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1、题库:几何图形探究学习型问题 类型一线段问题 1. 我们定义: 如图,在 ABC 中, 把 AB 绕点 A 顺时针旋转 (0 180 )得到 AB, 把 AC 绕点 A 逆时针旋转得到 AC ,连接 BC.当 180 时,我们称 ABC 是 ABC 的“旋补三角形”ABC边 BC上的中线AD 叫做 ABC 的“旋补中线”,点 A 叫做“旋 补中心” 第 1 题图 特例感知 (1)在图,图中, ABC是 ABC 的“旋补三角形”,AD 是 ABC 的“旋补中线” 如图,当ABC 为等边三角形时,AD 与 BC 的数量关系为AD_BC; 如图,当BAC90 ,BC8 时,则 AD 长为 _ 猜想论
2、证 (2)在图中,当ABC 为任意三角形时,猜想AD 与 BC 的数量关系,并给予证明 拓展应用 (3)如图,在四边形ABCD 中, C90 , D150 , BC12, CD23,DA6. 在四边形内部是否存在点P,使 PDC 是 P AB 的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并 求 PAB 的“旋补中线”长;若不存在,请说明理由 第 1 题图 解:( 1) 1 2; 4; 【解法提示】 由旋转可得到ABABAC AC, BAC60 , BAC 120 ,即 AB C ACB30 , 又 AD 为 B C上的中线, AD 1 2AB 1 2AB 1 2BC; 由“旋补三角形”定义可得:BAC
3、90 , AB C ABC, BC BC, AD 1 2BC4. (2)猜想: AD 1 2BC. 证明:如解图,延长AD 至 E,使 DEAD,连接 B E,CE. 第 1 题解图 AD 是 ABC 的“旋补中线”, BDC D. 四边形ABEC 是平行四边形, EC BA,EC BA, ACE BAC 180 . 由定义可知BAC BAC 180 ,BABA,ACAC , ACE BAC, EC BA, AC E CAB(SAS), AEBC, AD 1 2AE, AD 1 2BC; 【一题多解】证明:如解图,延长BA 至 F,使 AFB A,连接 C F, 第 1 题解图 B AC C
4、AF180 . 由定义可知BAC BAC 180 ,BA BA,ACAC, CAB CAF, ABAF, ABC AFC(SAS), BCFC , BDC D,BAAF, 在 B C F 中, AD 1 2FC , AD 1 2BC. 证明: 如解图, 将 AB C绕点 A 顺时针旋转 CAC 的度数, 得到 AEC,此时 AC 与 AC 重合, D 的对应点为D,连接 AD. 第 1 题解图 由定义可知BAC BAC 180 . 由旋转得 BAC EAC, BAC EAC180 , E,A,B 三点在同一直线上, ABAB AE,ED DC, AD是 EBC 的中位线, AD 1 2BC,
5、即 AD 1 2BC. (3)存在; 证明:如解图,在四边形ABCD 中选一点 P,作 PE 垂直平分BC,且使 PECD,连 接 PA、PB、PC、PD, 第 1 题解图 可得 PC PB,PE CD, DCE 90 . 四边形PECD 为矩形; PECD2 3,PD CEAD6, PDC90 ; tanPCE PE CE 3 3 , PCE PBE 30 ,即 BPC120 ; 又由 ADC150 ,可得 ADP60 , PAD 为等边三角形, PDPA, APD60 ; BPC DPA120 60 180 , PCD 是 PAB 的“旋补三角形”; 如解图,取CD 的中点 M,连接 PM
6、, 第 1 题解图 可得 DM3,PD6. 由勾股定理得PMDM 2 PD2 (3) 262 39. 2. 在正方形ABCD 中,BD 是一条对角线,点 P 在直线 CD 上(不与点 C、D 重合 ),连 接 AP,平移 ADP,使点 D 移动到点C,得到 BCQ,过点 Q 作 QHBD 于点 H,连接 AH, PH. (1)问题发现:如图,若点P 在线段 CD 上, AH 与 PH 的数量关系是_,位置 关系是 _; (2)拓展探究:如图,若点P 在线段 CD 的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论是否 仍然成立?若成立,请给出证明,否则说明理由; (3)解决问题:若点P 在线段 DC 的
7、延长线上,且AHQ120 ,正方形 ABCD 的边长为 2,请直接写出DP 的长度 图图 第 2 题图 备用图 解:( 1)AHPH,AH PH; 【解法提示】如解图,连接HC, 第 2 题解图 四边形ABCD 是正方形, BDC45 , 又 QHBD , DHQ 是等腰直角三角形, HD HQ, HDP HQC45 ,由平移的性质可知DPCQ, 在 HDP 和 HQC 中, HD HQ HDP HQC DP QC , HDP HQC, HPHC, DHP QHC, 根据正方形是轴对称图形得到HAHC, AHD CHD , AHP AHD DHP CHD QHC 90 ,即 AH PH. HA
8、HP,AHPH . (2)(1)中的结论仍然成立, 理由如下:如解图,连接HC, 第 2 题解图 四边形ABCD 是正方形, BDC45 , 又 QHBD , DHQ 是等腰直角三角形, HDP HQC135 ,HDHQ,由平移的性质可知DPCQ, 在 HDP 和 HQC 中, HD HQ HDP HQC PD CQ , HDP HQC(SAS), HPHC, DHP QHC, 根据正方形是轴对称图形得到HAHC, AHD CHD , AHP AHD DHP CHD CHQ90 , HAHP,AHPH ; (3)DP2 3. 【解法提示】由(1)知, AHPH,AHPH, HPA45 , AH
9、Q120 , PHQ120 90 30 , PHD QHD PHQ 60 , AHB CHB AHP PHD 30 , CHP CHB AHB30 , CPH180 CHP 2 75 , APD CPH APH30 , 在 RtADP 中, AD 2, DP 2 tanAPD 2 3. 3. (1)问题发现 如图, ABC 和 ADE 均为等边三角形,点D 在边 BC 上,连接CE.请填空: ACE 的度数为 _; 线段 AC、CD、CE 之间的数量关系为_ (2)拓展探究 如图, ABC 和 ADE 均为等腰直角三角形,BAC DAE90 ,点 D 在边 BC 上,连接CE.请判断 ACE
10、的度数及线段AC、CD、CE 之间的数量关系,并说明理由 (3)解决问题 如图,在四边形ABCD 中, BAD BCD90 , ABAD2,CD1,AC 与 BD 交于点 E,请直接写出线段AC 的长度 第 3 题图 解:( 1) 60; 【解法提示】 ABC 和 ADE 均为等边三角形, ABAC, ADAE, BAC DAE B60 , BAC DAC DAE DAC, 即 BAD CAE, BAD CAE(SAS), ACE B60 . ACCDCE; 【解法提示】由得: BAD CAE, BDCE, ACBCBDCD, ACCDCE. (2)ACE 45 ,2ACCDCE,理由是: A
11、BC 和 ADE 均为等腰直角三角形,且BAC DAE 90 , ABAC, ADAE, BAC DAC DAE DAC, 即 BAD CAE, ABD ACE, BDCE, ACE B45 , BCCDBD, BCCDCE, 在等腰直角三角形ABC 中, BC2AC, 2ACCDCE; (3) 142 2 . 第 3 题解图 【解法提示】如解图,过A 作 AC 的垂线,交CB 的延长线于点F, BAD BCD90 ,ABAD 2,CD1, BD22,BC7, BAD BCD90 , BAD BCD180 , A、B、C、D 四点共圆 ADB ACB45 , ACF 是等腰直角三角形, 由(2
12、)得2ACBCCD, AC BCCD 2 71 2 142 2 . 4. 如图,菱形ABCD 中,已知 BAD120 , EGF60 , EGF 的顶点 G 在菱 形对角线AC 上运动,角的两边分别交边BC、CD 于点 E、F. (1)如图,当顶点G 运动到与点A 重合时 求证: ECCFBC; 第 4 题图 (2)知识探究: 如图,当顶点G 运动到 AC 中点时,探究线段EC、CF 与 BC 的数量关系; 在顶点G 的运动过程中,若 AC CG t,请直接写出线段EC、CF 与 BC 的数量关系 (不需 要写出证明过程); (3)问题解决: 如图,已知菱形边长为8,BG 7,CF6 5,当
13、t 2 时,求 EC 的长度 第 4 题图 (1)证明: 四边形ABCD 是菱形, BAD120 , BAC60 , B ACF60 ,ABBC, ABAC, BAE EAC EAC CAF60 , BAE CAF, 在 BAE 和 CAF 中, BAE CAF AB AC B ACF , BAE CAF(ASA) , BECF, ECCFECBEBC, 即 ECCFBC; (2)解: 线段 EC,CF 与 BC 的数量关系为:CECF1 2BC. 理由如下: 如解图,过点A 作 AE EG, AFGF ,分别交BC、CD 于点 E 、F. 第 4 题解图 类比 (1)可得: E CCFBC,
14、 G 为 AC 的中点, AEEG, CE CE CG AC 1 2, CE 1 2CE, 同理可得: CF 1 2CF, CECF 1 2CE 1 2CF 1 2(CE CF ) 1 2BC, 即 CECF 1 2BC; CECF 1 t BC; 【解法提示】如解图,类比(1)可得: ECCF BC, AE EG, AC CG t, CE CE CG AC 1 t , CE 1 t CE, 同理可得: CF 1 t CF, CECF 1 t CE 1 t CF 1 t (CE CF ) 1 t BC. 即 CECF 1 t BC; (3)解: 如解图,连接BD,与 AC 交于点 H. 第 4
15、 题解图 在 RtABH 中, AB8, BAC60 , BHAB sin60 8 3 2 4 3, AHCHAB cos60 8 1 24, GHBG 2BH2 7 2( 4 3)21, CG41 3, CG AC 3 8, t8 3(t2), 由(2)得: CECF 1 t BC, CE 1 t BCCF 3 88 6 5 9 5, EC 的长度为 9 5. 5. 【探究证明】 (1)某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行 探究,提出下列问题,请你给出证明: 如图,矩形ABCD 中, EF GH,EF 分别交 AB,CD 于点 E,F,GH 分别交 AD,
16、BC 于点 G, H.求证: EF GH AD AB ; 第 5 题图 【结论应用】 (2)如图, 在满足 (1)的条件下, 又 AMBN,点 M,N 分别在边BC,CD 上若 EF GH 11 15, 则 BN AM 的值为 _; 【联系拓展】 (3)如图,四边形ABCD 中, ABC90 ,ABAD10,BCCD5,AMDN,点 M,N 分别在边BC,AB 上,求 DN AM的值 (1)证明: 如解图,过点D 作 DM GH,交 BC 于点 M,过点 C 作 CN EF,交 AB 于点 N, 四边形ABCD 是矩形, ABCD,ADBC,ABCD, ADBC, DCB CBA90 , DC
17、N BCN90 . 四边形DGHM 、四边形EFCN 是平行四边形, 第 5 题解图 DM GH,EFCN. EFGH, DM CN, DCN CDM 90 . CDM BCN. CBN DCM , CN DM BC CD , EF GH AD AB; (2)解: 11 15. 【解法提示】由(1)的结论可得 EF GH AD AB BN AM 11 15. (3)解: 如解图,连接AC、BD 交于点 O, 第 5 题解图 ABAD,BCCD, AC 垂直平分BD, 由(2)的结论可得 DN AM DB AC , ABAD10,BCCD5, ABC 90 , ACAB2BC2102 5255.
18、 AC 垂直平分BD, ABBC AC BO,解得 BO25. BD45. DN AM DB AC 4 5 55 4 5. 6. 某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究: 在 ABC 中, BAC 90 ,ABAC,点 D 为直线 BC 上一动点 (点 D 不与 B,C 重合 ),以 AD 为边在 AD 右侧作正方形ADEF,连接 CF. (1)观察猜想 如图,当点D 在线段 BC 上时, BC 与 CF 的位置关系为:_ BC,CD,CF 之间的数量关系为:_(将结论直接写在横线上) 第 6 题图 (2)数学思考 如图,当点D 在线段 CB 的延长线上时,结
19、论,是否仍然成立?若成立,请给予 证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明 (3)拓展延伸 如图,当点D 在线段 BC 的延长线上时,延长BA 交 CF 于点 G,连接 GE.若已知 AB 22,CD1 4BC,请求出 GE 的长 解:( 1) BCCF; BC CDCF; 【解法提示】 BAC DAF90 , BAD CAF, 又 ABAC,ADAF, ABD ACF(SAS), ACF ABC45 , ACB45 , BCF ACB ACF90 ,即 BCCF; 由得 ABD ACF, BDCF, BCCDBD, BCCDCF. (2)结论仍然成立,不成立 证明:BAC DAF 90 , BAD CAF, 又 ABAC,ADAF, ABD ACF(SAS), ACF ABD180 45 135 , ACB45 , BCF90 ,即 BCCF; 结论为: BCCDCF. 证明: ABD ACF, BDCF, BCCDBD, BCCDCF; (3)过点 E 作 EMCF 于点 M,作 ENBD 于点 N,过点 A 作 AHBD 于点 H,如解 图,则 CNME,CMEN, 第 6 题解图 ABAC 2 2, BC4,AH1 2BC2,
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