2019高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值与范围问题学案.pdf
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1、1 第 3 讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一,主要以解答 题形式考查,往往作为试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,试题难度较大,对 考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018北京卷 ) 已知抛物线C:y 22px 经过点P(1 ,2). 过点Q(0 ,1)的直线l与抛物线C 有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (1) 求直线l的斜率的取值范围; (2) 设O为原点,QM QO ,QN QO ,求证: 1 1 为定值 . 解(1) 因为抛物线y 22
2、px 过点 (1 ,2) , 所以 2p4,即p2. 故抛物线C的方程为y 24x. 由题意知,直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为ykx1(k0). 由 y 24x, ykx1 得k 2x2(2 k4)x 10. 依题意 (2k4) 24 k 210, 解得k0,得 34k 2 m 2 0, 当m1 2k时,l的方程为yk(x2) , 直线过定点 (2 ,0) ,与已知矛盾 . 当m2 2k 7 时,l的方程为yk x 2 7 , 4 直线过定点 2 7,0 ,且满足, 直线l过定点,定点坐标为 2 7,0 . 探究提高(1) 动直线l过定点问题解法:设动直线方程( 斜率存在 ) 为
3、ykxt,由题设条 件将t用k表示为tmk,得yk(xm) ,故动直线过定点( m,0).(2)动曲线C过定点问 题解法:引入参变量建立曲线C的方程, 再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出 定点 . 考法 2 定值的探究与证明 【例 12】 (2018金丽衢联考) 已知O为坐标原点,直线l:xmyb与抛物线E:y 2 2px(p0) 相交于A,B两点 . (1) 当b2p时,求OA OB ; (2) 当p1 2且 b3 时,设点C的坐标为 ( 3, 0) ,记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证 明: 1 k 2 1 1 k 2 2 2m 2 为定值 . 解设A(x1,y1) ,B
4、(x2,y2) ,联立方程 y 2 2px, xmyb, 消元得y 22mpy 2pb0, 所以y1y22mp,y1y2 2pb. (1) 当b2p时,y1y2 4p 2, x1x2 (y1y2) 2 4p 24p 2, 所以OA OB x1x2y1y24p 24p20. (2) 证明当p 1 2且 b3 时,y1y2m,y1y2 3. 因为k1 y1 x13 y1 my16, k2 y2 x23 y2 my26, 所以 1 k1 m 6 y1, 1 k2 m 6 y2. 因此 1 k 2 1 1 k 2 2 2m 2 m 6 y1 2 m 6 y2 2 2m 2 2m 212m 1 y1 1
5、 y2 36 1 y 2 1 1 y 2 2 2m 2 12m y1y2 y1y2 36 (y1y2) 22y 1y2 y 2 1y 2 2 12m m 3 36 m 26 9 24, 5 即 1 k 2 1 1 k 2 22m 2 为定值 . 探究提高(1) 求定值问题常见的方法有两种:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与 变量无关 . 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2) 定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问 题选择消元的方向是非常关键的. 【训练 11】 (2017北京卷 ) 已知抛物线C:y 22px 过点P(1
6、,1) ,过点0,1 2 作直线l 与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其 中O为原点 . (1) 求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2) 求证:A为线段BM的中点 . (1) 解把P(1 , 1)代入y 22px,得 p1 2, 所以抛物线C的方程为y 2 x, 焦点坐标为 1 4 ,0 ,准线方程为x 1 4. (2) 证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所 以直线MN( 也就是直线l) 斜率存在且不为零. 由题意,设直线l的方程为ykx 1 2( k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1
7、) ,N(x2,y2). 由 ykx1 2, y 2 x, 得 4k 2 x 2(4 k 4)x10. 考虑 (4k4) 244 k 216(12k) , 由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以k 17 4 得, 4 S1 S2 2 17 S1 S240, 解得 S1 S24 或 S1 S20)的直 线交E于A,M两点,点N在E上,MANA. (1) 当t4,|AM| |AN| 时,求AMN的面积; (2) 当 2|AM| |AN| 时,求k的取值范围 . 10 解设M(x1,y1) ,则由题意知y10. (1) 当t4 时,E的方程为 x 2 4 y 2 3 1,A( 2, 0). 由|A
8、M| |AN| 及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 4 . 因此直线AM的方程为yx2. 将xy2 代入 x 2 4 y 2 3 1 得 7y 212y0, 解得y 0或y 12 7 ,所以y1 12 7 . 因此AMN的面积SAMN2 1 2 12 7 12 7 144 49 . (2) 由题意t3,k0,A( t, 0) , 将直线AM的方程yk(xt) 代入 x 2 t y 2 3 1 得 (3tk 2) x 2 2ttk 2x t 2k23t 0. 由x1( t) t 2k2 3 t 3tk 2得x1 t(3tk 2) 3tk 2, 故|AM| |x1t|1k 26 t(1k 2)
9、3tk 2. 由题设,直线AN的方程为y 1 k( xt) ,故同理可得 |AN| 6kt( 1k 2) 3k 2 t . 由 2|AM| |AN| 得 2 3tk 2 k 3k 2 t , 即(k 32) t3k(2k1), 当k 3 2时上式不成立,因此t3k(2k1) k 32. t3 等价于 k 32k2 k2 k 32 (k2)(k 2 1) k 320, k 320,解得 3 23,且 m 3 tan AMB 2 3,m9, 综上,m的取值范围是 (0 ,1 9 , ). 答案A 4. 已知F是抛物线C:y 2 8x 的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N. 若M为FN 的
10、中点,则 |FN| ( ) A.3 B.5 C.6 D.10 14 解析因y 28x,则 p 4,焦点为F(2 ,0) ,准线l:x 2. 如图, M为FN中点, 故易知线段BM为梯形AFNC的中位线, |CN| 2, |AF| 4, |MB| 3, 又由定义 |MB| |MF| , 且|MN| |MF| , |NF| |NM| |MF| 2|MB| 6. 答案C 5.(2018 北京西城区调研) 过抛物线y 2 43x的焦点的直线l与双曲线C:x 2 2 y 21 的两 个交点分别为 (x1,y1) ,(x2,y2) ,若x1x20,则直线l的斜率k的取值范围是 ( ) A. 1 2, 1
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