y x k x y kFP 直线OQ的方程为 0 0 2x yx y 因此,点Q的坐标为) 422 ,22( 0 0 y x 0 0 00 00
15、 00 2 00 0 0 0 0 PQ )22( )22( )22( 422 22 422 y x xy xx xy yx x y y x k 当 0 0x时,0 PQ k,OPPQ; 当 0 0x时候, 0 0 OP y k x ,1 PQOP kk,PQOP. 综上,当 0 2x时,OPPQ,故直线PQ始终与圆C相切 79.若椭圆 1 E:1 2 1 2 2 1 2 b y a x 和椭圆 2 E: 1 2 2 2 2 2 2 b y a x 满足)0( 2 1 2 1 mm b b a a ,则称这 两个椭圆相似,m称为其相似比。 (1)求经过点)6,2(,且与椭圆1 24 22 yx
16、相似的椭圆方程。 (2)设过原点的一条射线l分别与( 1)中的两个椭圆交于A、B 两点(其中点A 在线段 OB上) ,求 OB OA 1 的最大值和最小值. 解: ( 1)设所求的椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x ,则有 1 64 22 22 ba ba 解得 8 16 2 2 b a 所要求的椭圆方程为1 816 22 yx (2)当射线与y轴重合时, OB OA 1 = 4 25 22 1 2 当射线不与坐标轴重合时,由椭圆的对称性,我们仅考察A、B在第一象限的情形。 设其方程为kxy(0,0 xk) ,设),( 11 yxA,),( 22 yxB 由 1 24 22 yx k
17、xy 解得 2 2 2 1 2 2 1 21 4 21 4 k k y k x 2 2 21 12 k k OA 由 1 816 22 yx kxy 解得 2 2 2 1 2 2 1 21 16 21 16 k k y k x 2 2 21 14 k k OB OB OA 1 14 21 21 12 2 2 2 2 k k k k 令 2 2 21 12 k k t则由 22 2 2 2 21 2 2 21 44 21 12 kk k k k t知22t OB OA 1 t t 2 1 , 记 t ttf 2 1 )(, 则)(tf在2,2(上 是 增 函 数 , )2()()2(ftff,
18、4 91 2 4 5 OB OA由知, OB OA 1 的最大值为 4 9 , OB OA 1 的最小值为 4 25 。 80.椭圆 C 的中心为坐标原点O,焦点在y 轴上,离心率 2 2 e,椭圆上的点到焦点的最短 距离为le 直线,1与 y 轴交于 P 点( 0,m) ,与椭圆C交于相异两点A、 B,且.PBAP ( 1)求椭圆方程; ( 2)若 mOPOBOA求,4 的取值范围 . 解: (1)设 222 2 2 2 2 ,0),0(1:baccba b x a y C设,由条件知 , 2 2 , 2 2 1 a c ca , 2 2 , 1cba故 C的方程为:1 2 1 2 2x y
19、 (2)由,)1 (),(,OBOAOPOPOBOAOPPBAP得 3,41 设 l 与椭圆 C 交点为),(),( 2211 yxByxA 0)2(2)2( 12 , 222 22 mkmxxk yx mkxy 得 0) 12(4) 1)(2(4)2( 22222 mkmkkm(* ) 2 1 , 2 2 2 2 21 2 21 k m xx k km xxPBAP3 21 3xx 2 221 221 3 2 xxx xxx 消去, 04)( 3, 21 2 212 xxxxx 得 0 2 1 4) 2 2 (3 2 2 2 2 2 k m k km 整理得0224 2222 kmmk 14
20、 22 , 4 1 :, 4 1 2 2 222 m m kmm时上式不成立时,因3,0k ,0 14 22 2 2 2 m m k1 2 1 2 1 1mm或 容易验证,22 22 成立mk所以(* )成立即所求 m 的取值范围为)1 , 2 1 () 2 1 , 1( 81. 设,x yR,i, j为直角坐标系中的单位向量,(2)axiyj,(2)bxiyj, | 8ab。 (1)求动点( , )M x y的轨迹 C的方程; (2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于 A、B 两点,若OPOAOB,是否存在直线l使得 OAPB为矩形 ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由 解: (
21、 1) (2)axiyj,(2)bxiyj,| 8ab 动点( ,)M x y到定点 1(0, 2) F、 2(0,2) F的距离之和为8 曲线 C的轨迹方裎为 22 1 1216 xy (2) 直线l过(0,3)N,若l是y轴,则 A、B是椭圆的顶点。0OPOAOB P与O重合,与OAPB为矩形矛盾。直线l的斜率存在 设l:3ykx, 11 (,)A xy, 22 (,)B xy 由 22 3 1 1216 ykx xy 得 22 (43)18210kxkx 22 4 818 21(43)0kk恒成立由韦达定理得 122 18 34 k xx k , 122 21 34 xx k OPOAO
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- 2009 全国各地 数学模拟 试卷 新课 精编 圆锥曲线 解答
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