《7升8教师版全等三角形中的常用辅助线(经典).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《7升8教师版全等三角形中的常用辅助线(经典).pdf(18页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、7 升 8 教师版全等三角形中的常用辅助线( 经典) 三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标: 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点: 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、 掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高 解决实际问题的能力。 三、考点分析: 全等三角形是初中数学中的重要内容之一,是今后学习其他知识的基础。 判 断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS和 HL,如果所给条件充足,则可直 接根据相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结 合相应的公理进行分析,先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题 要构造合适的全等三角形
2、,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化 难为易了。 典型例题 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还 要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 全等三角形辅助 线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在 哪两个可能全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等; (3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: 延长中线构造全等三角形; 利用翻折,构造全等三角形; 引平行线构造全等三角形
3、; 作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: (2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构 造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例 2:如图,已知 ABC中,AD 是BAC 的 平分线,AD 又是 BC 边上的中线。 求证:ABC 是等腰三角形。 思路分析 : 1)题意分析 :本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2)解题思路 :在证明三角形的问题中特别要 注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件, 一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这一条件,而且要求证 AB=AC,可倍长 AD 得全等三角形,从而问题 得
4、证。 解答过程: 证明:延长 AD 到 E,使 DE=AD ,连接 BE。 又因为 AD 是 BC 边上的中线, BD=DC 又BDE=CDA BED CAD , 故 EB=AC,E=2, AD 是BAC 的平分线 1=2, 1=E, AB=EB ,从而 AB=AC ,即ABC 是等腰三角形。 解题后的思考:题目中如果出现了三角形的中线,常加倍延长此线段,再将 端点连结,便可得到全等三角形。 (4)过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例 4:如图, ABC中,AB=AC ,E是 AB上一点, F 是 AC延长线上一点,连EF 交
5、BC于 D,若 EB=CF 。 求证: DE=DF 。 思路分析 : 1)题意分析 :本题考查全等三角形常见辅助线的知识:作平行线。 2)解题思路 :因为 DE、DF 所在的两个三角 形 DEB与 DFC不可能全等,又知EB=CF, 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代 换:过 E 作 EG/CF ,构造中心对称型全等三角 形, 再利用等腰三角形的性质, 使问题得以解决。 解答过程: 证明:过 E作 EG/AC交 BC于 G , 则EGB= ACB , 又 AB=AC , B=ACB , B=EGB , EGD= DCF , EB=EG=CF, EDB= CDF ,DGE DCF , DE
6、=DF 。 解题后的思考: 此题的辅助线还可以有以下几种作法: 例 5:ABC中, BAC=60 , C=40 ,AP平分BAC交 BC于 P,BQ平分 ABC 交 AC于 Q ,求证: AB+BP=BQ+AQ。 思路分析 : 1)题意分析 :本题考查全等三角形常见辅助线的知识:作平行线。 2)解题思路 :本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂,我们可以通 过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作 BC的平行线。得 ADO AQO 。得到 OD=OQ,AD=AQ ,只要再证出 BD=OD 就可以 了。 解答过程 : 证明:如图( 1),过 O作 OD B
7、C交 AB于 D, ADO= ABC=180 6040=80, 又 AQO= C+ QBC=80 , ADO= AQO , 又 DAO= QAO ,OA=AO, ADO AQO , OD=OQ,AD=AQ , 又OD BP , PBO= DOB , 又 PBO= DBO , DBO= DOB , BD=OD, 又 BPA= C+ PAC=70 , BOP= OBA+ BAO=70 , BOP= BPO , BP=OB , AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考: (1) 本题也可以在 AB上截取 AD=AQ , 连 OD , 构造全等三角形, 即 “截长法”
8、。 (2)本题利用“平行法”的解法也较多,举例如下: 如图( 2),过 O作 OD BC交 AC于 D ,则 ADO ABO 从而得以解决。 如图( 5),过 P作 PD BQ交 AC于 D ,则 ABP ADP从而得以解决。 小结:通过一题的多种辅助线添加方法,体会添加辅助线的目的在于构造全 等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的,体会构 造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到,不论是作平行 线还是倍长中线,实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构 造了全等三角形。 (5)截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等,或
9、是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例 6:如图甲, AD BC ,点 E在线段 AB上, ADE =CDE ,DCE =ECB 。 求证: CD =AD +BC 。 思路分析: 1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识:截长法或补短法。 2)解题思路: 结论是 CD =AD +BC ,可考虑用“截长补短法”中的“截长”, 即在 CD上截取 CF =CB ,只要再证 DF =DA即可,这就转化为证明两线段相等的问 题,从而达到简化问题的目的。 解答过程 : 证明:在 CD上截取 CF=BC ,
10、如图乙 FCE BCE (SAS ), 2=1。 又AD BC , ADC +BCD =180, DCE +CDE =90, 2+3=90, 1+4=90, 3=4。 在FDE与ADE中, FDE ADE (ASA ), DF =DA , CD =DF +CF , CD =AD +BC 。 解题后的思考: 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长 法或补短法: 截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另 一条; 补短:将一条短线段延长, 延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等 于长线段。 1)对于证明有关线段和差的不等式,通常会联 系到三角形中两线段之和
11、大于第三边、之差小于 第三边,故可想办法将其放在一个三角形中证 明。 2)在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证明不出来,可连 接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等关系证明。 小结:三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角形。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 预习导学 下一讲我们就要进入八下的学习了,八下
12、的第一章是分式。 请同学们预习课本,并思考以下问题。 1、分式的概念是什么? 2、分式的乘除法的运算法则是什么? 同步练习 (答题时间: 90 分钟) 这几道题一定要认真思考啊, 都是要添加辅助线 的,开动脑筋好好想一想吧!加油!你一定行! 1、已知,如图 1,在四边形 ABCD 中,BC AB ,AD =DC ,BD平分 ABC 。 求证: BAD +BCD =180。 2、已知,如图 2,1=2,P为 BN上一点,且 PD BC于点 D,AB +BC =2BD 。 求证: BAP +BCP =180。 3、已知,如图 3,在 ABC中, C2B,12。求证: AB =AC +CD 。 试题
13、答案 1、分析:因为平角等于180,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形, 可通过“截长法或补短法”来实现。 证明:过点 D作 DE垂直 BA的延长线于点 E,作 DF BC于点 F,如图 1-2 RtADE RtCDF (HL ) , DAE =DCF 。 又BAD +DAE =180, BAD+DCF=180, 即BAD +BCD =180 2、分析:与 1 相类似,证两个角的和是180,可把它们移到一起,让它们 成为邻补角,即证明 BCP =EAP ,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构 造。 证明:过点 P作 PE
14、垂直 BA的延长线于点 E,如图 2-2 RtAPE RtCPD (SAS), PAE =PCD 又 BAP +PAE =180。 BAP +BCP =180 3、分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC 至E使CE=CD,或在 AB上截取AF=AC。 证明:方法一(补短法) 延长 AC到 E,使 DC =CE ,则 CDE CED ,如图 3-2 AFD ACD (SAS ), DF=DC ,AFD ACD 。 又 ACB 2B, FDB B, FD=FB 。 AB=AF+FB=AC+FD, AB=AC+CD。 4、证明:(方法一) 将 DE两边延长分别交 AB、A
15、C于 M 、N, 在AMN 中,AM+ANMD+DE+NE; 在BDM 中,MB+MDBD; 在CEN中,CN+NECE; 由+得: AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC (方法二:图 4-2) 延长 BD交 AC于 F,延长 CE交 BF于 G ,在 ABF 、GFC 和GDE 中有: AB+AFBD+DG+GF GF+FCGE+CE DG+GEDE 由+得: AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。 5、分析:要证 AB+AC2AD,由图想到: AB+BDAD,AC+CDAD,所
16、以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD ,故不能直接证出此题,而 由 2AD想到要构造 2AD ,即加倍中线, 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 ACD EBD (SAS ) BE=CA (全等三角形对应边相等) 在 ABE中有: AB+BEAE(三角形两边之和大于第三边) AB+AC2AD。 6、分析:欲证 AC=BF ,只需证 AC 、BF所在两个三角形全等,显然图中没有含 有 AC 、BF的两个全等三角形,而根据题目条件去构造两个含有AC 、BF的全等 三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边,能够把这两 条线段转移到同一个三角形中
17、,只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线 段,所对的角相等即可。 思路一、以三角形ADC 为基础三角形,转移线段AC ,使 AC 、BF在三角形 BFH中 方法一:延长 AD到 H,使得 DH=AD ,连结 BH ,证明ADC 和HDB 全等,得 AC=BH 。 通过证明 H= BFH ,得到 BF=BH 。 ADC HDB(SAS) AC=BH ,H= HAC EA=EF HAE= AFE 又BFH= AFE BH=BF BF=AC 方法二:过 B点作 BH平行 AC ,与 AD的延长线相交于点H,证明 ADC 和 HDB 全等即可。 小结:对于含有中点的问题,通过“倍长中线”可以得到两个全等三角 形。而过一点作已知直线的平行线,可以起到转移角的作用,也起到了构造全 等三角形的作用。 思路二、以三角形 BFD为基础三角形。转移线段BF,使 AC 、BF在两个全等 三角形中 方法三:延长 FD至 H,使得 DH=FD ,连接 HC 。证明 CDH 和BDF全等即可。 BFD CHD(SAS) H= BFH AE=FE HAC= AFE 又AFE= BFH H= HAC CH=CA BF=AC 方法四:过 C点作 CH平行 BF ,与 AD的延长线相交于点H ,证明 CDH 和 BDF全等即可。
链接地址:https://www.31doc.com/p-4971745.html