2019届北京市西城区高三统一测试数学(理科)试题(含答案).pdf
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1、1 / 16 北京市西城区高三统一测试 数学(理科) 2019.4 第卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四 个选项中,选出符合题目要求的一项 1设全集 UR ,集合|0 2Axx, 3, 1,1,3B,则集合() UA Be (A) 3,1(B) 3,1,3 (C) 1,3(D) 1,1 2若复数 1i 2i z ,则在复平面内z对应的点位于 (A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限 3. 执行如图所示的程序框图,则输出的k 值为 (A)4 (B)5 (C)7 (D)9 4下列直线中,与曲线 C: 12 , ()
2、 24 xt t yt 为参数 没有公共点的是 (A) 20xy (B)2 40xy (C) 20xy (D) 240xy 2 / 16 5. 设, ,a b m均为正数,则“ba ”是“ ama bmb ”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 6如图,阴影表示的平面区域W 是由曲线0xy, 22 2xy所围成的 . 若点( ,)P x y 在 W 内(含边界),则43zxy的最大值和最小值分别为 (A)5 2,7 (B)5 2,5 2 (C) 7 ,5 2 (D) 7 ,7 7. 团体购买公园门票,票价如下表: 购票人数150 51100
3、 100 以上 门票价格13 元/人11 元/ 人9 元/ 人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园,若按部门作为团体,选择两个不 同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费为1290 元;若两个部门合在一起作为 一个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费为990 元,那么这两个部门的人数 之差为 (A)20(B)30 (C)35(D)40 8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径,那么曲线 42 2xy 围成的平面区域的直径为 (A) 4 32(B)3 (C)2 2(D)4 3 / 16 4 / 16 第卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共6
4、 小题,每小题5 分,共 30 分 9. 在等比数列 n a中, 2 1a, 5 8a,则数列 n a的前 n 项和 n S_ 10设 1F,2F为双曲线 22 22 1(0,0) xy Cab ab :的两个焦点,若双曲线C 的两个顶点恰 好将线段 12 F F三等分,则双曲线C 的离心率为 _ 11函数 ( )sin2cos2f xxx的最小正周期 T _;如果对于任意的xR都有 ( )f xa ,那 么实数 a 的取值范围是_ 12某四棱锥的三视图如图所示,那么此四棱锥的体积为_ 13. 能说明 “若sincos,则36090k,其中k Z”为假命题的一组 , 的值是 _ 14如图所示,
5、玩具计数算盘的三档上各有7 个算珠,现将每档算珠分为左右两部分,左侧 的每个算珠表示数2,右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠),记上、中、下三档 的数字和分别为a, b ,c. 例如,图中上档的数字和9a. 若a, b ,c成等差数 列,则不同的分珠计数法有_种. 5 / 16 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15(本小题满分13 分) 在 ABC 中,已知 222 acbmac ,其中 m R . ()判断m能否等于3,并说明理由; ()若1m,2 7b,4c,求 sin A 16(本小题满分14 分) 如图,在多面体ABCDEF中,
6、梯形 ADEF与平行四边形 ABCD所在平面互相垂直, /AFDE,DEAD,ADBE, 1 1 2 AFADDE,2AB. ()求证:/BF平面CDE; ()求二面角 BEFD的余弦值; ()判断线段BE上是否存在点Q,使得 平面CDQ平面BEF?若存在,求 出 BQ BE 的值,若不存在,说明理由 17(本小题满分13 分) 为培养学生的阅读习惯,某校开展了为期一年的“弘扬传统文化,阅读经典名著” 活动 . 活动后,为了解阅读情况,学校统计了甲、乙两组各10 名学生的阅读量(单位:本),统 计结果用茎叶图记录如下,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以a 表示 . ()若甲组阅读量的
7、平均值大于乙组阅读量的平均值,求图中 a 的所有可能取值; ()将甲、乙两组中阅读量超过15 本的学生称为“阅读达人” . 设3a,现从所有 “阅读达人”里任取3 人,求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望. ()记甲组阅读量的方差为 2 0 s. 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组,若A的阅读 量为 10,则记新甲组阅读量的方差为 2 1 s;若 A的阅读量为 20,则记新甲组阅读量 6 / 16 的方差为 2 2 s,试比较 2 0 s, 2 1 s, 2 2 s的大小 . (结论不要求证明) 7 / 16 18(本小题满分13 分) 设函数 2 ( )e3 x fxmx,其中 mR ()
8、当()fx为偶函数时,求函数()()h xxfx 的极值; ()若函数()fx在区间 2 , 4 上有两个零点,求 m的取值范围 19(本小题满分14 分) 已知椭圆 W : 22 1 4 xy mm 的长轴长为4,左、右顶点分别为,A B ,经过点( ,0)P n的直 线与椭圆 W 相交于不同的两点,C D (不与点,A B 重合) . ()当0n,且直线CDx轴时,求四边形ACBD的面积; ()设1n,直线CB与直线4x相交于点M ,求证:,A D M三点共线 . 20(本小题满分13 分) 如图,设A是由 nn(2)n个实数组成的n行n列的数表,其中 ij a( ,1,2, )i jn
9、表 示位于第i行第 j 列的实数,且1, 1 ij a. 11 a 12 a 1n a 21a22a2 na 1n a 2n a nn a 定义 1122stststsntn pa aa aa a( ,1,2, )s tn 为第 s 行与第 t 行的积 . 若对于任意 , s t ( st1),都有0 st p,则称数表A为完美数表 . ()当2n时,试写出一个符合条件的完美数表; ()证明:不存在10 行 10 列的完美数表; ()设A为n行n列的完美数表, 且对于任意的1,2,ilL和1,2,jkL, 都有1 ij a, 证明:kln. 北京市西城区高三统一测试 数学(理科)参考答案及评分
10、标准2019.4 8 / 16 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分. 1B 2D 3D 4C 5C 6A 7B 8B 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分. 9 1 1 2 2 n 103 11 ;2a 12 4 3 13答案不唯一, 如110,2014 32 注:第 11 题第一问3 分,第二问2 分. 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15(本小题满分13 分) 解:()当3m时,由题可知 222 3acbac, 由余弦定理 222 2cosbacacB, 3 分 得 222 3 cos 22 ac
11、b B ac 4 分 这与cos1,1B矛盾, 所以m不可能等于 3 . 6 分 ()由(),得 1 cos 22 m B,所以 2 3 B. 7 分 因为2 7b,4c, 222 acbac, 所以 2 16284aa, 解得6a(舍)或2a. 9 分 在ABC中, 由正弦定理 sinsin ab AB ,11 分 9 / 16 得 sin2321 sin 214 2 7 aB A b . 13 分 16(本小题满分14 分) 解:()由底面ABCD为平行四边形,知/ABCD, 又因为AB平面CDE,CD平面CDE, 所以/AB平面CDE. 2 分 同理/AF平面CDE, 又因为 ABAFA
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